Đáp án đúng là: D

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\).

Đáp án đúng là: D

Quan sát đồ thị hàm số, ta có:

Trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\), đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải nên hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng này.

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\).

Đáp án đúng là: D

Quan sát bảng xét dấu, ta thấy hàm số có 4 điểm cực trị.

Đáp án đúng là: B

Ta có: \[y = {x^3}--3{x^2} + 2\] \( \Rightarrow \) \(y' = 3{x^2} - 6x\).

           \(y' = 0\)\( \Leftrightarrow \)\(3{x^2} - 6x = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 0\end{array} \right.\).

Ta có bảng biến thiên như sau:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\) và đạt cực đại tại \(x = 0\).

Đáp án đúng là: B

Ta có:  .

Ta có bảng biến thiên như sau:

Quan sát bảng biến thiên, ta thấy:

Hàm số đạt cực đại tại và

Hàm số đạt cực tiểu tại và

Đáp án đúng là: B

Ta có:

 .

Ta có bảng xét dấu như sau:

Vậy thể tích giảm khi .

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(y = {x^3} - 3{x^2} + \left( {4 - m} \right)x\); \(y' = 3{x^2} - 6x + 4 - m\).

Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì \(y' \ge 0,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\).

\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x + 4 - m \ge 0,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right).\)

\( \Leftrightarrow m \le 3{x^2} - 6x + 4,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right).\)

\( \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left( {2; + \infty } \right)} g(x)\) với \(g(x) = 3{x^2} - 6x + 4.\)

Ta có: \(g'\left( x \right) = 6x - 6\)

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 6x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra \(m \le 4\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy \(m \in \left( { - \infty ;4} \right]\) thì hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Đáp án đúng là: B

Quan sát đồ thị hàm số, ta có:

Giá trị lớn nhất của đồ thị hàm số trên đoạn \(\left[ { - 2;3} \right]\) là \(M = 4\) khi \(x = - 1\).

Giá trị nhỏ nhất của đồ thị hàm số trên đoạn \(\left[ { - 2;3} \right]\) là \(m = - 3\) khi \(x = - 2\).

Suy ra: \(2m - 3M\)= \(2.\left( { - 3} \right) - 3.4\) = \( - 18\).

Đáp án đúng là: A

Quan sát bảng biến thiên, ta thấy:

Xét trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\), giá trị lớn nhất của hàm số là \(f\left( 0 \right) = 5\).

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{[ - 1;3]} \)\[f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\].

Đáp án đúng là: A

Tập xác định: \(D = \left[ {1; + \infty } \right)\).

Ta có: \(y' = 1 - \frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }} = \frac{{2\sqrt {x - 1} - 1}}{{2\sqrt {x - 1} }}\).

\(y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt {x - 1} - 1}}{{2\sqrt {x - 1} }} = 0\)\( \Leftrightarrow 2\sqrt {x - 1} = 1 \Leftrightarrow x = \frac{5}{4}\).

Ta có bảng biến thiên như sau:

Từ bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số có giá trị nhỏ nhất là \(\frac{3}{4}\) và không có giá trị lớn nhất.

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[y = \;\frac{{2{x^2} + 3x + 3}}{{x + 1}}\] \( \Rightarrow y' = \frac{{2{x^2} + 4x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).

\(y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{2{x^2} + 4x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \in \left[ {0;2} \right]\\x = - 2 \notin \left[ {0;2} \right]\end{array} \right.\).

Xét trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\), ta tính được các giá trị \(y\left( 0 \right) = 3,y\left( 2 \right) = \frac{{17}}{3}\).

Vậy \(M = \frac{{17}}{3},m = 3.\)

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(y = \frac{{x + {m^2}}}{{x - 1}}\)\( \Rightarrow y' = \frac{{ - 1 - {m^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).

Vì \( - 1 - {m^2} < 0\,\,\forall m \in \mathbb{R} \Rightarrow \frac{{ - 1 - {m^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0,\,\,\,\forall x \in \left[ {2;3} \right]\).

Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;3} \right]} y = y\left( 3 \right) = 14\).

Ta có: \(y\left( 3 \right) = \frac{{3 + {m^2}}}{{3 - 1}} = 14\)\( \Rightarrow {m^2} = 25\) \( \Leftrightarrow m = \pm 5\).

