Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu?
A. \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 2y - 2z + 4 = 0.\]
B. \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 2z + 6 = 0.\]
C. \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 6y + 4z + 14 = 0.\]
D. \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 8x - 6y + 2z - 10 = 0.\]
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: D
Xét các đáp án như sau:
• Với \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 2y - 2z + 4 = 0\] ta có: \[a = - 1,b = - 1,c = 1,d = 4\].
Suy ra \[{a^2} + {b^2} + {c^2} - d = - 1 < 0.\]
Vậy đáp án A không là phương trình mặt cầu.
• Với \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 2z + 6 = 0\] ta có: \[a = - 2,b = 1,c = - 1,d = 6\].
Suy ra \[{a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 0\]
Vậy đáp án B không là phương trình mặt cầu.
• Với \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 6y + 4z + 14 = 0\] có: \[a = - 1,b = 3,c = - 2,d = 14\].
Suy ra \[{a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 0\]
Vậy đáp án C không là phương trình mặt cầu.
• Với \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 8x - 6y + 2z - 10 = 0\] có: \[a = - 4,b = 3,c = - 1,d = - 10\].
Suy ra \[{a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 36 > 0.\]
Vậy đáp án D là phương trình của một mặt cầu.
Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\], cho mặt cầu có phương trình \[\left( S \right):\]\[{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 16\] có tâm là
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của \[m\] để phương trình \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4mx + 2my - 2mz + 9{m^2} - 28 = 0\] là phương trình mặt cầu?
II. Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\], cho mặt cầu \[\left( S \right):\] \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y + 2z - 3 = 0\] và một điểm \[M\left( {4;2; - 2} \right)\]. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Cho mặt phẳng \[\left( P \right):2x + 2y + z - {m^2} + 4m - 5 = 0\] và mặt cầu có phương trình \[\left( S \right):\]\[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 2z - 6 = 0\]. Giá trị của \[m\] để \[\left( P \right)\] tiếp xúc với \[\left( S \right)\] là
III. Vận dụng
Trong không gian \[Oxyz\], mặt cầu (S) đi qua điểm \[O\] và cắt các tia \[Ox,\]\[Oy,\]\[Oz\] lần lượt tại các điểm \[A,B,C\] khác \[O\] thỏa mãn tam giác \[ABC\] có trọng tâm là điểm \[G\left( { - 6; - 12;18} \right)\]. Tọa độ tâm của mặt cầu (S) là
Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt cầu có phương trình \[\left( S \right):\]\[{x^2} + {y^2} + {z^2}\]\[ + 2x - 4y - 6z + m - 3 = 0\]. Tìm số thực của tham số \[m\] để mặt phẳng \[\left( \beta \right):\]\[2x - y + 2z - 8 = 0\] cắt \[\left( S \right)\] theo một đường tròn có chu vi bằng \[8\pi .\]
Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\], phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu
Cho điểm \[M\] nằm ngoài mặt cầu \[S\left( {O;R} \right)\]. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Điều kiện đề phương trình \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\] là phương trình mặt cầu là
Phương trình mặt cầu tâm \[I\left( {1; - 2;3} \right)\] bán kính \[R = 3\] là
Xác định tâm và bán kính mặt cầu \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 8x - 6y + 2z - 10 = 0\] ta được
Trong không gian \[Oxyz\], cho điểm \[I\left( {3;4;2} \right)\]. Phương trình mặt cầu tâm \[I\] tiếp xúc với trục \[Oz\] là
Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt cầu \[{x^2} + {y^2} + z{}^2 - 4x + 1 = 0\] có tâm và bán kính là
Trong không gian \[Oxyz\], cho điểm \[H\left( {1;2; - 2} \right)\]. Mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] đi qua \[H\] và cắt các trục \[Ox,Oy,Oz\] tại \[A,B,C\] sao cho \[H\] là trực tâm của tam giác \[ABC\]. Viết phương trình mặt cầu tâm \[O\] và tiếp xúc với mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\].
I. Nhận biết
Trong không gian \[Oxyz\], mặt cầu tâm \[I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\] bán kính \[R\] có phương trình là:
