Cho số thực $a\ne 0$. Đặt $b = {\int }_{-a}^a\frac{1}{(2a+x).e^x}dx$. Tính $I = {\int }_0^{2a}\frac{e^x}{3a-x}dx$ theo a và b.

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = 2^x$ thỏa mãn $F\left(0\right) = \frac{1}{\ln 2}$. Tính giá trị biểu thức $T = F\left(0\right)+ F\left(1\right) + ...+ F\left(2017\right)$

Cho ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}f\left(x\right) \sin x dx = {\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}f\text{'}\text{'}\left(x\right).\sin x dx = f\left(0\right) = 1$ Tính $f\text{'}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^2\sqrt{x^2+1}$ trục Ox và đường thẳng x=1 bằng $\frac{a\sqrt{b}-\ln \left(1+\sqrt{b}\right)}{c}$ với a,b,c là các nguyên số dương. Khi đó giá trị của a+b+c là:

Biết ${\int }_2^{3}f\left(x\right)dx = 5$. Khi đó ${\int }_2^3\left[3-5f\left(x\right)\right]dx$ bằng:

Nếu $f\left(x\right) = \left(a{x}^2+bx+c\right)\sqrt{2x-1}$ là một nguyên hàm của hàm số  $g\left(x\right) = \frac{10x^2-7x+2}{\sqrt{2x-1}}$ trên $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$ thì a+b+c là:

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $y = \sqrt{x+2}$, $y = x+2$; $x=1$. Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay hình (H) quanh trục hoành.

Tích phân ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}x.(1+\cos x)dx = a{\mathrm{\pi }}^2+\mathrm{b\pi }-1$ với a.b là:

Cho biết ${\int }_0^{\sqrt{2}}x.f\left(x^2\right)dx = 4$, ${\int }_2^{3}f\left(z\right)dz = 2$, ${\int }_9^{16}\frac{f\left(\sqrt{t}\right)}{\sqrt{t}}=2$. Tính ${\int }_0^{4}f\left(x\right)dx$

Biết nguyên hàm của hàm số y = f(x) là $F\left(x\right) = x^2+4x+1$. Khi đó f(3) bằng:

Cho $I = {\int }_1^e\ln x dx$ Khi đó:

Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^3$, trục hoành và hai đường x=-1, x=2, biết rằng mỗi đơn vị dài trên các trục tọa độ là 2cm.

Kí hiệu F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = \frac{1}{e^x+1}$, biết F(0) = -ln2. Tìm tập nghiệm S của phương trình F(x) + ln(e^x +1)

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn $2f\left(x\right) + 3f(-x) = \frac{1}{4+x^2}$. Tính tích phân I = ${\int }_{-2}^{2}f\left(x\right)dx$

Biết f(3) = 3; ${\int }_0^{3}f\left(x\right)dx = 14$. Tính $I = {\int }_0^{1}2x.f\text{'}\left(3x\right)dx$.

Ta có: ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx = 2$; ${\int }_1^{3}f\left(x\right)dx = 4$. Tính ${\int }_0^{1}f\left(3x\right)dx$.