Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_1:\frac{\mathrm{x}-1}{-2}=\frac{\mathrm{y}+2}{1}=\frac{\mathrm{z}-3}{2}$ và ${\mathrm{\Delta }}_2:\frac{\mathrm{x}+3}{1}=\frac{\mathrm{y}-1}{1}=\frac{\mathrm{z}+2}{-4}$. Góc giữa hai đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2$ bằng:

Cho đường thẳng d có VTCP $\overrightarrow{\mathrm{u}}$ và mặt phẳng (P) có VTPT $\overrightarrow{\mathrm{n}}$. Nếu d // (P) thì:

Cho hai đường thẳng $\mathrm{\Delta },\mathrm{\Delta }\text{'}$ có VTCP lần lượt là $\overrightarrow{\mathrm{u}},\overrightarrow{\mathrm{u}\text{'}}$ và đi qua các điểm M, M’. Khi đó:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 3z – 1 = 0 và đường thẳng $\mathrm{d}:\frac{\mathrm{x}-1}{3}=\frac{\mathrm{y}-2}{3}=\frac{\mathrm{z}-3}{1}$. Khẳng định nào sau đây đúng:

Giao điểm của hai đường thẳng $\mathrm{d}:\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=-3+2\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=-2+3\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=6+4\mathrm{t}\end{array}\right.$ và $\mathrm{d}\text{'}:\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=5+\mathrm{t}\text{'}\\ \mathrm{y}=-1-4\mathrm{t}\text{'}\\ \mathrm{z}=20+\mathrm{t}\text{'}\end{array}\right.$ có tọa độ là

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\mathrm{d}:\frac{\mathrm{x}-3}{2}=\frac{\mathrm{y}-4}{1}=\frac{\mathrm{z}-2}{1}$ và 2 điểm A(6;3;-2), B(1;0;-1). Gọi $∆$ là đường thẳng đi qua B, vuông góc với d và thỏa mãn khoảng cách từ A đến $∆$ là nhỏ nhất. Một vectơ chỉ phương của $∆$ có tọa độ:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – z + 3 = 0 và đường thẳng $\mathrm{d}:\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=2+\mathrm{mt}\\ \mathrm{y}=\mathrm{n}+3\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=1-2\mathrm{t}\end{array}\right.$. Với giá trị nào của m, n thì d nằm trong (P)?

Cho đường thẳng d có VTCP $\overrightarrow{\mathrm{u}}$ và mặt phẳng (P) có VTPT $\overrightarrow{\mathrm{n}}$. Nếu $\overrightarrow{\mathrm{u}}\perp \overrightarrow{\mathrm{n}}$ và một điểm thuộc d cũng thuộc (P) thì

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 3x + y + z – 5 = 0 và (Q): x + 2y + z – 4 = 0. Khi đó, giao tuyến của (P) và (Q) có phương trình là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $\mathrm{d}:\frac{\mathrm{x}+1}{2}=\frac{\mathrm{y}-1}{-1}=\frac{\mathrm{z}+3}{3}$ và mặt phẳng (P): x – 2y + z – 1 = 0. Biết đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại điểm A(a;b;c). Tính a + b + c

Tọa độ giao điểm của đường thẳng d có phương trình $\mathrm{d}:\frac{\mathrm{x}+1}{1}=\frac{\mathrm{y}}{-1}=\frac{\mathrm{z}+2}{3}$ với mặt phẳng (P) có phương trình (P): x + 2y – z – 3 = 0 là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;-1;0), B(1;0;-2), C(3;-1;-1). Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng ${\mathrm{d}}_1:\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=2+2\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=-1+\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=1\end{array}\right.,$${\mathrm{d}}_2:\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=1\\ \mathrm{y}=1+\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=3-\mathrm{t}\end{array}\right.$ là:

Cho $\mathrm{d}:\frac{\mathrm{x}+1}{2}=\frac{\mathrm{y}-3}{\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{z}-1}{\mathrm{m}-2}$; (P): x + 3y + 2z – 5 = 0. Tìm m để d và (P) vuông góc với nhau.

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\mathrm{d}:\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=1+\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=2-\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=1-3\mathrm{t}\end{array}\right.$. Đường thẳng $∆$ đi qua gốc tọa độ O, vuông góc với trục hoành Ox và vuông góc với đường thẳng d có phương trình là:

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;1;-2) và đường thẳng $\mathrm{d}:\frac{\mathrm{x}-1}{2}=\frac{\mathrm{y}+1}{1}=\frac{\mathrm{z}}{-2}$. Đường thẳng qua A và song song với d có phương trình tham số là: