50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 12 Bài Thể tích khối chóp có đáp án (Mới nhất)

Câu 1:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và $S A = a \sqrt{2} .$ Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{6} .$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{4} .$

C. $V = a^{3} \sqrt{2} .$

D.

V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3} .

Xem đáp án

Diện tích hình vuông ABCD là $S_{A B C D} = a^{2}$ .

Chiều cao khối chóp là $S A = a \sqrt{2} .$

Vậy thể tích khối chóp $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S A = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3} .$

Chọn D.

Câu 2:

Cho hình chóp S.ABC có tam giác SBC là tam giác vuông cân tại S, $S B = 2 a$ và khoảng cách từ A đến mặt phẳng $(S B C)$ bằng $3 a .$ Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC

A. $V = 2 a^{3}$ .

B. $V = 4 a^{3}$ .

C. $V = 6 a^{3}$

D. $V = 12 a^{3}$ .

Xem đáp án

Ta chọn $(S B C)$ làm mặt đáy $\overset{}{\to}$ chiều cao khối chóp là $d [A, (S B C)] = 3 a .$

Tam giác $S B C$ vuông cân tại S nên $S_{Δ S B C} = \frac{1}{2} S B^{2} = 2 a^{2} .$

Vậy thể tích khối chóp $V = \frac{1}{3} S_{Δ S B C} . d [A, (S B C)] = 2 a^{3} .$ Chọn A.

Câu 3:

Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, $S A = 4, A B = 6, B C = 10$ và $C A = 8$ . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.

A. $V = 40.$

B.

V = 192.

C.

V = 32.

D.

V = 24.

Xem đáp án

Tam giác ABC, có $A B^{2} + A C^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 10^{2} = B C^{2}$

tam giác ABC vuông tại A $\overset{}{\to} S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A B . A C = 24.$

Vậy thể tích khối chóp

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S_{Δ A B C} . S A = 32.

Chọn C.

Câu 4:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh

A B = a

,

B C = 2 a

. Hai mặt bên

(S A B)

và

(S A D)

cùng vuông góc với mặt phẳng đáy

(A B C D)

, cạnh SA. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD

A. $V = \frac{2 a^{3} \sqrt{15}}{6}$ .

B.

V = \frac{2 a^{3} \sqrt{15}}{3}

.

C.

V = 2 a^{3} \sqrt{15}

.

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{15}}{3}$ .

Xem đáp án

Vì hai mặt bên $(S A B)$ và $(S A D)$ cùng vuông góc với $(A B C D)$ , suy ra $S A ⊥ (A B C D)$ . Do đó chiều cao khối chóp là $S A = a \sqrt{15}$ .

Diện tích hình chữ nhật ABCD là $S_{A B C D} = A B . B C = 2 a^{2} .$

Vậy thể tích khối chóp $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S A = \frac{2 a^{3} \sqrt{15}}{3} .$

Chọn B.

Câu 5:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy $(A B C D)$ và $S C = a \sqrt{5}$ . Tính theo a thể tích V khối chóp S.ABCD

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$ .

B.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}

.

C.

V = a^{3} \sqrt{3}

.

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{15}}{3}$ .

Xem đáp án

Đường chéo hình vuông $A C = a \sqrt{2} .$

Xét tam giác $S A C$ , ta có $S A = \sqrt{S C^{2} - A C^{2}} = a \sqrt{3}$ .

Chiều cao khối chóp là $S A = a \sqrt{3}$ .

Diện tích hình vuông ABCD là $S_{A B C D} = a^{2} .$

Vậy thể tích khối chóp $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S A = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3} .$

Chọn A.

Câu 6:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và $B A = B C = a$ . Cạnh bên $S A = 2 a$ và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC.

A. $V = a^{3}$

B.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}

.

C.

V = \frac{a^{3}}{3}

.

D. $V = \frac{2 a^{3}}{3}$ .

Xem đáp án

Diện tích tam giác vuông $S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} B A . B C = \frac{a^{2}}{2} .$

Chiều cao khối chóp là $S A = 2 a$ .

Vậy thể tích khối chóp $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S_{A B C} . S A = \frac{a^{3}}{3} .$

Chọn C.

Câu 7:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, $A B = B C = 1, A D = 2$ . Cạnh bên $S A = 2$ và vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

A. $V = 1$ .

B.

V = \frac{\sqrt{3}}{2}

.

C.

V = \frac{1}{3}

.

D. $V = 2$ .

Xem đáp án

Diện tích hình thang ABCD là $S_{A B C D} = (\frac{A D + B C}{2}) . A B = \frac{3}{2} .$

Chiều cao khối chóp là $S A = 2$ .

Vậy thể tích khối chóp

V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S A = 1.

Chọn A.

Câu 8:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có $A B = a, B C = a \sqrt{3}$ . Mặt bên $(S A B)$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(A B C)$ . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC.

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{12}$ .

B.

V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{4}

.

C.

V = \frac{2 a^{3} \sqrt{6}}{12}

.

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{6}$ .

Xem đáp án

Gọi H là trung điểm của AB, suy ra $S H ⊥ A B$ .

Do $(S A B) ⊥ (A B C)$ theo giao tuyến AB nên $S H ⊥ (A B C)$ .

Tam giác SAB là đều cạnh $A B = a$ nên $S H = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Tam giác vuông ABC, có $A C = \sqrt{B C^{2} - A B^{2}} = a \sqrt{2}$ .

Diện tích tam giác vuông $S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A B . A C = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{2}$ .

Vậy

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S_{Δ A B C} . S H = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{12} .

Chọn A.

Câu 9:

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, $S A = 2 a$ . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{15}}{12}$ .

B.

V = \frac{a^{3} \sqrt{15}}{6}

.

C.

V = 2 a^{3}

.

D. $V = \frac{2 a^{3}}{3}$ .

Xem đáp án

Gọi I là trung điểm của AB. Tam giác SAB cân tại S và có I là trung điểm AB nên $S I ⊥ A B$ . Do $(S A B) ⊥ (A B C D)$ theo giao tuyến AB nên $S I ⊥ (A B C D)$ .

Tam giác vuông SIA, có

$S I = \sqrt{S A^{2} - I A^{2}} = \sqrt{S A^{2} - {(\frac{A B}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{15}}{2}$

Diện tích hình vuông ABCD là $S_{A B C D} = a^{2} .$

Vậy

V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S I = \frac{a^{3} \sqrt{15}}{6} .

Chọn B.

Câu 10:

Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

A. $V = \frac{\sqrt{13} a^{3}}{12} .$

B.

V = \frac{\sqrt{11} a^{3}}{12} .

C.

V = \frac{\sqrt{11} a^{3}}{6} .

