Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm, liên tục trên R và f(0) = 0 $f\left(x\right) + f(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-x) = \sin x. \cos x$, với mọi $x\in R$. Giá trị tích phân ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}xf\text{'}\left(x\right)dx$ bằng

Biết ${\int }_0^{3}x.\ln (x^2+16)dx = a\ln 5 + b\ln 2 + \frac{c}{2}$ trong đó a, b, c là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức T = a+b+c

Cho y =f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên R. Biết ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx =\frac{1}{2} {\int }_1^{2}f\left(x\right)dx = 1$. Giá trị của ${\int }_{-2}^2\frac{f\left(x\right)}{3^x+1}$ bằng

Gọi S là diện tích miền hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ bên. Công thức tính S là

Cho hàm số $y = \frac{x-m^2}{x+1}$ (với m là tham số khác 0) có đồ thị là (C). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và hai trục tọa độ. Có bao nhiêu giá trị thực của m thỏa mãn S = 1?

Cho f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên R thỏa mãn ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx = 2018$ và g(x) là hàm số liên tục trên R thỏa mãn $g\left(x\right)+g(-x) = 1$ Tính tích phân $I = {\int }_{-1}^{1}f\left(x\right).g\left(x\right)dx$

Tính diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng x=4; x=9 và đường cong có phương trình $y^2 = 8x$

Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = {(x-3)}^2$ , trục tung và trục hoành. Gọi $k_1, k_2 (k_1<k_2)$ là hệ số góc của hai đường thẳng cùng đi qua điểm A(0;9) và chia (H) thành ba phần có diện tích bằng nhau. Tính $k_1-k_2$

Biết ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\frac{x+x\cos x-{\sin }^{3}x}{1+\cos x}dx = \frac{{\mathrm{\pi }}^2}{3}-\frac{b}{c}$ Trong đó a, b, c là các số nguyên dương, phân số b/c tối giản. Tính $T = a^2+b^2+c^2$

Cho hàm số f(x) liên tục trên R vàvà $\forall x\in [0;2018]$, ta có f(x)>0 và f(x).f(2018-x)=1 . Giá trị của tích phân $I = {\int }_0^{2018}\frac{1}{1+f\left(x\right)}dx$

Cho ${\int }_1^{e}x\ln xdx = \frac{a{e}^2+b}{c}$ với $a,b,c\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ Tính T = a+b+c

Cho tam thức bậc hai $f\left(x\right) = a{x}^2+bx+c$ có hai nghiệm thực phân biệt $x_1,x_2$ Tính tích phân ${\int }_{x_1}^{x_2}{(2ax+b)}^3.e^{a{x}^2+bx+c}dx$

Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi phép quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường $y =0; y = \sqrt{x}; y= x-2$

Cho hàm số f(x) có đạo hàm không âm trên [0;1] thỏa mãn ${\left[f\right(x\left)\right]}^4.{[f\text{'}(x\left)\right]}^2(x^2+1)=1+f^3\left(x\right)$ và f(x)>0 biết f(0) = 2 Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

Cho hàm số f(x) xác định trên $\mathrm{ℝ}\backslash \left\{-2;1\right\}$ thỏa mãn $f\text{'}\left(x\right) = \frac{1}{x^2+x-2}; f\left(0\right) = \frac{1}{3}$  và f(3)-f(-3) = 0 Tính giá trị của biểu thức T = f(-4)+f(-1)-f(4)

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx = 2$; ${\int }_1^{3}f\left(x\right)dx = 6$ Tính ${\int }_0^{3}f\left(x\right)dx$