Mà theo đề bài, \(m\) nhận giá trị nguyên dương nên \(m = 5.\)

Vậy có 1 giá trị nguyên dương của tham số \(m\) thỏa mãn.

Đáp án đúng là: A

Quan sát đồ thị hàm số, ta có:

Đường thẳng \(x = 1\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Đáp án đúng là: A

Quan sát đồ thị hàm số, ta có:

Đường thẳng \(x = - 2\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Đường thẳng \(y = 1\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy tiệm cận đứng \(x = - 2\), tiệm cận ngang \(y = 1\).

Đáp án đúng là: A

Xét các đáp án A, B, C, D ta lấy tử số chia mẫu số. Ta có:

Đáp án A, ta có:

Vậy đường thẳng \(y = 2x - 1\) là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{x^2} - 3x + 5}}{{x - 1}}\).

Đáp án đúng là: A

Ta có điều kiện xác định: \(D = \left[ { - 4; + \infty } \right)\backslash \left\{ {0; - 1} \right\}.\)

Xét: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {x + 4} - 2}}{{{x^2} + x}} = 0\).

Do đó, đường thẳng \(y = 0\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{\sqrt {x + 4} - 2}}{{{x^2} + x}} = + \infty .\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{\sqrt {x + 4} - 2}}{{{x^2} + x}} = - \infty .\)

Do đó, \(x = - 1\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {x + 4} - 2}}{{{x^2} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{x}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {x + 4} + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {x + 4} + 2} \right)}} = \frac{1}{4}\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt {x + 4} - 2}}{{{x^2} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{x}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {x + 4} + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {x + 4} + 2} \right)}} = \frac{1}{4}\).

Do đó, \(x = 0\) không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.

Đáp án đúng là: D

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 2}}{{x + 2}} = 1.\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x - 2}}{{x + 2}} = 1.\)

Do đó, \(y = 1\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{x - 2}}{{x + 2}} = + \infty .\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{x - 2}}{{x + 2}} = - \infty .\)

Do đó, \(x = - 2\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy tọa độ giao điểm \(I\) của hai đường tiệm cận của đồ thị \[\left( C \right)\] là \(I\left( { - 2;1} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp chữ nhật nên

\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {A'B'} = \overrightarrow {D'C'} = \overrightarrow {DC} \) và \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {A'D'} = \overrightarrow {B'C'} = \overrightarrow {BC} \).

Đáp án đúng là: A

Có \(M,N,G\) lần lượt là trung điểm \(AB,CD,MN\). Theo quy tắc trung điểm, ta có:

\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} = 2\overrightarrow {GM} \); \(\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 2\overrightarrow {GN} \); \(\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} = \overrightarrow 0 \).

Suy ra \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \) hay \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {DG} \).

Với \(O\) là điểm bất kì, ta có:

\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GD} \)

                                  \( = 4\overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} \)\( = 4\overrightarrow {OG} \).

Vậy đáp án A sai và các đáp án B, C, D đúng.

Đáp án đúng là: B

Theo đề bài, \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là hai vectơ đều khác vectơ \(\overrightarrow 0 \). Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right)\)

                       \( = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)

                       \( = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos 60^\circ - \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos 60^\circ \)

                        \( = 0\).

Suy ra \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = 90^\circ \).

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} } \right)\).

Vì tam giác \(ABC\) có \(AB = AC\) và \(\widehat {BAC} = 60^\circ \) nên tam giác \(ABC\) đều.

Suy ra \(CI \bot AB\).

Tương tự ta có tam giác \(ABD\) đều nên \(DI \bot AB\).

Xét: \(\overrightarrow {IJ} .\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} } \right).\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {IC} .\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {ID} .\overrightarrow {AB} \) \( = \overrightarrow 0 \).

Suy ra \(\left( {\overrightarrow {IJ} ,\overrightarrow {AB} } \right) = 90^\circ \).

Đáp án đúng là: A

Gọi \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) là ba lực tác động vào vật tại điểm \(O\) lần lượt có độ lớn \(25N,12N,4N\).

Vẽ \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {{F_3}} \).

Dựng hình bình hành \(OADB\) và hình bình hành \(ODEC\).

Hợp lực tác động vào vật là:

\(\overrightarrow F = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OE} .\)

Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(OBD\), ta có:

\(O{D^2} = B{D^2} + O{B^2} - 2.BD.OB.\cos \widehat {OBD} = O{A^2} + O{B^2} + 2.OA.OB.\cos 100^\circ \)

Vì \(OC \bot \left( {OADB} \right)\) nên \(OC \bot OD\), suy ra \(ODEC\) là hình chữ nhật.

Do đó, tam giác \(DOE\) vuông tại \(D\).

Ta có: \(O{E^2} = O{C^2} + O{D^2} = O{C^2} + O{A^2} + O{B^2} + 2.OA.OB.\cos 100^\circ \).

Suy ra:

\(OE = \sqrt {O{C^2} + O{A^2} + O{B^2} + 2.OA.OB.\cos 100^\circ } \)\( = \sqrt {{4^2} + {{25}^2} + {{12}^2} + 2.25.12.\cos 100^\circ } \)

\(OE \approx 26N\).

Vậy độ lớn của hợp lực \(F = OE \approx 26N\).

Đáp án đúng là: A

Trong không gian với hệ trục \[Oxyz\], có \(\overrightarrow a = - \overrightarrow i + 2\overrightarrow j - 3\overrightarrow k \) nên tọa độ \(\overrightarrow a = \left( { - 1;2; - 3} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Trong không gian \[Oxyz\], hình chiếu vuông góc của điểm \(A\left( {3;5;2} \right)\) trên trục \(Ox\) có tọa độ \(\left( {3;0;0} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Ta có điểm đối xứng của \(A\left( {1;2; - 3} \right)\) qua mặt phẳng \[\left( {Oyz} \right)\] ta được điểm có tọa độ \(\left( { - 1;2; - 3} \right)\).

Đáp án đúng là: D

Gọi \(C\left( {x;y;z} \right)\), ta có: \(\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB} \).

Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 0 = 0 - \left( { - 3} \right)\\y - 0 = 2 - 0\\z - 1 = 0 - 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\\z = 1\end{array} \right.\). Vậy \(C\left( {3;2;1} \right)\).

Gọi \(C'\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\), ta có: \(\overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AA'} \).

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} - 3 = 1 - \left( { - 3} \right)\\{y_0} - 2 = 2 - 0\\{z_0} - 1 = 3 - 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 7\\{y_0} = 4\\{z_0} = 4\end{array} \right.\). Vậy \(C'\left( {7;4;4} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 5; - 4; - 1} \right)\) \( \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt {42} .\)

            \(\overrightarrow {AC} = \left( {3;1;2} \right)\) \( \Rightarrow AC = \sqrt {{3^2} + {1^2} + {2^2}} = \sqrt {14} \).

Ta có: \(\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{ - 5.3 + \left( { - 4} \right).1 + \left( { - 1} \right).2}}{{\sqrt {42} .\sqrt {14} }} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Suy ra \(\widehat {BAC} = 150^\circ \).

Đáp án đúng là: B

Gọi điểm \(M\) thuộc trục \(Ox\) có tọa độ \(\left( {x;0;0} \right)\).

Theo đề, ta có \(M\) cách đều hai điểm \(A\left( {4;2; - 1} \right)\) và \(B\left( {2;1;0} \right)\) hay \(MA = MB\).

Ta có: \(MA = MB\) \( \Rightarrow \)\(M{A^2} = M{B^2}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} + {(0 - 2)^2} + {\left[ {0 - \left( { - 1} \right)} \right]^2} = {\left( {2 - x} \right)^2} + {\left( {1 - 0} \right)^2} + {\left( {0 - 0} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 16 + 4 + 1 = {x^2} - 4x + 4 + 1\)

\( \Leftrightarrow 4x = 16\)

\( \Leftrightarrow x = 4.\)

Vậy \(M\left( {4;0;0} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} = 2\overrightarrow {IB} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - x = 2\left( {2 - x} \right)\\2 - y = 2\left( { - 1 - y} \right)\\1 - z = 2\left( {3 - z} \right).\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - 4\\z = 5\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {3; - 4;5} \right)\).

Khi đó, ta có: \(M{A^2} - 2M{B^2} = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} - 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} = - M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} .\left( {\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} } \right) + I{A^2} - 2I{B^2}\)

                      \( = - M{I^2} + I{A^2} - 2I{B^2}\).

Để \[M{A^2}--2M{B^2}\] lớn nhất thì \( - M{I^2} + I{A^2} - 2I{B^2}\) lớn nhất \( \Leftrightarrow MI\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow M\) là hình chiếu của \(I\) trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Suy ra \(M\left( {3; - 4;0} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(3\overrightarrow v = \left( { - 3; - 6;3} \right)\).

Do đó, \(\overrightarrow u + 3\overrightarrow v = \left( { - 2; - 10;3} \right)\).

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}} = \frac{{ - 1.0 + 1.\left( { - 1} \right) + 0.0}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {0^2}} .\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} }}\)\( = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 .1}} = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Suy ra \(\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = 135^\circ \).

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{2.1 + 1.3 + \left( { - 1} \right).m}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {3^2} + {m^2}} }}\).

Vì \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 90^\circ \) nên \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 0\).

Suy ra \(2.1 + 1.3 + \left( { - 1} \right).m = 0\) hay \(m = 5\).

Đáp án đúng là: B

Gọi \(G(x;y;z)\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{1 + \left( { - 1} \right) + 0}}{3} = 0\\y = \frac{{ - 2 + 2 + 0}}{3} = 0\\z = \frac{{3 + 5 + 1}}{3} = 3\end{array} \right.\)\( \Rightarrow G\left( {0;0;3} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Gọi \(E\left( {x;y;z} \right)\), ta có: \(\overrightarrow {CE} = 2\overrightarrow {EB} \).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 7 = 2\left( {1 - x} \right)\\y - 4 = 2\left( {2 - y} \right)\\z + 2 = 2\left( { - 3 - z} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = \frac{8}{3}\\z = \frac{{ - 8}}{3}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow E\left( {3;\frac{8}{3}; - \frac{8}{3}} \right)\).

a) Ta có: \(2\overrightarrow b = \left( {2;2; - 2} \right)\).

Do đó, \(\overrightarrow a - 2\overrightarrow b = \left( { - 2 - 2;1 - 2;2 - \left( { - 2} \right)} \right) = \left( { - 4; - 1;4} \right)\).

Vậy \(\overrightarrow u = \left( { - 4; - 1;4} \right)\).

b) Ta có: \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {4^2}} = \sqrt {33} \).

Vậy độ dài vectơ \(\overrightarrow u \) là \(\sqrt {33} \).

c) Ta có: \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{ - 2.1 + 1.1 + 2.\left( { - 1} \right)}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{ - \sqrt 3 }}{3}\).

Vậy \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{ - \sqrt 3 }}{3}\).

Xét: \(h(t) = - \frac{1}{3}{t^3} + 5{t^2} + 24t\), \(\left( {t > 0} \right).\)

Ta có: \(h'(t) = - {t^2} + 10t + 24\)

\(h'(t) = 0 \Leftrightarrow - {t^2} + 10t + 24 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 12 \in \left( {0; + \infty } \right)\\t = - 2 \notin \left( {0; + \infty } \right)\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Để mực nước lên cao nhất thì phải mất 12 giờ.

Vậy phải thông báo cho dân dời đi vào 15 giờ chiều cùng ngày.

Đồ thị \(\left( H \right)\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \({\Delta _1}:x = - 1\) và tiệm cận ngang là đường thẳng \({\Delta _2}:y = 4\).

Gọi \(M\left( {{x_0};\frac{{4{x_0} - 5}}{{{x_0} + 1}}} \right) \in \left( H \right)\), \({x_0} \ne - 1,{x_0} < 0\).

Khi đó, ta có: \({d_1} = d\left( {M,{\Delta _1}} \right) = \left| {{x_0} + 1} \right|\) và \({d_2} = d\left( {M,{\Delta _2}} \right) = \frac{9}{{\left| {{x_0} + 1} \right|}}.\)

\( \Rightarrow {d_1}.{d_2} = \left| {{x_0} + 1} \right|.\frac{9}{{\left| {{x_0} + 1} \right|}} = 9\).

Ta có: \({d_1} + {d_2} \ge 2\sqrt {{d_1}{d_2}} = 6\) nên \(\min \left( {{d_1} + {d_2}} \right) = 6\) khi \({d_1} = {d_2} \Leftrightarrow \left| {{x_0} + 1} \right| = \frac{9}{{\left| {{x_0} + 1} \right|}}.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\{x_0} = - 4\end{array} \right.\)

Do \({x_0} < 0\) nên chọn \({x_0} = - 4\), khi đó \(M\left( { - 4;7} \right) \Rightarrow S = 9.\)