Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(10; 6; −2), B(5; 10; −9) và mặt phẳng (α): 2x + 2y + z – 12 = 0. Điểm M thay đổi thuộc mặt phẳng (α) sao cho hai đường thẳng MA và MB luôn tạo với (α) các góc bằng nhau. Biết rằng điểm M luôn thuộc một đường tròn cố định. Hoành độ của tâm đường tròn đó bằng
A.
B. −4;
C. 2;
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: C
Mặt phẳng (α) có phương trình: 2x + 2y + z – 12 = 0.
Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A và B lên (α).
• Với A(10; 6; −2) ta có:
AH = d(A;(α)) = = 6
• Với B(5; 10; −9) ta có:
BK = d(B;(α)) = = 3
Vì điểm M di động trên mặt phẳng (α) sao cho MA, MB luôn tạo với (α) các góc bằng nhau nên ta có sin = sin
Þ MA = 2MB
Gọi M(x; y; z).
MA = 2MB Û MA2 = 4MB2
Û (x – 10)2 + (y – 6)2 + (z + 2)2 = 4[(x – 5)2 + (y – 10)2 + (z + 9)2]
Û x2 – 20x + 100 + y2 – 12y + 36 + z2 + 4z + 4
= 4x2 – 40x + 100 + 4y2 – 80y + 400 + 4z2 + 72z + 324
Û 3x2 + 3y2 + 3z2 – 20x – 68y + 68z + 684 = 0
Û x2 + y2 + z2 − x − y + z + 228 = 0
Suy ra điểm M thỏa mãn
Mặt cầu (S) có tâm I.
Gọi (ω) là đường tròn cố định luôn đi qua M.
Do đó M ∈ (ω) là giao tuyến của (α) và (S).
Þ Tâm N của (ω) là hình chiếu của tâm I trên mặt phẳng (α).
Mặt phẳng (α): 2x + 2y + z – 12 = 0 có vectơ pháp tuyến là (2; 2; 1).
Phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với (α) là:
Vì N là hình chiếu của I lên (α) nên N ∈ d.
Þ
Mà N ∈ (α) nên ta có:
Þ 20 + 12t + 68 + 12t – 34 + 3t – 36 = 0
Þ 27t = –18
Þ t =
Suy ra điểm N(2; 10; −12)
Vậy hoành độ của tâm đường tròn (ω) bằng 2.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình z2 – 2mz + 6m – 5 = 0 có hai nghiệm phức phân biệt z1, z2 thỏa mãn |z1| = |z2|?
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x − 2y + 1 = 0. Một vectơ pháp tuyến của (P) có tọa độ là
Biết rằng = aln2 + bln3 + cln5, với a, b, c ∈ ℚ. Giá trị a + b + c bằng
Cho các số phức z1 = 3 + 2i; z2 = 3 – 2i. Phương trình bậc hai có nghiệm z1, z2 là
Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(x) + f '(x) = e−x, ∀ x ∈ ℝ và f(0) = 2. Tất cả các nguyên hàm của f(x)e2x là
Trong không gian Oxyz, cho ba đường thẳng d: ∆1: và ∆2: . Đường thẳng ∆ vuông góc với d đồng thời cắt ∆1, ∆2 lần lượt tại H, K sao cho HK nhỏ nhất. Biết rằng ∆ có một vectơ chỉ phương (h; k; 1). Giá trị h – k bằng
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1; 3]. Biết F(x) là nguyên hàm của f(x) trên đoạn [1; 3] thỏa mãn F(1) = −2 và F(3) = 5. Khi đó bằng
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z – 1|2 + |z − |i + (z + )i2023 = 1?
