Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \[y = \ln x,{\rm{ }}y = 1\] và hai đường thẳng \[x = 1,x = e\] bằng
A. \[{e^2}.\]
B. \[e + 2.\]
C. \[2e.\]
D. \[e - 2.\]
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: D
Ta có: \[S = \int\limits_1^e {\left| {\ln x - 1} \right|dx} = \int\limits_1^e { - \left( {\ln x - 1} \right)dx} \]
\[ = \int\limits_1^e {1dx - \int\limits_1^e {\ln xdx} } \]
Cho \[I = \int {\ln xdx} \], ta đặt: \[\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{1}{x}dx\\v = x\end{array} \right.\]
Suy ra \[I = \int {\ln xdx} = x\ln x - \int {x.\frac{1}{x}dx = x\ln x - x} \]
Suy ra \[S = \left. x \right|_1^e - \left. {\left( {x\ln x - x} \right)} \right|_1^e = e - 2.\]
Diện tích \[S\] của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\], trục \[Ox\] và hai đường thẳng \[x = a,x = b{\rm{ }}\left( {a < b} \right)\] được tính theo công thức
</>
Gọi \[S\] là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = f\left( x \right)\], trục hoành và hai đường thẳng \[x = - 3,x = 2\]. Đặt \[a = \int\limits_{ - 3}^1 {f\left( x \right)dx} ,{\rm{ }}b = \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx.} \]
Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}.\] Gọi \[S\] là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = f\left( x \right)\], \[y = 0,x = - 2,x = 3\] (như hình vẽ). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = {x^2} + 1,{\rm{ }}x = - 1,{\rm{ }}x = 2\] và trục hoành.
Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong \[y = {e^x}\], trục hoành và các đường thẳng \[x = 0,x = 1\]. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng
Gọi \[S\] là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = {3^x}\], \[y = 0,x = 0,x = 2.\]Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong \[y = {x^2} + 1\], trục hoành và các đường thẳng \[x = 0,x = 3\]. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng
Cho hình (H) giới hạn bởi các đường \[y = {x^2},x = 1\] và trục hoành. Quay hình (H) quanh trục \[Ox\] ta được khối tròn xoay có thể tích là
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = {x^2}\], \[y = - \frac{1}{3}x + \frac{4}{3}\] và trục hoành như hình vẽ sau:
II. Thông hiểu
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = {\left( {x - 2} \right)^2} - 1\], trục hoành và hai đường thẳng \[x = 1,x = 2\] bằng
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \[y = {x^3} - 6x,y = {x^2}\] (phần tô đậm trong hình sau) bằng:
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường \[y = {x^2} - 2x\], trục hoành, trục tung và đường thẳng \[x = 1.\] Tính thể tích V của khối tròn xoay khi quay (H) quanh trục \[Ox.\]
III. Vận dụng
Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc \[v\] (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị là một phần parabol với đỉnh \[I\left( {\frac{1}{2};8} \right)\] và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường \[s\] người đó chạy được trong khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi chạy?
Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \[\left( C \right):y = \frac{{{x^2} + 1}}{x}\], trục \[Ox\] và hai đường thẳng \[x = 1,x = 3\]. Thể tích V của vật thể tròn xoay khi (H) quay quanh trục \[Ox\] thỏa:
I. Nhận biết
Thể tích \[V\] của khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\], trục \[Ox\] và hai đường thẳng \[x = a,x = b{\rm{ }}\left( {a < b} \right)\] khi quay quanh trục \[Ox\] là:
