Cho dãy số (u_n ) với $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ u_{n+1}=u_n+{\left(-1\right)}^{2n}\end{array}\right..$  Số hạng tổng quát u_n của dãy số là số hạng nào dưới đây?

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có $1.4+2.7+\mathrm{...}+n(3n+1)=n{\left(n+1\right)}^2\left(1\right)$

Cho hai dãy số $\left(u_n\right), \left(v_n\right)$ được xác định như sau $u_1=\mathrm{3,}{v}_1=2 \mathrm{và} \left\{\begin{array}{l}{u}_{n+1}=u_n^2+2v_n^2\\ v_{n=1}=2u_n.v_n\end{array}\right.$ với $\mathrm{n}\ge 2.$Công thức tổng quát của hai dãy $\left(u_n\right) và \left(v_n\right)$ là

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có $\frac{1}{\mathrm{1.2.3}}+\frac{1}{\mathrm{2.3.4}}+\mathrm{...}+\frac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\frac{n\left(n+3\right)}{4\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\left(1\right)$

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $\mathrm{n}\ge 2$ , ta có ${1.2}^2+{2.3}^3+{3.4}^4+\mathrm{...}+\left(n-1\right)n^2=\frac{n\left(n^2-1\right)\left(3n+2\right)}{12}\left(1\right)$

Với mỗi số nguyên dương, kí hiệu $u_n={5.2}^{3n-2}+3^{3n-1}$

Một học sinh chứng minh u_n luôn chia hết cho 19 như sau:

Bước 1: Khi n=1 ta có $u_1={5.2}^1+3^2=19\Rightarrow u_1⋮19$

Bước 2: Giả sử $u_k={5.2}^{3k-2}+3^{3k+1}$  chia hết cho 19 với $\mathrm{k}\ge 1$

Khi đó ta có $u_{k+1}={5.2}^{3k+1}+3^{3k+2}=8\left({5.2}^{3k-2}+3^{3k-1}\right)+{19.3}^{3k-1}$

Bước 3: Vì ${5.2}^{3k-2}+3^{3k-1} \mathrm{và} {19.3}^{3k-1}$ chia hết cho 19 nên ${\mathrm{u}}_{\mathrm{k}+1}$  chia hết cho 19,

Vậy u_n chia hết cho 19, $\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $\mathrm{n}\ge 2$  ta có $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\mathrm{...}+\frac{1}{n+n}>\frac{13}{24}\left(1\right)$

Với mỗi số nguyên dương, kí hiệu $u_n={5.2}^{3n-2}+3^{3n-1}$

Một học sinh chứng minh u_n luôn chia hết cho 19 như sau:

Bước 1: Khi n=1 ta có $u_1={5.2}^1+3^2=19\Rightarrow u_1⋮19$

Bước 2: Giả sử $u_k={5.2}^{3k-2}+3^{3k+1}$  chia hết cho 19 với $\mathrm{k}\ge 1$

Khi đó ta có $u_{k+1}={5.2}^{3k+1}+3^{3k+2}=8\left({5.2}^{3k-2}+3^{3k-1}\right)+{19.3}^{3k-1}$

Bước 3: Vì ${5.2}^{3k-2}+3^{3k-1} \mathrm{và} {19.3}^{3k-1}$ chia hết cho 19 nên ${\mathrm{u}}_{\mathrm{k}+1}$  chia hết cho 19,

Vậy u_n chia hết cho 19, $\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?

Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi giá trị nguyên $\mathrm{n}\ge \mathrm{p}$ với p là số nguyên dương ta sẽ tiến hành 2 bước

Bước 1 (bước cơ sở). Chứng minh rằng A(n) đúng khi n=1

Bước 2 (bước quy nạp). Với số nguyên dương tùy ý k, ta giả sử A(n) đúng khi n=k (theo giả thiết quy nạp). Ta sẽ chứng minh rằng A(n) đúng khi n=k+1

Hãy chọn câu trả lời đúng tương ứng với lí luận trên.