Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ có phương trình $d_1:\left\{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=4+t\\ z=-1+2t\end{array}, d_2: \frac{x-2}{-3}=\frac{y}{2}=\frac{z-4}{-2}\right.$.Phương trình đường thẳng $∆$ nằm trong mặt phẳng $\left(\alpha \right)$, cắt cả hai đường thẳng $d_1, d_2$ là

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;0;2) và đường thẳng $d: \frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{2}$ . Phương trình đường thẳng $∆$ qua A, vuông góc và cắt d là:

Trong không gian Oxyz, điểm M' đối xứng với điểm M(1;2;4) qua mặt phẳng $\left(\alpha \right)$: 2x + y + 2z - 3 = 0 có tọa độ là

Cho 3 điểm A(1;2;0), B(1;0-1), C(0;-1;2). Tam giác ABC là

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: $\frac{x+3}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{1}$ và mặt phẳng (P): x + y - 3z - 2 = 0. Gọi  là đường thẳng nằm trong (P), cắt và vuông góc với d. Đường thẳng d' có phương trình là

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-1;0;1), B(-2;1;1). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là

Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng đi qua

A(1;2;4) song song với (P): 2x + y + z - 4 = 0  và cắt đường thẳng

$d: \frac{x-2}{3}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-2}{5}$  có phương trình:

Đường thẳng $∆$ đi qua điểm M(3;1;1), nằm trong mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ : x + y - z = 0 và tạo với đường thẳng $d: \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=4+3t\\ z=-3-2t\end{array}\right.$một góc nhỏ nhất thì phương trình của $∆$ là

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho A(-3;3;-3) thuộc mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ có phương trình 2x - 2y + z + 15 = 0 và mặt cầu (S): ${(x-2)}^2+{(y-3)}^2+{(z-5)}^2=100$. Đường thẳng qua $∆$, nằm trên mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ cắt (S) tại M, N. Để độ dài MN lớn nhất thì phương trình đường thẳng $∆$ là

Trong không gian Oxyz, cho M(2;3;-1) và đường thẳng d: $\frac{x+3}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{1}$. Đường thẳng qua M vuông góc với d và cắt d' có phương trình là

Cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng d: $\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+2}{1}$. Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ A đến  (P) lớn nhất. Khoảng cách từ điểm M(1;2;-1) đến (P) bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(-4;2;-1) và đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=3-t\\ z=t\end{array}\right.$. Gọi A'(a;b;c) là điểm đối xứng với A qua d. Tính a + b + c.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết A(0;0;0), D(2;0;0), B(0; 4;0).

Trong không gian cho mặt phẳng (P): 2x - y + 2z - 4 = 0. Khoảng cách d từ điểm M (3; 1; -2) đến mặt phẳng (P) bằng

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d: \frac{x-1}{2m+1}=\frac{y+3}{2}=\frac{z+1}{m-2}$ và mặt phẳng (P) :  x + y +z - 6 = 0. Gọi đường thẳng $∆$ là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (P) . Có bao nhiêu số thực m để đường thẳng $∆$ vuông góc với giá của véctơ $\overrightarrow{a}$= (-1;0;1)?

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt cầu (S): $x^2+y^2+{(z-1)}^2=25$ và (S'): ${(x-1)}^2+{(y-2)}^2=1$ . Mặt phẳng (P) tiếp xúc (S') và cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi bằng 6$\pi$ . Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P) bằng