I. Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$, cho vectơ $\overrightarrow a = \left( { - 2;6;2} \right)$. Vectơ $\frac{3}{2}\overrightarrow a$ có tọa độ là

Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất cách điểm xuất phát 2 km về phía nam và 1 km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 0,5 km. chiếc thứ hai mằm cách điểm xuất phát 1 km về phía bắc và 1,5 km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 0,8 m. Chọn hệ trục $Oxyz$ với O là gốc đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ trùng với mặt đất với trục $Ox$ hướng về phía nam, trục $Oy$ hướng về phía đông và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilomet.

Khi đó:

a) Với hệ tọa độ đã chọn, tọa độ khinh khí cầu thứ nhất là $\left( {2;1;0,5} \right)$.

b) Với hệ tọa độ đã chọn, tọa độ khinh khí cầu thứ hai là $\left( { - 1,5; - 1;0,8} \right)$.

c) Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ nhất bằng $\sqrt {21}$ km.

d) Khoảng cách hai chiếc khinh khí cầu là 3,92 km (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Số khẳng định đúng trong các khẳng định trên là:

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {0;2;1} \right)$ và $B\left( {3; - 2;1} \right)$. Độ dài đoạn thẳng $AB$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\overrightarrow a = \left( {1; - 2;3} \right)$ và $\overrightarrow b = \left( { - 2;1;2} \right)$. Tích vô hướng $\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)\overrightarrow b$ bằng

Trên phần mềm mô phỏng việc điều khiển drone giao hàng trong không gian $Oxyz$, một đội gồm ba drone giao hàng $A,B,C$ đang có tọa độ là $A\left( {1;1;1} \right)$, $B\left( {5;7;9} \right)$, $C\left( {9;11;4} \right)$. Gọi ${d_1},{d_2},{d_3}$ lần lượt là khoảng cách của mỗi cặp drone giao hàng trên. Tính ${d_1} + {d_2} + {d_3}$. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( { - 1; - 2;3} \right)$, $B\left( {0;3;1} \right)$, $C\left( {4;2;2} \right)$. Giá trị $\cos \left( {\widehat {BAC}} \right)$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $M\left( {2; - 3; - 1} \right)$, $N\left( {0;3;1} \right)$, $P\left( {1;m - 1;2} \right)$. Với giá trị nào của $m$ thì tam giác $MNP$ vuông tại $N$?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $M\left( {1; - 2;2} \right)$ và $N\left( {1;0;4} \right)$. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng $MN$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho vectơ $\overrightarrow u = \left( {1; - 2;3} \right)$. Vectơ nào sau đây cùng phương với vectơ $\overrightarrow u$ ?

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( {0;1; - 1} \right)$, $B\left( {1;2;0} \right)$, $\left( {m;n;0} \right)$. Giá trị $m,n$ sao cho ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng:

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\overrightarrow a = \left( {1;2;3} \right)$, $\overrightarrow b = \left( {4;5;6} \right)$. Tọa độ vectơ $\overrightarrow a + \overrightarrow b$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\overrightarrow a = \left( { - 1 - 1;0} \right)$ và $\overrightarrow b = \left( {0; - 1;0} \right)$. Góc giữa hai vectơ này là:

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( {3;2; - 5} \right)$, $B\left( {1;2;4} \right)$, $C\left( {2;5; - 2} \right)$. Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\overrightarrow a = \left( {3;0;1} \right)$ và $\overrightarrow c = \left( {1;1;0} \right)$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow b$ thỏa mãn đẳng thức $\overrightarrow b - \overrightarrow a + 2\overrightarrow c = \overrightarrow 0$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A\left( {1;3;5} \right)$, $B\left( {1;1;3} \right)$, $C\left( {4; - 2;3} \right)$.

Khi đó:

a) Tọa độ trung điểm $BC$ là $\left( {\frac{5}{2}; - \frac{1}{2};3} \right)$.

b) Độ dài đoạn thẳng $BC$ là $3\sqrt 2$.

c) Côsin $\widehat {BAC}$ bằng $\frac{{7\sqrt {19} }}{{38}}$.

d) Gọi $D$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $ABCD$. Tọa độ hình chiếu của trọng tâm tam giác $ABD$ lên mặt phẳng $Oyz$ là $\left( {2;0;0} \right)$.

Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:

Trong không gian $Oxyz$. Cho ba điểm $A\left( { - 2;3;1} \right)$, $B\left( {2;1;0} \right)$, $C\left( { - 3; - 1;1} \right)$. Tìm tất cả các giá trị của tọa độ điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình thang có đáy $AD$ và ${S_{ABCD}} = 3{S_{ABC}}$.