Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $f'\left( x \right) = x + \sin x$ và $f\left( 0 \right) = 1$. Tìm $f\left( x \right)$

Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm $t$ giây (coi $t = 0$ là thời điểm viên đạn được bắn lên trên), vận tốc của nó được cho bởi $v\left( t \right) = 25 - 9,8t{\rm{ }}\left( {m/s} \right)$. Độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất lên) đạt giá trị lớn nhất là

Một vật chuyển động đều với vận tốc có phương trình $v\left( t \right) = {t^2} - 2t + 1$, trong đó $t$ được tính bằng giây, quãng đường $s\left( t \right)$ được tính bằng mét. Khi đó:

a) Quãng đường đi được của vật sau 2 giây là $\frac{2}{3}{\rm{ }}\left( m \right).$

b) Quãng đường đi được của vật khi gia tốc bị triệt tiêu là $\frac{1}{3}{\rm{ }}\left( m \right).$

c) Quãng đường vật đi được trong khoảng từ 2 giây đến thời điểm mà vận tốc đạt $9{\rm{ }}\left( {m/s} \right)$ là $\frac{{26}}{3}{\rm{ }}\left( m \right).$

d) Quãng đường vật đi được từ 0 giây đến thời gian mà gia tốc bằng ${\rm{10 }}\left( {m/{s^2}} \right)$ là ${\rm{44 }}\left( m \right)$.

Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định đúng?

Một ô tô đang chạy với vận tốc 19 m/s thì hãm phanh và chuyển động chậm dần với tốc độ $v\left( t \right) = 19 - 2t$ (m/s). Kể từ khi hãm phanh, quãng đường ô tô đi được sau 5 giây là bao nhiêu?

I. Nhận biết

Hàm số $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên khoảng $K$ nếu

Cho hàm số $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ với $f\left( x \right) = \frac{{x{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{{x^2}}}$ biết $F\left( 1 \right) = \frac{5}{2}$. Tính $F\left( 2 \right)$.

Hàm số $F\left( x \right) = 2\sin x - 3\cos x + 1$ là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {e^{3x}}\left( {1 - 3{e^{ - 5x}}} \right)$

Cho các mệnh đề dưới đây:

(I). $F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{3}{2}{x^2} + \ln \left| x \right| + C$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^3} - 3x + \frac{1}{x}.$

(II). $F\left( x \right) = \frac{{{{\left( {5x + 3} \right)}^6}}}{6} + C$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {\left( {5x + 3} \right)^5}$.

(III). $F\left( x \right) = \frac{3}{2}x\sqrt x + \frac{4}{3}x\sqrt[3]{x} + \frac{5}{4}x\sqrt[4]{x} + C$ là nguyên hàm của hàm số

$f\left( x \right) = \frac{{2{x^3}\sqrt x }}{7} - 2{x^2}\sqrt x + \frac{2}{3}x\sqrt x + C.$

Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là

Cho $\int {f\left( x \right)dx = } F\left( x \right),{\rm{ }}\int {g\left( x \right)dx = G\left( x \right)}$. Khi đó, $I = \int {\left[ {2g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]dx}$ bằng

III. Vận dụng

Một vật chuyển động với gia tốc $a\left( t \right) = 3{t^2} + t{\rm{ }}\left( {m/{s^2}} \right)$. Biết rằng vận tốc ban đầu của vật là $2{\rm{ }}\left( {m/s} \right).$ Vận tốc của vật đó sau hai giây là.

Cho $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {e^x} + 2x$ thỏa mãn $F\left( 0 \right) = \frac{3}{2}.$ Tính $F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right).$

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2}}} - {x^2} - \frac{1}{3}$ là

Cho hàm số $f\left( x \right) = 2x + {e^x}$. Tìm một nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $F\left( 0 \right) = 2024.$

Cho hai hàm số $f\left( x \right),g\left( x \right)$ là hàm số liên tục, có $F\left( x \right),G\left( x \right)$ lần lượt là nguyên hàm của $f\left( x \right),g\left( x \right)$. Xét các mệnh đề sau:

(I). $F\left( x \right) + G\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right) + g\left( x \right).$

(II). $kF\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $kf\left( x \right)$ với $k \ne 0.$

(III). $F\left( x \right).G\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right).g\left( x \right)$.

Các mệnh đề đúng là

II. Thông hiểu

Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \cos 3x$ bằng