D. $V = \frac{\sqrt{11} a^{3}}{4} .$

Xem đáp án

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vì S.ABC là khối chóp đều nên suy ra $S I ⊥ (A B C) .$

Gọi M là trung điểm của $B C \Rightarrow A I = \frac{2}{3} A M = \frac{a \sqrt{3}}{3} .$

Tam giác SAI vuông tại I, có $S I = \sqrt{S A^{2} - S I^{2}} = \sqrt{{(2 a)}^{2} - {(\frac{a \sqrt{3}}{3})}^{2}} = \frac{a \sqrt{33}}{3} .$

Diện tích tam giác ABC là

S_{Δ A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} .

Vậy thể tích khối chóp $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S_{Δ A B C} . S I = \frac{\sqrt{11} a^{3}}{12} .$ Chọn B.

Câu 11:

Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng $\frac{a \sqrt{21}}{6}$ . Tính theo a thể tích V của khối chóp đã cho.

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{8}$ .

B.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}

.

C.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{24}

.

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$ .

Xem đáp án

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vì S.ABC là khối chóp đều nên suy ra $S I ⊥ (A B C) .$

Gọi M là trung điểm của $B C \Rightarrow A I = \frac{2}{3} A M = \frac{a \sqrt{3}}{3} .$

Tam giác SAI vuông tại I, có $S I = \sqrt{S A^{2} - A I^{2}} \sqrt{{(\frac{a \sqrt{21}}{6})}^{2} - {(\frac{a \sqrt{3}}{3})}^{2}} = \frac{a}{2} .$

Diện tích tam giác ABC là

S_{Δ A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} .

Vậy thể tích khối chóp $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S_{Δ A B C} . S I = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{24}$ Chọn C.

Câu 12:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a và thể tích bằng $a^{3}$ . Tính chiều cao h của hình chóp đã cho.

A. $h = \frac{a \sqrt{3}}{6} .$

B.

h = \frac{a \sqrt{3}}{2} .

C.

h = \frac{a \sqrt{3}}{3} .

D.

h = a \sqrt{3} .

Xem đáp án

Xét hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh $2 a \Rightarrow S_{Δ A B C} = a^{2} \sqrt{3}$ .

Thể tích khối chóp $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S_{Δ A B C} . h \overset{}{\to} h = \frac{3. V_{S . A B C}}{S_{Δ A B C}} = \frac{3 a^{3}}{a^{2} \sqrt{3}} = a \sqrt{3} .$ Chọn D.

Câu 13:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB= a. Cạnh bên $S A = a \sqrt{2}$ , hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền AC. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{12}$ .

B.

V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{4}

.

C.

V = \frac{2 a^{3} \sqrt{6}}{12}

.

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{6}$ .

Xem đáp án

Gọi M là trung điểm AC. Theo giả thiết, ta có $S M ⊥ (A B C) \Rightarrow S M ⊥ A C .$

Tam giác vuông ABC, có $A C = A B \sqrt{2} = a \sqrt{2} .$

Tam giác vuông SMA, có $S M = \sqrt{S A^{2} - A M^{2}} = \sqrt{S A^{2} - {(\frac{A C}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{2} .$

Diện tích tam giác vuông cân ABC là $S_{Δ A B C} = \frac{a^{2}}{2} .$

Vậy

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S_{Δ A B C} . S M = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{12} .

Chọn A.

Câu 14:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 1 góc

\hat{A B C} = 60 ° .

Cạnh bên

S D = \sqrt{2} .

Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng

(A B C D)

là điểm H thuộc đoạn BD thỏa

H D = 3 H B .

Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A. $V = \frac{\sqrt{5}}{24}$ .

B.

V = \frac{\sqrt{15}}{24}

.

C.

V = \frac{\sqrt{15}}{8}

.

D. $V = \frac{\sqrt{15}}{12}$ .

Xem đáp án

Media VietJack

Vì $\hat{A B C} = 60 °$ nên tam giác ABC đều.

Suy ra $B O = \frac{\sqrt{3}}{2}; B D = 2 B O = \sqrt{3}; H D = \frac{3}{4} B D = \frac{3 \sqrt{3}}{4} .$

Tam giác vuông SHD, có $S H = \sqrt{S D^{2} - H D^{2}} = \frac{\sqrt{5}}{4} .$

Diện tích hình thoi ABCD là

S_{A B C D} = 2 S_{Δ A B C} = \frac{\sqrt{3}}{2} .

Vậy thể tích khối chóp $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S H = \frac{\sqrt{15}}{24} .$ Chọn B.

Câu 15:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Hình chiếu vuông góc của S trên AB là điểm H thỏa $A H = 2 B H$ . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{6}$ .

B.

V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}

.

C.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{9}

.

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{9}$ .

Xem đáp án

Trong tam giác vuông SAB, ta có

$S A^{2} = A H . A B = \frac{2}{3} A B . A B = \frac{2}{3} a^{2}; S H = \sqrt{S A^{2} - A H^{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{3} .$

Diện tích hình vuông ABCD là $S_{A B C D} = a^{2} .$

Vậy

V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S H = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{9} .

Chọn D.

Câu 16:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc $\hat{S B D} = 60^{0}$ . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A.

V = a^{3}

.

B.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}

.

C.

V = \frac{a^{3}}{3}

.

D. $V = \frac{2 a^{3}}{3}$ .

Xem đáp án

Ta có $Δ S A B = Δ S A D \overset{}{\to} S B = S D .$

Hơn nữa, theo giả thiết $\hat{S B D} = 60^{0}$ .

Do đó $Δ S B D$ đều cạnh $S B = S D = B D = a \sqrt{2}$ .

Tam giác vuông $S A B$ , ta có $S A = \sqrt{S B^{2} - A B^{2}} = a$ .

Diện tích hình vuông $A B C D$ là $S_{A B C D} = a^{2} .$

Vậy

V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S A = \frac{a^{3}}{3}

(đvtt). Chọn C.

Câu 17:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, $A C = 2 a$ , $A B = S A = a$ . Tam giác SAC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy $(A B C)$ . Tính theo a thể tích V của khối chóp $S . A B C$ .

A. $V = \frac{a^{3}}{4}$ .

B.

V = \frac{3 a^{3}}{4}

.

C.

V = a^{3}

.

D. $V = \frac{2 a^{3}}{3}$ .

Xem đáp án

Kẻ $S H ⊥ A C$ . Do $(S A C) ⊥ (A B C)$ theo giao tuyến AC nên $S H ⊥ (A B C)$ .

Trong tam giác vuông SAC, ta có

$S C = \sqrt{A C^{2} - S A^{2}} = a \sqrt{3}$

$S H = \frac{S A . S C}{A C} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Tam giác vuông ABC, có $B C = \sqrt{A C^{2} - A B^{2}} = a \sqrt{3}$ .

