Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {1;3;5} \right)\), \(B\left( {1;1;3} \right)\), \(C\left( {4; - 2;3} \right)\).
Khi đó:
a) Tọa độ trung điểm \(BC\) là \(\left( {\frac{5}{2}; - \frac{1}{2};3} \right)\).
b) Độ dài đoạn thẳng \(BC\) là \(3\sqrt 2 \).
c) Côsin \(\widehat {BAC}\) bằng \(\frac{{7\sqrt {19} }}{{38}}\).
d) Gọi \(D\) là đỉnh thứ tư của hình bình hành \(ABCD\). Tọa độ hình chiếu của trọng tâm tam giác \(ABD\) lên mặt phẳng \(Oyz\) là \(\left( {2;0;0} \right)\).
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:
A. \(1.\)
B. \(2.\)
C. \(3.\)
D. \(4.\)
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: C
a) Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) là trung điểm \(BC\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{1 + 4}}{2} = \frac{5}{2}\\y = \frac{{1 + \left( { - 2} \right)}}{2} = - \frac{1}{2}\\z = \frac{{3 + 3}}{2} = 3\end{array} \right.\) ⇒ \(I\left( {\frac{5}{2}; - \frac{1}{2};3} \right)\).
Vậy a đúng.
b) Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \left( {3; - 3;0} \right)\) ⇒ \(BC = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {0^2}} = 3\sqrt 2 \) suy ra b đúng.
c) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {0; - 2; - 2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {3; - 5; - 2} \right)\).
Do đó, \(\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}\)
\( = \frac{{0.3 + \left( { - 2} \right).\left( { - 5} \right) + \left( { - 2} \right).\left( { - 2} \right)}}{{\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{7\sqrt {19} }}{{38}}.\)
Vậy ý c đúng.
d) Gọi \(D\left( {x;y;z} \right)\). Có \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \).
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {0; - 2; - 2} \right)\), \(\overrightarrow {DC} = \left( {4 - x; - 2 - y;3 - z} \right)\).
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}4 - x = 0\\ - 2 - y = - 2\\3 - z = - 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 0\\z = 5\end{array} \right.\) ⇒ \(D\left( {4;0;5} \right)\).
Gọi \(G\left( {a;b;c} \right)\) là trọng tâm tam giác \(ABD\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{1 + 1 + 4}}{3} = 2\\b = \frac{{3 + 1 + 0}}{3} = \frac{4}{2}\\c = \frac{{5 + 3 + 5}}{3} = \frac{{13}}{3}\end{array} \right.\) ⇒ \(G\left( {2;\frac{4}{3};\frac{{13}}{3}} \right)\).
Tọa độ hình chiếu của trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABD\) lên mặt phẳng \(Oyz\) là \(\left( {0;\frac{4}{3};\frac{{13}}{3}} \right)\).
Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất cách điểm xuất phát 2 km về phía nam và 1 km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 0,5 km. chiếc thứ hai mằm cách điểm xuất phát 1 km về phía bắc và 1,5 km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 0,8 m. Chọn hệ trục \(Oxyz\) với O là gốc đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt đất với trục \(Ox\) hướng về phía nam, trục \[Oy\] hướng về phía đông và trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilomet.
Khi đó:
a) Với hệ tọa độ đã chọn, tọa độ khinh khí cầu thứ nhất là \(\left( {2;1;0,5} \right)\).
b) Với hệ tọa độ đã chọn, tọa độ khinh khí cầu thứ hai là \(\left( { - 1,5; - 1;0,8} \right)\).
c) Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ nhất bằng \(\sqrt {21} \) km.
d) Khoảng cách hai chiếc khinh khí cầu là 3,92 km (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Số khẳng định đúng trong các khẳng định trên là:
II. Thông hiểu
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {1;2;3} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {4; - 5;6} \right)\). Vectơ \(2\overrightarrow u - 3\overrightarrow v \) cùng phương với vectơ nào?
Trên phần mềm mô phỏng việc điều khiển drone giao hàng trong không gian \(Oxyz\), một đội gồm ba drone giao hàng \(A,B,C\) đang có tọa độ là \(A\left( {1;1;1} \right)\), \(B\left( {5;7;9} \right)\), \(C\left( {9;11;4} \right)\). Gọi \({d_1},{d_2},{d_3}\) lần lượt là khoảng cách của mỗi cặp drone giao hàng trên. Tính \({d_1} + {d_2} + {d_3}\). (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Trong không gian \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1;2; - 1} \right)\), \(B\left( {2; - 1;3} \right)\), \(C\left( { - 4;7;5} \right)\). Gọi \(D\left( {a;b;c} \right)\) là chân đường phân giác trong góc \(B\) của tam giác \(ABC\). Giá trị \(a + b + 2c\) bằng
Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {3;2; - 5} \right)\), \(B\left( {1;2;4} \right)\), \(C\left( {2;5; - 2} \right)\). Tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) là
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( { - 1 - 1;0} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {0; - 1;0} \right)\). Góc giữa hai vectơ này là:
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {0;2;1} \right)\) và \(B\left( {3; - 2;1} \right)\). Độ dài đoạn thẳng \(AB\) bằng
Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {0;1; - 1} \right)\), \(B\left( {1;2;0} \right)\), \(\left( {m;n;0} \right)\). Giá trị \(m,n\) sao cho ba điểm \(A,B,C\) thẳng hàng:
I. Nhận biết
Trong không gian \(Oxyz\), cho vectơ \(\overrightarrow a = \left( { - 2;6;2} \right)\). Vectơ \(\frac{3}{2}\overrightarrow a \) có tọa độ là
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(M\left( {1; - 2;2} \right)\) và \(N\left( {1;0;4} \right)\). Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng \(MN\) là
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1; - 2;3} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( { - 2;1;2} \right)\). Tích vô hướng \(\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)\overrightarrow b \) bằng
Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(M\left( {2; - 3; - 1} \right)\), \(N\left( {0;3;1} \right)\), \(P\left( {1;m - 1;2} \right)\). Với giá trị nào của \(m\) thì tam giác \(MNP\) vuông tại \(N\)?
Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( { - 1; - 2;3} \right)\), \(B\left( {0;3;1} \right)\), \(C\left( {4;2;2} \right)\). Giá trị \(\cos \left( {\widehat {BAC}} \right)\) bằng
Trong không gian \(Oxyz\). Cho ba điểm \(A\left( { - 2;3;1} \right)\), \(B\left( {2;1;0} \right)\), \(C\left( { - 3; - 1;1} \right)\). Tìm tất cả các giá trị của tọa độ điểm \(D\) sao cho \(ABCD\) là hình thang có đáy \(AD\) và \({S_{ABCD}} = 3{S_{ABC}}\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho hình thang \(ABCD\) vuông tại \(A\) và \(B\). Ba đỉnh \(A\left( {1;2;1} \right)\), \(B\left( {2;0; - 1} \right)\), \(C\left( {6;1;0} \right)\). Hình thang có diện tích bằng \(6\sqrt 2 \). Giả sử đỉnh \(D\left( {a;b;c} \right)\), tìm mệnh đề đúng.
