Cho hình chóp S.ABC có ASB^=CSB^=600, ASC^=900 và SA=SB=a,SC=3a . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC

Gọi M là trung điểm của AB⇒SM⊥AB.1 Ta có SA=SBASB^=600⇒ΔSAB đều →AB=aSM=a32. Tam giác SAC, có AC=SA2+SC2=a10. Tam giác SBC, có BC=SB2+SC2−2SB.SC.cosBSC^=a7. Tam giác ABC, có cosBAC^=AB2+AC2−BC22AB.AC=105. →CM=AM2+AC2−2AM.AC.cosBAC^=a332. Ta có SM2+MC2=SC2=9a2→ΔSMC vuông tại →SM⊥MC2 . Từ 1 và 2 , ta có SM⊥ABC. Diện tích tam giác SΔABC=12AB.AC.sinBAC^=a262. Vậy thể tích khối chop VSABC=13SΔABC.SM=a324. Chọn D. Cách 2. Trên cạnh SC lấy điểm D sao cho SD=a . Dễ dàng suy ra AB=CD=a, AD=a2SA=SD=a, AD=a2→ΔABD vuong canΔSAD vuong can. Lại có SA=SB=SD=a nên hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABD là trung điểm I của AD Ta tính được SI=a22 và SΔABD=12a2. Suy ra VS.ABD=13SΔABD.SI=a3212. Ta có VS.ABDVS.ABC=SDSC=13 →VS.ABC=3VS.ABD=a324. Cách 3. Phương pháp trắc nghiệm. Cho hình chóp SS.ABC có ASB^=α, BSC^=β, CSA^=γ và SA=a,SB=b,SC=c.'' Khi đó ta có:VS.ABC=abc61−cos2α−cos2β−cos2γ−2cosαcosβcosγ. Áp dụng công thức, ta được VS.ABC=a324.

Câu hỏi:

23/06/2023 53

Cho hình chóp S.ABC có $\hat{A S B} = \hat{C S B} = 60^{0}, \hat{A S C} = 90^{0}$ và $S A = S B = a, S C = 3 a$ . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{3} .$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{12} .$

C. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12} .$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{4} .$

Đáp án chính xác

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Gọi M là trung điểm của $A B \Rightarrow S M ⊥ A B . (1)$
Ta có $\{\begin{cases} S A = S B \\ \hat{A S B} = 60^{0} \end{cases} \Rightarrow Δ S A B$ đều $\overset{}{\to} \{\begin{cases} A B = a \\ S M = \frac{a \sqrt{3}}{2} \end{cases} .$

Tam giác SAC, có $A C = \sqrt{S A^{2} + S C^{2}} = a \sqrt{10} .$

Tam giác SBC, có $B C = \sqrt{S B^{2} + S C^{2} - 2 S B . S C . \cos \hat{B S C}} = a \sqrt{7} .$

Tam giác ABC, có $\cos \hat{B A C} = \frac{A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}}{2 A B . A C} = \frac{\sqrt{10}}{5} .$

$\overset{}{\to} C M = \sqrt{A M^{2} + A C^{2} - 2 A M . A C . \cos \hat{B A C}} = \frac{a \sqrt{33}}{2} .$

Ta có $S M^{2} + M C^{2} = S C^{2} = 9 a^{2} \overset{}{\to} Δ S M C$ vuông tại $\overset{}{\to} S M ⊥ M C (2)$ .

Từ $(1)$ và $(2)$ , ta có $S M ⊥ (A B C) .$

Diện tích tam giác $S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A B . A C . \sin \hat{B A C} = \frac{a^{2} \sqrt{6}}{2} .$

Vậy thể tích khối chop $V_{S A B C} = \frac{1}{3} S_{Δ A B C} . S M = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{4} .$ Chọn D.

Cách 2.

Trên cạnh SC lấy điểm D sao cho $S D = a$ .

Dễ dàng suy ra $\{\begin{cases} A B = C D = a, A D = a \sqrt{2} \\ S A = S D = a, A D = a \sqrt{2} \end{cases} \overset{}{\to} \{\begin{cases} Δ A B D vuong can \\ Δ S A D vuong can \end{cases} .$

Lại có $S A = S B = S D = a$ nên hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng $(A B D)$ là trung điểm I của AD

Ta tính được $S I = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ và $S_{Δ A B D} = \frac{1}{2} a^{2} .$

Suy ra $V_{S . A B D} = \frac{1}{3} S_{Δ A B D} . S I = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12} .$

Ta có $\frac{V_{S . A B D}}{V_{S . A B C}} = \frac{S D}{S C} = \frac{1}{3}$

$\overset{}{\to} V_{S . A B C} = 3 V_{S . A B D} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{4} .$