Diện tích tam giác ABC là $S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A B . B C = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}$ .

Vậy

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S_{Δ A B C} . S H = \frac{a^{3}}{4} .

Chọn A.

Câu 18:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Cạnh bên $S A = a$ và vuông góc với đáy; diện tích tam giác SBC bằng $\frac{a^{2} \sqrt{2}}{2}$ (đvdt). Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A.

V = a^{3}

.

B.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}

.

C.

V = \frac{a^{3}}{3}

.

D. $V = \frac{2 a^{3}}{3}$ .

Xem đáp án

Ta có $B C ⊥ A B$ (do $A B C D$ là hình vuông). $(1)$

Lại có $B C ⊥ S A$ (do $S A$ vuông góc với đáy $(A B C D)$ ). $(2)$

Từ (1) và (2), suy ra $B C ⊥ (S A B) \Rightarrow B C ⊥ S B$ . Do đó tam giác SBC vuông tại B.

Đặt cạnh hình vuông là

x > 0

Tam giác SAB vuông tại A nên

$S B = \sqrt{S A^{2} + A B^{2}} = \sqrt{a^{2} + x^{2}}$

Theo chứng minh trên, ta có tam giác SBC vuông tại B nên $\frac{a^{2} \sqrt{2}}{2} = S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} S B . B C = \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + x^{2}} . x \overset{}{\to} x = a .$

Diện tích hình vuông ABCD là $S_{A B C D} = a^{2}$ .

Vậy $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S A = \frac{a^{3}}{3} .$ Chọn C.

Câu 19:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, cạnh huyền AB bằng 3. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt đáy trùng với trọng tâm của tam giác ABC và $S B = \frac{\sqrt{14}}{2}$ . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC.

A. $V = \frac{3}{2}$ .

B.

V = \frac{1}{4}

.

C.

V = \frac{3}{4}

.

D. $V = 1$ .

Xem đáp án

Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm $A B, A C$ . Suy ra $G = C M \cap B N$ là trọng tâm tam giác ABC. Theo giả thiết, ta có $S G ⊥ (A B C)$ .

Tam giác ABC vuông cân tại C, suy ra $C A = C B = \frac{A B}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ và $C M ⊥ A B$ .

Ta có $C M = \frac{1}{2} A B = \frac{3}{2}$ , suy ra $G M = \frac{1}{3} C M = \frac{1}{2}; B G = \sqrt{B M^{2} + G M^{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2}; S G = \sqrt{S B^{2} - G B^{2}} = 1.$

Diện tích tam giác ABC là $S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} C A . C B = \frac{9}{4}$ .

Vậy

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S_{Δ A B C} . S G = \frac{3}{4} .

Chọn C.

Câu 20:

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc $60^{0}$ . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{6}$ .

B.

V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{2}

.

C.

V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{3}

.

D. $V = \frac{a^{3}}{3}$ .

Xem đáp án

Media VietJack

Gọi $O = A C \cap B D .$ Do $S . A B C D$ là hình chóp đều nên $S O ⊥ (A B C D)$ .

Suy ra OB là hình chiếu của SB trên $(A B C D)$ .

Khi đó $60^{0} = \hat{S B, (A B C D)} = \hat{S B, O B} = \hat{S B O}$ .

Tam giác vuông SOB, có $S O = O B . \tan \hat{S B O} = \frac{a \sqrt{6}}{2} .$

Diện tích hình vuông ABC là $S_{A B C D} = A B^{2} = a^{2} .$

Vậy

V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S O = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{6} .

Chọn A.

Câu 21:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với $A B = a, A C = 5 a$ . Đường thẳng SA vuông góc với mặt đáy, cạnh bên SB tạo với mặt đáy một góc $60^{0}$ . Tính theo a thể tích V của khối chóp $S . A B C D$ .

A. $V = 6 \sqrt{2} a^{3}$ .

B.

V = 4 \sqrt{2} a^{3}

.

C.

V = 2 \sqrt{2} a^{3}

.

D. $V = 2 a^{3}$ .

Xem đáp án

Trong tam giác vuông ABC, ta có $B C = \sqrt{A C^{2} - A B^{2}} = 2 \sqrt{6} a$ .

Vì $S A ⊥ (A B C D)$ nên hình chiếu vuông góc của SB trên mặt phẳng $(A B C D)$ là .

Do đó $60^{0} = \hat{S B, (A B C D)} = \hat{S B, A B} = \hat{S B A}$ .

Tam giác vuông SAB, có $S A = A B . \tan \hat{S B A} = a \sqrt{3}$ .

Diện tích hình chữ nhật $S_{A B C D} = A B . B C = 2 \sqrt{6} a^{2} .$

Vậy

V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S A = 2 \sqrt{2} a^{3} .

Chọn C.

Câu 22:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng $(A B C)$ ; góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng $(A B C)$ bằng $60^{0}$ . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC.

A. $V = \frac{a^{3}}{4}$ .

B.

V = \frac{3 a^{3}}{4}

.

C.

V = \frac{a^{3}}{2}

.

D. $V = a^{3}$ .

Xem đáp án

Do $S A ⊥ (A B C D)$ nên ta có $60^{0} = \hat{S B, (A B C)} = \hat{S B, A B} = \hat{S B A} .$

Tam giác vuông SAB, có $S A = A B . \tan \hat{S B A} = a \sqrt{3} .$

Diện tích tam giác đều ABC là $S_{Δ A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ .

Vậy

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S_{Δ A B C} . S A = \frac{a^{3}}{4} .

Chọn A.

Câu 23:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc $\hat{B A D} = 120^{0}$ . Cạnh bên SA vuông góc với đáy $(A B C D)$ và SD tạo với đáy $(A B C D)$ một góc $60^{0}$ . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A. $V = \frac{a^{3}}{4}$ .

B.

V = \frac{3 a^{3}}{4}

.

C.

V = \frac{a^{3}}{2}

.

D. $V = a^{3}$ .

Xem đáp án

Do

S A ⊥ (A B C D)

nên ta có

60^{0} = \hat{S D, (A B C D)} = \hat{S D, A D} = \hat{S D A} .

Tam giác vuông SAD, có $S A = A D . \tan \hat{S D A} = a \sqrt{3} .$

Diện tích hình thoi $S_{A B C D} = 2 S_{Δ B A D} = A B . A D . \sin \hat{B A D} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} .$

Vậy thể tích khối chóp $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S A = \frac{a^{3}}{2} .$

Chọn C.

Câu 24:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng $(A B C D)$ là trung điểm H của cạnh AB, góc giữa SC và mặt đáy bằng $30^{0}$ . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A. $V = \frac{\sqrt{15}}{6}$ .

B.

V = \frac{\sqrt{15}}{18}

.

C.

V = \frac{1}{3}

.

D. $V = \frac{\sqrt{5}}{6}$ .

Xem đáp án

Vì $S H ⊥ (A B C D)$ nên hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng đáy $(A B C D)$ là HC. Do đó $30^{0} = \hat{S C, (A B C D)} = \hat{S C, H C} = \hat{S C H}$ .

Tam giác vuông BCH, có $H C = \sqrt{B C^{2} + B H^{2}} = \frac{\sqrt{5}}{2} .$

Tam giác vuông SHC, có $S H = H C . \tan \hat{S C H} = \frac{\sqrt{15}}{6} .$

Diện tích hình vuông ABCD là $S_{A B C D} = 1$ .

Vậy

V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S H = \frac{\sqrt{15}}{18} .

Chọn B.

Câu 25:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với $A C = 2 a, B C = a$ . Đỉnh S cách đều các điểm $A, B, C .$ Biết góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng $(A B C D)$ bằng $60^{o} .$ Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD

A. $V = \frac{a^{3}}{4}$ .

B.

V = \frac{3 a^{3}}{4}

.

C.

V = \frac{a^{3}}{2}

.

D. $V = a^{3}$ .

Xem đáp án

Gọi O là trung điểm AC, suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Theo giả thiết đỉnh S cách đều các điểm

A, B, C

nên hình chiếu của S xuống đáy là điểm

O \overset{}{\to} S O ⊥ (A B C D) \overset{}{\to}

hình chiếu vuông góc của SB trên mặt đáy

(A B C D)

là OB. Do đó

60^{0} = \hat{S B, (A B C D)} = \hat{S B, O B} = \hat{S B O}

Tam giác vuông SOB, có

S O = O B . \tan \hat{S B O} = a \sqrt{3}

.

Tam giác vuông ABC, có $A B = \sqrt{A C^{2} - B C^{2}} = a \sqrt{3}$ .

Diện tích hình chữ nhật $S_{A B C D} = A B . B C = a^{2} \sqrt{3} .$

Vậy $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S O = a^{3} .$ Chọn D.

Câu 26:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, $A B = A C = a$ . Cạnh bên SA vuông góc với đáy $(A B C)$ . Gọi I là trung điểm của BC, SI tạo với mặt phẳng $(A B C)$ góc $60^{0} .$ Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC.

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{4}$ .

B.

V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{6}

.

C.

V = \frac{a^{3}}{2}

.

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{12}$ .

Xem đáp án

Vì $S A ⊥ (A B C)$ nên hình chiếu vuông góc của SI trên mặt phẳng $(A B C)$ là AI. Do đó $60^{o} = \hat{S I, (A B C)} = \hat{S I, A I} = \hat{S I A}$ .

Tam giác ABC vuông tại A, suy ra trung tuyến

A I = \frac{1}{2} B C = \frac{a \sqrt{2}}{2}

.

Tam giác vuông SAI, có $S A = A I . \tan \hat{S I A} = \frac{a \sqrt{6}}{2}$ .

Diện tích tam giác vuông $S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A B . A C = \frac{a^{2}}{2} .$

Vậy $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S A . S_{Δ A B C} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{12} .$ Chọn D.

Câu 27:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng $(A B C)$ là trung điểm H của cạnh BC. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng $(A B C)$ bằng $60^{0}$ . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC.

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{8}$ .

B.

V = \frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{8}

.

C.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}

.

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$ .

Xem đáp án

Vì $S H ⊥ (A B C)$ nên hình chiếu vuông góc của SA trên mặt đáy $(A B C)$ là HA. Do đó $60^{0} = \hat{S A, (A B C)} = \hat{S A, H A} = \hat{S A H}$ .

Tam giác ABC đều cạnh a nên $A H = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Tam giác vuông SHA, có $S H = A H . \tan \hat{S A H} = \frac{3 a}{2}$ .

Diện tích tam giác đều ABC là $S_{Δ A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ .

Vậy

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S_{Δ A B C} . S H = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{8} .

Chọn A.

Câu 28:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B; đỉnh S cách đều các điểm $A, B, C .$ Biết $A C = 2 a, B C = a$ ; góc giữa đường thẳng SB và mặt đáy $(A B C)$ bằng $60^{0}$ . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC.

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{4}$ .

B.

V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{6}

.

C.

V = \frac{a^{3}}{2}

.

D.

V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{12}

.

Xem đáp án

Gọi H là trung điểm AC. Do tam giác ABC vuông tại B nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Đỉnh S cách đều các điểm A,B,C nên hình chiếu của S trên mặt đáy $(A B C)$ trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, suy ra $S H ⊥ (A B C)$ . Do đó $60^{0} = \hat{S B, (A B C)} = \hat{S B, B H} = \hat{S B H}$ .

Tam giác vuông SHB, có $S H = B H . \tan \hat{S B H} = \frac{A C}{2} . \tan \hat{S B H} = a \sqrt{3} .$

Tam giác vuông ABC, có $A B = \sqrt{A C^{2} - B C^{2}} = a \sqrt{3} .$

Diện tích tam giác vuông $S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} B A . B C = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}$ .

Vậy

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S_{Δ A B C} . S H = \frac{a^{3}}{2} .

Chọn C.

Câu 29:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, BD=1. Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy $(A B C D)$ là trung điểm OD. Đường thẳng SD tạo với mặt đáy một góc bằng $60^{0}$ . Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

A. $V = \frac{\sqrt{3}}{24}$ .

B.

V = \frac{\sqrt{3}}{8}

.

C.

V = \frac{1}{8}

.

D. $V = \frac{\sqrt{3}}{12}$ .

Xem đáp án

Vì $S H ⊥ (A B C D)$ nên hình chiếu vuông góc của SD trên mặt đáy $(A B C D)$ là HD. Do đó $60^{0} = \hat{S D, (A B C D)} = \hat{S D, H D} = \hat{S D H}$ .

Tam giác vuông SHD, có $S H = H D . \tan \hat{S D H} = \frac{B D}{4} . \tan \hat{S D H} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Trong hình vuông ABCD, có $A B = \frac{B D}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Diện tích hình vuông ABCD là $S_{A B C D} = A B^{2} = \frac{1}{2} .$

Vậy

V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S H = \frac{\sqrt{3}}{24} .

Chọn A.

Câu 30:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Tam giác ABC đều, hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng $(A B C D)$ trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Đường thẳng SD hợp với mặt phẳng $(A B C D)$ góc $30^{0}$ . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$ .

B.

V = \frac{a^{3}}{3}

.

C.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{9}

.

D. $V = \frac{2 a^{3} \sqrt{3}}{9}$ .

Xem đáp án

Gọi $O = A C \cap B D$ ; M là trung điểm AB. Suy ra $H = B O \cap C M$ .

Theo giả thiết $S H ⊥ (A B C D)$ nên hình chiếu vuông góc của SD trên mặt đáy $(A B C D)$ là HD. Do đó $30^{0} = \hat{S D, (A B C D)} = \hat{S D, H D} = \hat{S D H} .$

Tam giác ABC và ADC đều cạnh a, suy ra

$\{\begin{cases} O D = \frac{a \sqrt{3}}{2} \\ O H = \frac{1}{3} B O = \frac{a \sqrt{3}}{6} \end{cases} \Rightarrow H D = O D + O H = \frac{2 a \sqrt{3}}{3} .$

Tam giác vuông SHD, có $S H = H D . \tan \hat{S D H} = \frac{2 a}{3}$ .

Diện tích hình thoi $S_{A B C D} = 2 S_{Δ A B C} = 2. \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} .$

Vậy $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S H = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{9} .$ Chọn C.

Câu 31:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với cạnh đáy AD và BC, $A D = 2 a, A B = B C = C D = a .$ Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$ và SD tạo với mặt phẳng $(A B C D)$ góc $45^{0}$ . Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$ .

B.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}

.

C.

V = \frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{2}

.

D. $V = a^{3} \sqrt{3}$ .

Xem đáp án

Ta có $45^{0} = \hat{S D, (A B C D)} = \hat{S D, A D} = \hat{S D A}$ .

Suy ra tam giác SAF vuông cân tại A nên $S A = A D = 2 a$ .

Trong hình thang ABCD, kẻ

B H ⊥ A D, (H \in A D)

Do ABCD là hình thang cân nên $A H = \frac{A D - B C}{2} = \frac{a}{2} .$

Tam giác AHB, có $B H = \sqrt{A B^{2} - A H^{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Diện tích $S_{A B C D} = \frac{1}{2} (A D + B C) B H = \frac{3 a^{2} \sqrt{3}}{4} .$

Vậy $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S A = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2} .$ Chọn B.

Câu 32:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác vuông tại S. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là điểm H thuộc cạnh AD sao cho $H A = 3 H D$ . Biết rằng $S A = 2 a \sqrt{3}$ và SC tạo với đáy một góc bằng $30^{0}$ . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A. $V = \frac{8 \sqrt{6} a^{3}}{9}$ .

B.

V = 8 \sqrt{2} a^{3}

.

C.

V = 8 \sqrt{6} a^{3}

.

D. $V = \frac{8 \sqrt{6} a^{3}}{3}$ .

Xem đáp án

Hình chiếu vuông góc của SC trên mặt đáy là HC nên

30^{0} = \hat{S C, (A B C D)} = \hat{S C, H C} = \hat{S C H}

Tam giác vuông SAD, có $S A^{2} = A H . A D$

$\Leftrightarrow 12 a^{2} = \frac{3}{4} A D . A D = \frac{3}{4} A D^{2} .$

Suy ra $A D = 4 a, H A = 3 a, H D = a, S H = \sqrt{H A . H D} = a \sqrt{3}, H C = S H . \cot \hat{S C H} = 3 a, C D = \sqrt{H C^{2} - H D^{2}} = 2 a \sqrt{2} .$

Diện tích hình chữ nhật ABCD là $S_{A B C D} = A D . C D = 8 \sqrt{2} a^{2}$ .

Vậy thể tích khối chop $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S H = \frac{8 \sqrt{6} a^{3}}{3} .$ Chọn D.

Câu 33:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với đáy và $S A = A B = a$ . Gọi N là trung điểm SD, đường thẳng AN hợp với đáy $(A B C D)$ một góc $30^{0}$ . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{9}$ .

B.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}

.

C.

V = a^{3} \sqrt{3}

.

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$ .

Xem đáp án

Tam giác SAD vuông tại A, có AN là trung tuyến nên $A N = \frac{1}{2} S D$ .

Gọi M là trung điểm AD, suy ra $M N ∥ S A$ nên $M N ⊥ (A B C D)$ .

Do đó $30^{0} = \hat{A N, (A B C D)} = \hat{A N, A M} = \hat{N A M}$ .

Tam giác vuông NMA, có

A M = A N . \cos \hat{N A M} = \frac{S D \sqrt{3}}{4}

Tam giác SAD, có

S D^{2} = S A^{2} + A D^{2} \Leftrightarrow S D^{2} = a^{2} + {(\frac{S D \sqrt{3}}{2})}^{2}

Suy ra $S D = 2 a$ nên $A D = a \sqrt{3}$ .

Diện tích hình chữ nhật $S_{A B C D} = A B . A D = a^{2} \sqrt{3}$ .

Vậy $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S A = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3} .$ Chọn B.

Câu 34:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy, SD tạo với mặt phẳng $(S A B)$ một góc bằng $30^{0}$ . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A. $V = \frac{\sqrt{6} a^{3}}{18} .$

B.

V = \sqrt{3} a^{3} .

C.

V = \frac{\sqrt{6} a^{3}}{3} .

D. $V = \frac{\sqrt{3} a^{3}}{3} .$

Xem đáp án

ABCD là hình vuông suy ra

A B ⊥ A D (1)

.

Vì

S A ⊥ (A B C D) \overset{}{\to} S A ⊥ A D . (2)

Từ (1) và (2), suy ra $A D ⊥ (S A B)$ .

Khi đó SA là hình chiếu của SD trên mặt phẳng $(S A B)$ .

Do đó $30^{0} = \hat{S D; (S A B)} = \hat{(S D; S A)} = \hat{D S A} .$

Tam giác SAD vuông tại A, có $S A = \frac{A D}{\tan \hat{D S A}} = a \sqrt{3} .$

Vậy thể tích khối chóp $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S A = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3} .$ Chọn D.

Câu 35:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng $\sqrt{3}$ , tam giác SBC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, đường thẳng SD tạo với mặt phẳng $(S B C)$ một góc $60^{0}$ . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A. $V = \frac{1}{\sqrt{6}}$ .

B.

V = \sqrt{6}

.

C.

V = \frac{\sqrt{6}}{3}

.

D. $V = \sqrt{3}$ .

Xem đáp án

Kẻ $S H ⊥ B C$ . Vì $(S B C) ⊥ (A B C D)$ theo giao tuyến BC nên $S H ⊥ (A B C D) .$

Ta có $\{\begin{cases} D C ⊥ B C \\ D C ⊥ S H \end{cases} \Rightarrow D C ⊥ (S B C)$ . Do đó $60^{0} = \hat{S D, (S B C)} = \hat{S D, S C} = \hat{D S C}$ .

