Cho $I = {\int }_1^e\frac{\ln x}{x{(\ln x + 2)}^2}dx$ có kết quả I = lna +b với $a>0; b\in \mathrm{ℝ}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hàm số y =f(x) thỏa mãn ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\sin xf\left(x\right)dx = f\left(0\right) = 1$Tính ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\cos x.f\text{'}\left(x\right)dx$

Cho ${\int }_1^{2}f(x^2+1)dx = 2$ Khi đó $I = {\int }_2^{5}f\left(x\right)dx$bằng

Biết ${\int }_1^2\frac{x}{3x+\sqrt{9x^2-1}}dx = a+b\sqrt{2}+c\sqrt{35}$ với a, b, c là các số hữu tỉ, tính P = a+2b+c-7

Cho f(x) là hàm số liên tục trên Rvà thỏa mãn điều kiện ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx = 4; {\int }_0^{3}f\left(x\right)dx = 6$ Tính $I = {\int }_{-1}^{1}f\left(\left|2x+1\right|\right)dx$

Hàm số $f\left(x\right) = \frac{7\cos x - 4\sin x}{\cos x + \sin x}$ có một nguyên hàm F(x)thỏa mãn $F\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=\frac{3\mathrm{\pi }}{8}$ Giá trị của $F\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$bằng

Cho hàm số f(x) liên tục trong đoạn [1;e], biết ${\int }_1^e\frac{f\left(x\right)}{x}dx = 1; f\left(e\right) = 2$ Tích phân ${\int }_1^{e}f\text{'}\left(x\right)\ln xdx$

Giả sử $\int \frac{2x+3}{x(x+1)(x+2)(x+3) + 1}dx =-\frac{1}{g\left(x\right)}+C$ (C là hằng số). Tính tổng của các nghiệm của phương trình g(x) = 0

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = x$ và $y = e^x$, trục tung và đường thẳng x=1 được tính theo công thức

Tích phân $I = {\int }_0^1{e}^{2x}dx$ bằng

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn f(1) = 1; ${\int }_0^1{[f\text{'}(x\left)\right]}^{2}dx = 9$ và ${\int }_0^1{x}^{3}f\left(x\right)dx = \frac{1}{2}$ Tích phân ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx$ bằng

Biết ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{3}}\frac{x^{2}dx}{{(x\sin x + \cos x)}^2}=\frac{a\mathrm{\pi }}{b+c\mathrm{\pi }\sqrt{3}}+d\sqrt{3}$với $a,b,c,d\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}^{}$ Tính P = a+b+c+d

Tích phân ${\int }_0^{\mathrm{\pi }}(3x+2){\cos }^{2}xdx$bằng:

Cho parabol (P) có đồ thị như hình vẽ:

Tính diện tích giới hạn bởi (P) và trục hoành

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Diện tích S  của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) trục hoành và hai đường thẳng x=a; x=b (a<b) được tính theo công thức:

Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \sqrt{x}$, trục Ox và hai đường thẳng x=1; x=4 khi quay quanh trục hoành được tính bởi công thức nào?