Cách 3. Phương pháp trắc nghiệm. Cho hình chóp SS.ABC có $\hat{A S B} = α, \hat{B S C} = β, \hat{C S A} = γ$ và $S A = a, S B = b, S C = c .''$ Khi đó ta có: $V_{S . A B C} = \frac{a b c}{6} \sqrt{1 - \cos^{2} α - \cos^{2} β - \cos^{2} γ - 2 \cos α \cos β \cos γ} .$

Áp dụng công thức, ta được $V_{S . A B C} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{4} .$

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với $A C = 2 a, B C = a$ . Đỉnh S cách đều các điểm $A, B, C .$ Biết góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng $(A B C D)$ bằng $60^{o} .$ Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD

Xem đáp án » 05/01/2023 151

Câu 2:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy $(A B C D)$ và $S C = a \sqrt{5}$ . Tính theo a thể tích V khối chóp S.ABCD

Xem đáp án » 05/01/2023 142

Câu 3:

Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

Xem đáp án » 05/01/2023 131

Câu 4:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, $A B = B C = 1, A D = 2$ . Cạnh bên $S A = 2$ và vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Xem đáp án » 05/01/2023 128

Câu 5:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có $A B = a, B C = a \sqrt{3}$ . Mặt bên $(S A B)$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(A B C)$ . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC.

Xem đáp án » 05/01/2023 124

Câu 6:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh $A B = a$ , $B C = 2 a$ . Hai mặt bên $(S A B)$ và $(S A D)$ cùng vuông góc với mặt phẳng đáy $(A B C D)$ , cạnh SA. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD

Xem đáp án » 05/01/2023 118

Câu 7:

Cho hình chóp S.ABC có tam giác SBC là tam giác vuông cân tại S, $S B = 2 a$ và khoảng cách từ A đến mặt phẳng $(S B C)$ bằng $3 a .$ Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC

Xem đáp án » 05/01/2023 110

Câu 8:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và $S A = a \sqrt{2} .$ Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD

Xem đáp án » 05/01/2023 109

Câu 9:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và $B A = B C = a$ . Cạnh bên $S A = 2 a$ và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC.

Xem đáp án » 05/01/2023 108

Câu 10:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a và thể tích bằng $a^{3}$ . Tính chiều cao h của hình chóp đã cho.

Xem đáp án » 05/01/2023 107

Câu 11:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, cạnh huyền AB bằng 3. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt đáy trùng với trọng tâm của tam giác ABC và $S B = \frac{\sqrt{14}}{2}$ . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC.

Xem đáp án » 05/01/2023 107

Câu 12:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, $A B = A C = a$ . Cạnh bên SA vuông góc với đáy $(A B C)$ . Gọi I là trung điểm của BC, SI tạo với mặt phẳng $(A B C)$ góc $60^{0} .$ Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC.

Xem đáp án » 05/01/2023 106

Câu 13:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng $(A B C D)$ là trung điểm H của cạnh AB, góc giữa SC và mặt đáy bằng $30^{0}$ . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

Xem đáp án » 05/01/2023 105

Câu 14:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác vuông tại S. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là điểm H thuộc cạnh AD sao cho $H A = 3 H D$ . Biết rằng $S A = 2 a \sqrt{3}$ và SC tạo với đáy một góc bằng $30^{0}$ . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.

Xem đáp án » 05/01/2023 104

Câu 15:

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, $S A = 2 a$ . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.

Xem đáp án » 05/01/2023 102

Xem thêm các câu hỏi khác »

Đề thi liên quan

Xem thêm »

250 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

10 đề 35999 lượt thi Thi thử
150 câu trắc nghiệm Nguyên hàm - Tích phân cơ bản

6 đề 35404 lượt thi Thi thử
Bài tập về Tính đơn điệu của hàm số có lời giải

3 đề 32587 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao

11 đề 22566 lượt thi Thi thử
Bài tập Cực trị hàm số cơ bản, nâng cao có lời giải

5 đề 20775 lượt thi Thi thử
70 câu trắc nghiệm Khối đa diện cơ bản

6 đề 18068 lượt thi Thi thử
Đề thi thử Hình học không gian trong đề thi Đại học 2017 có lời giải

23 đề 17496 lượt thi Thi thử
200 câu trắc nghiệm Hàm số mũ và Logarit nâng cao

9 đề 17000 lượt thi Thi thử
150 câu trắc nghiệm Nguyên hàm - Tích phân nâng cao

6 đề 12634 lượt thi Thi thử
200 câu trắc nghiệm Hàm số mũ và Logarit cơ bản

9 đề 12315 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »