Đáp án đúng là: C

Từ bảng xét dấu, ta thấy: Trên khoảng \(\left( {3;7} \right)\), \(y' < 0\), do đó hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng này.

Đáp án đúng là: A

Dựa vào đồ thị, ta suy ra hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm \[x = 0\] và giá trị cực đại .

Đáp án đúng là: C

Xét đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] trên đoạn \(\left[ {0;\,4} \right]\) như hình vẽ: Hàm số đã cho đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = 2\); \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\,4} \right]} y = f\left( 2 \right) = 1\).

Đáp án đúng là: A

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy:

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 1;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - 1\). Do đó, đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận ngang là các đường thẳng \(y = 1\) và \(y = - 1\).

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = - \infty \). Do đó, đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - 1\).

Đáp án đúng là: A

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( {1;0} \right)\) và \(\left( {0; - 1} \right)\), chính là đường thẳng \(y = x - 1\).

Do đó, đường thẳng \(y = x - 1\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Đáp án đúng là: D

Xét hàm số: \(y = - {x^3} - x + 2\).

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).

Ta có: \(y' = - 3{x^2} - 1\); \(y' < 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Do đó, hàm số đã cho nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) nên đồ thị hàm số này đi xuống từ trái qua phải, vậy đường cong ở phương án D thỏa mãn.

Đáp án đúng là: C

Có 6 vectơ thỏa mãn là: \(\overrightarrow {SC} ;\,\,\overrightarrow {CS} ;\,\,\overrightarrow {SD} ;\,\,\overrightarrow {DS} ;\,\,\overrightarrow {CD} ;\,\,\overrightarrow {DC} \).

Đáp án đúng là: C

TXĐ của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Ta có: \(y' = \frac{4}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}\); \(y' > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Do đó, hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \[\left( {1;\, + \infty } \right)\].

Đáp án đúng là: A

Ÿ Tập xác định của hàm số là \(\left( { - \infty ;\frac{{11}}{2}} \right]\). Do đó, hàm số \[f\left( x \right) = \sqrt {11 - 2x} \] liên tục và xác định trên đoạn \(\left[ {1;\,\,5} \right]\).

Ÿ Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{{ - 1}}{{\sqrt {11 - 2x} }}\); \(f'\left( x \right) < 0\,\,\forall x \in \left[ {1;\,5} \right]\).

Từ đó suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;\,5} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = \sqrt {11 - 2} = 3\).

Đáp án đúng là: C

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{d}{c}} \right\}\).

Ta có: \(y' = \frac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}\).

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số: \(y = \frac{a}{c} > 0 \Rightarrow c > 0\) (do \(a > 0\)).

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số: \(x = - \frac{d}{c} < 0 \Rightarrow d > 0\).

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ \({x_0} = - \frac{b}{a} > 0 \Rightarrow b < 0\).

Đáp án đúng là: D

Từ bảng biến thiên, ta thấy trục hoành (đường thẳng \(y = 0\)) cắt đồ thị hàm số đã cho tại \(4\) điểm.

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BB'} \)

                        \[ = \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow b - \overrightarrow a + \frac{1}{2}\overrightarrow c \].

a) S,                 b) Đ,                c) Đ,                d) S.

Hướng dẫn giải

Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\).

– Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

– Ta có \(y' = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\); \(y' > 0\) với mọi \(x \ne - 1\).

– Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\). Do đó, ý a) sai.

– Hàm số đã cho không có cực trị. Do đó, ý b) đúng.

– Tiệm cận:

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = 2;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = 2\). Do đó, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng \(y = 2\).

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = - \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = + \infty \). Do đó, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng \(x = - 1\).

Vậy ý c) đúng.

– Gọi \({x_0}\) là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Khi đó, hệ số góc của tiếp tuyến này là \(f'\left( {{x_0}} \right) = \frac{3}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}\).

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng \(y = x\) có hệ số góc là \(k = 1\) nên

\(f'\left( {{x_0}} \right) = \frac{3}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}} = 1\), suy ra \({x_0} = - 1 + \sqrt 3 \) hoặc \({x_0} = - 1 - \sqrt 3 \).

Vì đường thẳng \(y = x\) và \(\left( C \right)\) có hai giao điểm nên \(y = x\) không phải là tiếp tuyến của đồ thị hàm số.

Vậy tổng hoành độ của hai tiếp điểm là \(k = - 1 + \sqrt 3 + \left( { - 1} \right) - \sqrt 3 = - 2\), đây không phải là một số chính phương. Do đó, ý d) sai.

a) Đ,                b) S,                c) Đ,                d) S.

Hướng dẫn giải

– Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp chữ nhật nên \(AD'C'B\) là hình bình hành, do đó \(\overrightarrow {AD'} = \overrightarrow {BC'} \). Vậy ý a) đúng.

– Tam giác \(ABD\) vuông cân tại \(A\) có \(AB = AD = 1\), suy ra \(\left| {\overrightarrow {BD} } \right| = BD = \sqrt 2 \).

Tam giác \(CDD'\) vuông tại \(D\) có \(CD = AB = 1,\,DD' = AA' = 2\), suy ra \(\left| {\overrightarrow {CD'} } \right| = CD' = \sqrt 5 \).

Vậy ý b) sai.

– Ta có \(\overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {CA'} + 2\overrightarrow {C'C} = \left( {\overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {C'C} } \right) + \left( {\overrightarrow {C'C} + \overrightarrow {CA'} } \right) = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {C'A'} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0 \).

Do đó, ý c) đúng.