Từ $D C ⊥ (S B C) \overset{}{\to} D C ⊥ S C .$

Tam giác vuông SCD có $S C = \frac{D C}{\tan \hat{D S C}} = 1$ .

Tam giác vuông SBC, có

$S H = \frac{S B . S C}{B C} = \frac{\sqrt{B C^{2} - S C^{2}} . S C}{B C} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Diện tích hình vuông ABCD là $S_{A B C D} = 3.$

Vậy

V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S H = \frac{\sqrt{6}}{3} .

Chọn C.

Câu 36:

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng $60^{0}$ . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{24}$ .

B.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{8}

.

C.

V = \frac{a^{3}}{8}

.

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}$ .

Xem đáp án

Gọi

E, F

lần lượt là trung điểm

B C, B A

và

O = A E \cap C F

.

Do $S . A B C$ là hình chóp đều nên $S O ⊥ (A B C)$ .

Khi đó $60^{0} = \hat{(S B C), (A B C)} = \hat{S E, O E} = \hat{S E O}$ .

Tam giác vuông SOE, có

$S O = O E . \tan \hat{S E O} = \frac{A E}{3} . \tan 60^{0} = \frac{a \sqrt{3}}{6} . \sqrt{3} = \frac{a}{2}$

Diện tích tam giác đều ABC là $S_{Δ A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ .

Vậy

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S_{Δ A B C} . S O = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{24} .

Chọn A.

Câu 37:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc đáy và mặt bên $(S C D)$ hợp với đáy một góc bằng $60^{0}$ . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{9}$ .

B.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}

.

C.

V = a^{3} \sqrt{3}

.

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$ .

Xem đáp án

Ta có $S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ C D$ nên có $\{\begin{cases} C D ⊥ A D \\ C D ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow C D ⊥ (S A D) \Rightarrow C D ⊥ S D .$

Do $\{\begin{cases} (S C D) \cap (A B C D) = C D \\ S D ⊥ C D; A D ⊥ C D \end{cases}$ , suy ra $60^{0} = [\hat{(S C D), (A B C D)}] = [\hat{S D, A D}] = \hat{S D A}$ .

Tam giác vuông SAD, có $S A = A D . \tan \hat{S D A} = a \sqrt{3}$ .

Diện tích hình vuông ABCD là $S_{A B C D} = A B^{2} = a^{2}$ .

Vậy thể tích khối chóp $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S A = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3} .$

Chọn D.

Câu 38:

Cho khối chóp

S . A B C D

có đáy là hình chữ nhật,

A B = a, A D = a \sqrt{3}

, SA vuông góc với đáy và mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc

60^{0}

. Tính thể tích V của khối chóp

S . A B C D .

A.

V = 3 a^{3} .

B.

V = \frac{\sqrt{3} a^{3}}{3} .

C.

V = a^{3} .

D.

V = \frac{a^{3}}{3} .

Xem đáp án

Ta có $S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ B C$ nên có $\{\begin{cases} B C ⊥ A B \\ B C ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S A B) \Rightarrow B C ⊥ S B .$

Do $\{\begin{cases} (S B C) \cap (A B C D) = B C \\ S B ⊥ B C; A B ⊥ B C \end{cases}$ , suy ra $60^{0} = [\hat{(S B C), (A B C D)}] = [\hat{S B, A B}] = \hat{S B A}$

Tam giác vuông SAB, có $S A = A B . \tan \hat{S B A} = a \sqrt{3}$ .

Diện tích hình chữ nhật ABCD là $S_{A B C D} = A B . A D = a^{2} \sqrt{3} .$

Vậy thể tích khối chóp $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S A = a^{3} .$

Chọn C.

Câu 39:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng $(S B D)$ và mặt phẳng $(A B C D)$ bằng $60^{0}$ . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{12}$ .

B.

V = a^{3}

C.

V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{6}

.

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{2}$ .

Xem đáp án

Vì $S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ B D (1)$ .

Gọi $O = A C \cap B D$ , suy ra $B D ⊥ A O (2)$ .

Từ

(1)

và

(2)

, suy ra

B D ⊥ (S A O) \Rightarrow B D ⊥ S O

Do $\{\begin{cases} (S B D) \cap (A B C D) = B D \\ S O ⊥ B D, A O ⊥ B D \end{cases}$ , suy ra

$60^{0} = [\hat{(S B D), (A B C D)}] = [\hat{S O, A O}] = \hat{S O A}$

Tam giác vuông SAO, ta có $S A = A O . \tan \hat{S O A} = \frac{a \sqrt{6}}{2}$ .

Diện tích hình vuông ABCD là $S_{A B C D} = a^{2}$ .

Vậy $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S A = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{6} .$ Chọn C.

Câu 40:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, đường chéo AC=a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc giữa $(S C D)$ và đáy bằng $45^{0}$ . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A. $V = \frac{a^{3}}{4}$ .

B.

V = \frac{3 a^{3}}{4}

.

C.

V = \frac{a^{3}}{2}

.

D. $V = \frac{a^{3}}{12}$ .

Xem đáp án

Gọi H là trung điểm AB, suy ra $S H ⊥ A B$ .

Mà $(S A B) ⊥ (A B C D)$ theo giao tuyến AB nên $S H ⊥ (A B C D)$

Tam giác ABC đều cạnh a nên

\{\begin{cases} C H ⊥ A B \overset{}{\to} C H ⊥ C D \\ C H = \frac{A B \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{2} \end{cases} .

Ta có $\{\begin{cases} (S C D) \cap (A B C D) = C D \\ S C \subset (S C D), S C ⊥ C D \\ H C \subset (A B C D), H C ⊥ C D \end{cases}$ suy ra

$45^{0} = \hat{(S C D), (A B C D)} = \hat{S C, H C} = \hat{S C H}$

Tam giác vuông SHC, có $S H = H C . \tan \hat{S C H} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Diện tích hình thoi ABCD là $S_{A B C D} = 2 S_{Δ A D C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}$ .

Vậy thể tích khối chóp $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S H = \frac{a^{3}}{4} .$ Chọn A.

Câu 41:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, $A D = D C = 1, A B = 2$ ; cạnh bên SA vuông góc với đáy; mặt phẳng $(S B C)$ tạo với mặt đáy $(A B C D)$ một góc $45^{0}$ . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A. $V = \sqrt{2}$ .

B.

V = \frac{3 \sqrt{2}}{2}

.

C.

V = \frac{\sqrt{2}}{2}

.

D. $V = \frac{\sqrt{2}}{6}$ .

Xem đáp án

Gọi I là trung điểm AB, suy ra $C I = A D = 1 = \frac{1}{2} A B$ .

Do đó tam giác ABC vuông tại C. Suy ra $B C ⊥ A C$ nên $45^{0} = \hat{(S B C), (A B C D)} = \hat{S C, A C} = \hat{S C A}$

Ta có $A C = \sqrt{A D^{2} + D C^{2}} = \sqrt{2}$ .

Tam giác vuông SAC, có $S A = A C . \tan \hat{S C A} = \sqrt{2}$ .

Diện tích hình thang $S_{A B C D} = \frac{(A B + D C) A D}{2} = \frac{3}{2}$ .

Vậy thể tích khối chóp $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S A = \frac{\sqrt{2}}{2} .$

Chọn C.

Câu 42:

Cho tứ diện ABCD có $S_{Δ A B C} = 4 {cm}^{2}, S_{Δ A B D} = 6 {cm}^{2}, A B = 3 cm$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(A B C)$ và $(A B D)$ bằng $60^{ο}$ . Tính thể tích V của khối tứ diện đã cho.

A. $V = \frac{2 \sqrt{3}}{3} {cm}^{3}$ .

B. $V = \frac{4 \sqrt{3}}{3} {cm}^{3}$ .

C. $V = 2 \sqrt{3} {cm}^{3}$ .

D. $V = \frac{8 \sqrt{3}}{3} {cm}^{3}$ .

Xem đáp án

Kẻ $C K ⊥ A B$ . Ta có $S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A B . C K \overset{}{\to} C K = \frac{8}{3} cm.$

Gọi H là chân đường cao của hình chóp hạ từ đỉnh C.

Xét tam giác vuông CHK, ta có $C H = C K . \sin \hat{C K H} = C K . \sin \hat{(A B C), (A B D)} = \frac{4 \sqrt{3}}{3} .$

Vậy thể tích khối tứ diện $V = \frac{1}{3} S_{Δ A B D} . C H = \frac{8 \sqrt{3}}{3} {cm}^{3} .$ Chọn D.

Câu 43:

Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB,AC và AD đôi một vuông góc với nhau; $A B = 6 a, A C = 7 a$ và $A D = 4 a .$ Gọi $M, N, P$ tương ứng là trung điểm các cạnh $B C, C D, B D .$ Tính thể tích V của tứ diện AMNP

A. $V = \frac{7}{2} a^{3} .$

B. $V = 14 a^{3} .$

C. $V = \frac{28}{3} a^{3} .$

D.

V = 7 a^{3} .

Xem đáp án

Do $A B, A C$ và AD đôi một vuông góc với nhau nên

$V_{A B C D} = \frac{1}{6} A B . A C . A D = \frac{1}{6} .6 a .7 a .4 a = 28 a^{3} .$

Dễ thấy $S_{Δ M N P} = \frac{1}{4} S_{Δ B C D}$ .

Suy ra $V_{A M N P} = \frac{1}{4} V_{A B C D} = 7 a^{3}$ . Chọn D.

Câu 44:

Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và G là trọng tâm của tam giác BCD. Tính thể tích V của khối chóp A.GBC.

A. $V = 3.$

B.

V = 4.

C.

V = 6.

D.

V = 5.

Xem đáp án

Vì G là trọng tâm của tam giác BCD nên $S_{Δ G B C} = \frac{1}{3} S_{Δ D B C}$ .

Suy ra $V_{A . G B C} = \frac{1}{3} V_{A B C D} = \frac{1}{3} .12 = 4.$ Chọn B.

Câu 45:

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và khoảng cách từ A đến mặt phẳng

(S B C)

bằng

\frac{a \sqrt{2}}{2}

. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

A.

V = \frac{a^{3}}{2} .

B.

V = a^{3} .

C.

V = \frac{\sqrt{3} a^{3}}{9} .

D.

V = \frac{a^{3}}{3} .

Xem đáp án

Gọi H là hình chiếu của A trên SB $\Rightarrow A H ⊥ S B .$

Ta có $\{\begin{cases} S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ B C \\ A B ⊥ B C \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S A B) \Rightarrow A H ⊥ B C .$

Suy ra $A H ⊥ (S B C) \Rightarrow d [A, (S B C)] = A H = \frac{a \sqrt{2}}{2} .$

Tam giác SAB vuông tại A, có $\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A B^{2}} \Rightarrow S A = a .$

Vậy

V = \frac{1}{3} . S A . S_{A B C D} = \frac{a^{3}}{3} .

Chọn D.

Câu 46:

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và khoảng cách từ A đến mặt phẳng

(S B C)

bằng

\frac{a \sqrt{2}}{2}

. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

A.

V = \frac{a^{3}}{2} .

B.

V = a^{3} .

C.

V = \frac{\sqrt{3} a^{3}}{9} .

D.

V = \frac{a^{3}}{3} .

Xem đáp án

Gọi H là hình chiếu của A trên SB $\Rightarrow A H ⊥ S B .$

Ta có $\{\begin{cases} S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ B C \\ A B ⊥ B C \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S A B) \Rightarrow A H ⊥ B C .$

Suy ra $A H ⊥ (S B C) \Rightarrow d [A, (S B C)] = A H = \frac{a \sqrt{2}}{2} .$

Tam giác SAB vuông tại A, có $\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A B^{2}} \Rightarrow S A = a .$

Vậy

V = \frac{1}{3} . S A . S_{A B C D} = \frac{a^{3}}{3} .

Chọn D.

Câu 47:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$ và $S H = a \sqrt{3}$ . Tính thể tích khối chóp S.CDNM.

A. $V = \frac{5 a^{3} \sqrt{3}}{8}$ .

B. $V = \frac{5 a^{3} \sqrt{3}}{24}$ .

C. $V = \frac{5 a^{3}}{8}$ .

D. $V = \frac{5 a^{3} \sqrt{3}}{12}$ .

Xem đáp án

Theo giả thiết, ta có $S H = a \sqrt{3}$ .

Diện tích tứ giác $S_{C D N M} = S_{A B C D} - S_{Δ A M N} - S_{Δ B M C} = A B^{2} - \frac{1}{2} A M . A N - \frac{1}{2} B M . B C = a^{2} - \frac{a^{2}}{8} - \frac{a^{2}}{4} = \frac{5 a^{2}}{8} .$

Vậy

V_{S . C D N M} = \frac{1}{3} S_{C D N M} . S H = \frac{5 a^{3} \sqrt{3}}{24} .

Chọn B.

Câu 48:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh 2a. Mặt bên tạo với đáy góc $60^{0}$ . Gọi K là hình chiếu vuông góc của O trên SD. Tính theo a thể tích V của khối tứ diện DKAC.

A. $V = \frac{2 a^{3} \sqrt{3}}{15}$ .

B. $V = \frac{4 a^{3} \sqrt{3}}{5}$ .

C. $V = \frac{4 a^{3} \sqrt{3}}{15}$ .

D. $V = a^{3} \sqrt{3}$ .

Xem đáp án

Gọi M là trung điểm CD, suy ra $O M ⊥ C D$ nên

$60^{0} = \hat{(S C D), (A B C D)} = \hat{S M, O M} = \hat{S M O}$

Tam giác vuông SOM, có

S O = O M . \tan \hat{S M O} = a \sqrt{3}

Kẻ $K H ⊥ O D \Rightarrow K H ∥ S O$ nên $K H ⊥ (A B C D)$ .

Tam giác vuông SOD, ta có $\frac{K H}{S O} = \frac{D K}{D S} = \frac{D O^{2}}{D S^{2}} = \frac{O D^{2}}{S O^{2} + O D^{2}} = \frac{2}{5} \overset{}{\to} K H = \frac{2}{5} S O = \frac{2 a \sqrt{3}}{5} .$

Diện tích tam giác $S_{Δ A D C} = \frac{1}{2} A D . D C = 2 a^{2}$ .

Vậy $V_{D K A C} = \frac{1}{3} S_{Δ A D C} . K H = \frac{4 a^{3} \sqrt{3}}{15} .$ Chọn C.

Câu 49:

Cho hình chóp S.ABC có

\hat{A S B} = \hat{C S B} = 60^{0}, \hat{A S C} = 90^{0}

và

S A = S B = a, S C = 3 a

. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{3} .$

B.

V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{12} .

C.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12} .

D.

V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{4} .

Xem đáp án

Gọi M là trung điểm của

A B \Rightarrow S M ⊥ A B . (1)

Ta có

\{\begin{cases} S A = S B \\ \hat{A S B} = 60^{0} \end{cases} \Rightarrow Δ S A B

đều

\overset{}{\to} \{\begin{cases} A B = a \\ S M = \frac{a \sqrt{3}}{2} \end{cases} .

Tam giác SAC, có $A C = \sqrt{S A^{2} + S C^{2}} = a \sqrt{10} .$

Tam giác SBC, có $B C = \sqrt{S B^{2} + S C^{2} - 2 S B . S C . \cos \hat{B S C}} = a \sqrt{7} .$

Tam giác ABC, có $\cos \hat{B A C} = \frac{A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}}{2 A B . A C} = \frac{\sqrt{10}}{5} .$

$\overset{}{\to} C M = \sqrt{A M^{2} + A C^{2} - 2 A M . A C . \cos \hat{B A C}} = \frac{a \sqrt{33}}{2} .$

Ta có $S M^{2} + M C^{2} = S C^{2} = 9 a^{2} \overset{}{\to} Δ S M C$ vuông tại $\overset{}{\to} S M ⊥ M C (2)$ .

Từ $(1)$ và $(2)$ , ta có $S M ⊥ (A B C) .$

Diện tích tam giác $S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A B . A C . \sin \hat{B A C} = \frac{a^{2} \sqrt{6}}{2} .$

Vậy thể tích khối chop $V_{S A B C} = \frac{1}{3} S_{Δ A B C} . S M = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{4} .$ Chọn D.

Cách 2.

Trên cạnh SC lấy điểm D sao cho $S D = a$ .

Dễ dàng suy ra $\{\begin{cases} A B = C D = a, A D = a \sqrt{2} \\ S A = S D = a, A D = a \sqrt{2} \end{cases} \overset{}{\to} \{\begin{cases} Δ A B D vuong can \\ Δ S A D vuong can \end{cases} .$

Lại có

S A = S B = S D = a

nên hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng

(A B D)

là trung điểm I của AD

Ta tính được $S I = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ và $S_{Δ A B D} = \frac{1}{2} a^{2} .$

Suy ra $V_{S . A B D} = \frac{1}{3} S_{Δ A B D} . S I = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12} .$

Ta có $\frac{V_{S . A B D}}{V_{S . A B C}} = \frac{S D}{S C} = \frac{1}{3}$

$\overset{}{\to} V_{S . A B C} = 3 V_{S . A B D} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{4} .$

Cách 3. Phương pháp trắc nghiệm. Cho hình chóp SS.ABC có $\hat{A S B} = α, \hat{B S C} = β, \hat{C S A} = γ$ và $S A = a, S B = b, S C = c .''$ Khi đó ta có: $V_{S . A B C} = \frac{a b c}{6} \sqrt{1 - \cos^{2} α - \cos^{2} β - \cos^{2} γ - 2 \cos α \cos β \cos γ} .$

Áp dụng công thức, ta được $V_{S . A B C} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{4} .$

Câu 50:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

S A = S B, S C = S D, (S A B) ⊥ (S C D)

và tổng diện tích hai tam giác SAB và SCD bằng

\frac{7 a^{2}}{10} .

Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD

A. $V = \frac{a^{3}}{5} .$

B.

V = \frac{4 a^{3}}{15} .

C.

V = \frac{4 a^{3}}{25} .

D. $V = \frac{12 a^{3}}{25} .$

Xem đáp án

Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của AB và CD

Tam giác SAB cân tại S suy ra $S M ⊥ A B \Rightarrow S M ⊥ d,$ với $d = (S A B) \cap (S C D) .$

Vì $(S A B) ⊥ (S C D)$ suy ra $S M ⊥ (S C D) \Rightarrow S M ⊥ S N$ và $(S M N) ⊥ (A B C D) .$

Kẻ $S H ⊥ M N \overset{}{\to} S H ⊥ (A B C D) .$

Ta có $S_{Δ S A B} + S_{Δ S C D} = \frac{7 a^{2}}{10} \Leftrightarrow \frac{1}{2} A B . S M + \frac{1}{2} C D . S N = \frac{7 a^{2}}{10} \overset{}{\to} S M + S N = \frac{7 a}{5} .$

Tam giác SMN vuông tại S nên $S M^{2} + S N^{2} = M N^{2} = a^{2} .$

Giải hệ $\{\begin{cases} S M + S N = \frac{7 a}{5} \\ S M^{2} + S N^{2} = a^{2} \end{cases} \Leftrightarrow S M = \frac{3 a}{5} & S N = \frac{4 a}{5} \overset{}{\to} S H = \frac{S M . S N}{M N} = \frac{12 a}{25} .$

Vậy thể tích khối chóp $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . S_{A B C D} . S H = \frac{4 a^{3}}{25} .$ Chọn C.