Cho a, b là hai số dương. Gọi K là hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ hai, giới hạn bởi parabol y = ax² và đường thẳng y = –bx. Thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay K quanh trục hoành là một số không phụ thuộc vào giá trị của a và b nếu a và b thỏa mãn diều kiện nào sau đây?

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=2x{e}^{x^2}$.

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x^2{\left(\frac{x^3}{18}-1\right)}^5$.

Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = e^5x+1.

Cho tam giác giới hạn bởi ba đường y = x, x = 1 và trục Ox. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo bởi phép quay tam giác đó quanh trục Oy.

Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = sin³x.cosx và $F\left(0\right)=\pi$. Tìm $F\left(\frac{\pi }{2}\right)$.

Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = e^x(2x + e^3x).

Tình diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = –x² và đường thẳng y = –x – 2.

Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0, x = 2, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x $\left(0\le x\le 2\right)$ là một nủa hình tròn đường kính $\sqrt{5}{x}^2$.

Tìm giá trị thực của m để hàm số F(x) = x³ – (2m – 3)² – 4x + 10 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x² – 12x – 4 với mọi $x\in \mathrm{ℝ}$

Cho ${\int }_1^{4}f\left(u\right)du=5$, ${\int }_1^{2}f\left(v\right)dv=7$, ${\int }_2^{4}g\left(t\right)dt=7$. Tính tích phân $I={\int }_2^4\left[f\left(x\right)+7g\left(x\right)\right]dx$.

Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0 và x = 3, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x $\left(0\le x\le 3\right)$ là một hình chữ nhật có hai kích thước là x và $2\sqrt{9-x^2}$.

Cho ${\int }_0^{3}f\left(u\right)du=6$, ${\int }_0^{3}g\left(v\right)dv=5$. Tính tích phân $I={\int }_0^3\left[2f\left(x\right)-4g\left(x\right)\right]dx$.

Tìm nguyên hàm $I=\int \frac{dx}{2x+x\sqrt{x}+\sqrt{x}}$.

Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\frac{2}{{\left(x-1\right)}^2}$, trục hoành và các đường thẳng x = 2 và x = 8.

Một viên đạn được bắn theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu là 25m/s. Gia tốc trọng trường là 9,8 m/s². Quãng đường viến đạn đi được từ lúc bắn lên cho đến khi chạm đất là: