Cho $a\in \left(0;\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$. Hãy tính ${\int }_e^{\tan a}\frac{xdx}{1+x^2}+{\int }_e^{\mathrm{co}t a}\frac{dx}{x(1+x^2)}$

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn f(-x) + 2f(x) = cosx. Tính tích phân $I = {\int }_{\frac{-\mathrm{\pi }}{2}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}f\left(x\right)dx$

Tính nguyên hàm $\int \frac{\ln (\ln x)}{x}dx$

Vận tốc của một vật chuyển động là $v\left(t\right) = \frac{1}{2\mathrm{\pi }}+\frac{\sin \left(\mathrm{\pi t}\right)}{\mathrm{\pi }}$(m/s). Tính quãng đường di chuyển của vật đó trong khoảng thời gian 1,5 giây (làm tròn đến kết quả hàng phần trăm)

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^2$ và $y = \sqrt{x}$. Tính giá trị của biểu thức $3S{(3S-2)}^{2018}$

Cho hàm số $g\left(x\right) = {\int }_x^{x^2}\frac{dt}{\ln t}$ với x>1. Tìm tập giá trị T của hàm số

Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi h(t) là thể tích nước bơm được sau t giây. Cho $h\text{'}\left(t\right) = 3a{t}^2+bt$ và:

- Ban đầu bể không có nước

- Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là $150m^3$

- Sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là $1100m^3$

Tính thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây.

Tính thể tích V của vật thể sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của hình (H) giới hạn bởi các đường $y = \sqrt{{\log }_{2}x}$, x+y-3=0; y=0

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \left(\sqrt{x}+1\right)\ln x$; các đường thẳng x=1; $x = e^2$ và trục hoành

Cho ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}(2x-1-\sin x)dx = \mathrm{\pi }\left(\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{a}}-\frac{1}{\mathrm{b}}\right)-1$. Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là sai?

Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y = \sqrt{x}$, trục tung và đường thẳng y=2 quay quanh trục Oy.

Giả sử tích phân $I = {\int }_{\frac{3\mathrm{\pi }}{4}}^{\mathrm{\pi }}\frac{{\tan }^{2}x - \tan x}{e^x}dx = e^{-k\mathrm{\pi }}$. Tính giá trị của k

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong (C) $y = x^3-3x + 2$và (P) $y = \sqrt{2x}+2$. Thể tích của khối tròn xoay nhận được khi cho (H) quay quanh trục Ox có dạng $V = \frac{\mathrm{\pi a}}{b}+2018c+2019d$. Hỏi mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là sai?

Giả sử ${\int }_{-1}^2\frac{e^{x}dx}{2+e^x}=\ln \frac{ae+e^3}{ae+b}$ với a, b là các số nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức $P = \sin \left(\frac{\mathrm{\pi b}}{a}+2017\mathrm{\pi }\right) + \cos \left(\frac{\mathrm{\pi b}}{a}-\sin 2018\mathrm{\pi }\right)$

Cho ${\int }_0^6\ln (x+3)dx = x\ln (x+3)\begin{array}{c}6\\ 0\end{array}-{\int }_0^{6}f\left(x\right)dx$. Tìm hàm số f(x)

Cho $\int \frac{1}{\sqrt{mx + m^2-8}}dx = \frac{2}{3}\sqrt{3x+1}+C$. Tính giá trị của tích phân $I = {\int }_{m-2}^{e}x{\ln }^{2}x$