– Vì \(A'B' \bot \left( {ADD'A'} \right)\) nên \[A'B' \bot AD\], do đó \(\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {A'B'} = 0\). Vậy ý d) sai.

a) S,                 b) Đ,                c) Đ,                d) Đ.

Hướng dẫn giải

– Vì \(G\) là trung điểm của \(IJ\) nên \(\overrightarrow {GI} + \overrightarrow {JG} = \frac{1}{2}\overrightarrow {JI} + \frac{1}{2}\overrightarrow {JI} = \overrightarrow {JI} \ne \overrightarrow 0 \). Do đó, ý a) sai.

– Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CJ} \\\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DJ} \end{array} \right.\).

Suy ra \(2\overrightarrow {IJ} = \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right) + \left( {\overrightarrow {CJ} + \overrightarrow {DJ} } \right) = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} \). Vậy ý b) đúng.

– Ta có: \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} } \right) + \left( {\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} } \right)\)

                        \( = 2\overrightarrow {GI} + 2\overrightarrow {GJ} = 2\left( {\overrightarrow {GI} + \overrightarrow {GJ} } \right) = \overrightarrow 0 \).

Vậy ý c) đúng.

– Ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 4\overrightarrow {MG} + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} } \right) = 4\overrightarrow {MG} \).

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right| = 4\left| {\overrightarrow {MG} } \right| = 4MG\).

Vậy \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right|\) nhỏ nhất khi \(MG\) nhỏ nhất, tức là \(MG = 0\) hay \(M \equiv G\).

Do đó, ý d) đúng.

Hướng dẫn giải

Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + x\) có \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) + 1\).

Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\), ta có: \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = - 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = 2\end{array} \right.\).

Bảng biến thiên của hàm số \(g\left( x \right)\) như sau:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số \(g\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại điểm \(x = 1\).

Đáp số: \(1\).

Hướng dẫn giải

Ta có \(y' = {e^x}\left( {{x^2} + 2x - 3} \right)\).

Trên khoảng \(\left( { - 5; - 2} \right)\), \(y' = 0 \Leftrightarrow x = - 3\).

\(y\left( { - 5} \right) = \frac{{22}}{{{e^5}}};\,\,y\left( { - 3} \right) = \frac{6}{{{e^3}}};\,\,y\left( { - 2} \right) = \frac{1}{{{e^2}}}\).

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 5; - 2} \right]} y = \frac{6}{{{e^3}}}\), suy ra \(a = 6,b = 3\). Vậy \(P = a + b = 6 + 3 = 9\).

Đáp số: \(9\).

Hướng dẫn giải

Ta thấy \(M\left( x \right) = \frac{{0,0001{x^2} + 0,2x + 10\,000}}{x} = 0,0001x + \frac{{10\,000}}{x} + 0,2\).

Xét hàm số \(M\left( x \right) = 0,0001x + \frac{{10\,000}}{x} + 0,2\), với \(x \ge 1\).

Ta có: \(M'\left( x \right) = 0,0001 - \frac{{10\,000}}{{{x^2}}}\);

            \(M'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 10\,000\,\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,x \ge 1} \right)\).

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Căn cứ bảng biến thiên, ta có: \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;\, + \infty } \right)} M\left( x \right) = 2,2\) tại \(x = 10\,000\).

Vậy doanh nghiệp cần sản xuất \(10\,000\) sản phẩm để chi phí trung bình là nhỏ nhất.

Đáp số: \(10\,000\).

Hướng dẫn giải

Giả sử miếng bìa hình vuông \(ABCD\), đáy của hình chóp tứ giác đều là hình vuông \(MNPQ\) tâm \(O\) có cạnh bằng \(x\) dm \(\left( {0 < x < 6\sqrt 2 } \right)\) như hình vẽ. Gọi \(H,\,K\) lần lượt là trung điểm của \(MQ\) và \(NP\).

Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng 6 dm nên \(AC = 6\sqrt 2 \) dm, \(HK = x\) dm.

Ta có \(AH = \frac{{AC - HK}}{2} = 3\sqrt 2 - \frac{x}{2}\) dm.

Đường cao của hình chóp tứ giác đều là:

\(h = AO = \sqrt {A{H^2} - O{H^2}} = \sqrt {{{\left( {3\sqrt 2 - \frac{x}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {18 - 3\sqrt 2 x} \) (dm).

Thể tích của khối chóp là:

\(V = \frac{1}{3}h{x^2} = \frac{1}{3}{x^2}\sqrt {18 - 3\sqrt 2 x} = \frac{1}{3}\sqrt {{x^4}\left( {18 - 3\sqrt 2 x} \right)} \) (dm³).

Để tìm giá trị lớn nhất của \(V\) ta đi tìm giá trị lớn nhất của hàm số

\(f\left( x \right) = {x^4}\left( {18 - 3\sqrt 2 x} \right)\) với \(0 < x \le 3\sqrt 2 \).

Ta có: \(f'\left( x \right) = {x^3}\left( { - 15\sqrt 2 x + 72} \right)\), \(f'\left( x \right) = 0\) khi \(x = 0\) hoặc \(x = \frac{{12\sqrt 2 }}{5}\).

Bảng biến thiên của hàm số \(f\left( x \right)\) như sau:

Từ bảng biến thiên, ta có \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;3\sqrt 2 } \right]} f\left( x \right) = f\left( {\frac{{12\sqrt 2 }}{5}} \right) \approx 477,76\).

Vậy thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất bằng \({V_{\max }} \approx \frac{1}{3}\sqrt {477,76} \approx 7,3\) (dm³).

Đáp số: \(7,3\).