Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, biết cạnh bên là $a\sqrt{3}$ và hợp với đáy ABC một góc $60°$. Thể tích khối lăng trụ là:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AD song song với BC, $AD=2BC$. Gọi E, F là hai điểm lần lượt nằm trên các cạnh AB và AD sao cho $\frac{3AB}{AE}+\frac{AD}{AF}=5$ (E, F không trùng với A). Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tỉ số thể tích hai khối chóp S.BCDFE và S.ABCD là:

Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và có thể tích $V=\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$. Tìm số r > 0 sao cho tồn tại điểm J nằm trong khối chóp mà khoảng cách từ J đến các mặt bên và mặt đáy đều bằng r?

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B, $AB=4,SA=SB=SC=12$. Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm AC, BC, AB. Trên cạnh SB lấy điểm F sao cho $\frac{BF}{BS}=\frac{2}{3}$. Thể tích khối tứ diện MNEF bằng:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng 2, $\widehat{BAD}=60°,SA=SC$ và tam giác SBD vuông cân tại S. Gọi E là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AE và cắt hai cạnh SB, SD lần lượt tại M và N. Thể tích lớn nhất $V_0$ của khối đa diện ABCDNEM bằng:

Cho tứ diện ABCD có $AB=a\sqrt{6}$, tam giác ACD đều, hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (BCD) trùng với trực tâm H của tam giác BCD, mặt phẳng (ADH) tạo với mặt phẳng (ACD) một góc $45°$. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

Khối chóp có đáy là hình bình hành, một cạnh đáy bằng a và các cạnh bên đều bằng $a\sqrt{2}$. Thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất là:

Cho hình chóp S.ABC có $AB=AC=4,BC=2,SA=4\sqrt{3},$ $\widehat{SAB}=\widehat{SAC}=30°$. Tính thể tích khối chóp S.ABC

Cho hình lăng trụ  có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc $\widehat{A}=60°$. Chân đường cao hạ từ B’ xuống (ABCD) trùng với giao điểm 2 đường chéo, biết BB'=a. Thể tích khối lăng trụ là:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Điểm I thuộc đoạn SA. Biết mặt phẳng (MNI) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng $\frac{7}{25}$ lần phần còn lại. Tính tỉ số $\frac{IA}{IS}$?

Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác ABC có $AB=BC\sqrt{5},AC=2BC\sqrt{2}$, hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm O của cạnh AC. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 2. Mặt phẳng (SBC) hợp với mặt phẳng (ABC) một góc $\alpha$ thay đổi. Biết rằng giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S.ABC bằng $\frac{\sqrt{a}}{b}$, trong đó $a,b\in N*$, a là số nguyên tố. Tổng a + b bằng:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy nằm trong hình vuông ABCD. Biết rằng SA và SC tạo với đáy các góc bằng nhau, góc giữa SB và đáy bằng $45°$, góc giữa SD và đáy bằng $\tan \alpha =\frac{1}{3}$ với . Tính thể tích khối chóp đã cho.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng $\sqrt{6}$. Biết rằng các mặt bên của hình chóp có diện tích bằng nhau và một trong các cạnh bên bằng $3\sqrt{2}$. Tính thể tích nhỏ nhất của khối chóp S.ABC

Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên bằng $a\sqrt{2}$. Xét điểm M thay đổi trên mặt phẳng SCD sao cho tổng $Q=M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2+M{D}^2+M{S}^2$ nhỏ nhất. Gọi $V_1$ là thể tích của khối chóp S.ABCD và $V_2$ là thể tích của khối chóp M.ACD. Tỉ số $\frac{V_2}{V_1}$ bằng:

Cho tứ diện SABC và G là trọng tâm của tứ diện, mặt phẳng quay quanh AG và cắt các cạnh SB, SC tương ứng tại M, N. Giá trị nhỏ nhất của tỉ số $\frac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABC}}$ là

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi $V_1,V_2$ lần lượt là thể tích của khối tứ diện ACB’D’ và khối hộp ABCD.A'B'C'D'. Tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$ bằng: