Trong không gian Oxyz, cho các điểm M(m,0,0), N(0,n,0), P(0,0,p) không trùng với gốc tọa độ và thỏa mãn m2+n2+p2=3 . Giá trị lớn nhất của khoảng cách từ O đến mặt phẳng (MNP) bằng
A. 13 .
Do M,N,P không trùng với gốc tọa độ nên m≠0,n≠0,p≠0 .
Phương trình mặt phẳng (MNP) là: xm+yn+zp=1⇔1mx+1ny+1pz−1=0 .
Suy ra d(O,(MNP))=1√1m2+1n2+1p2 .
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương m2,n2,p2 và ba số dương 1m2,1n2,1p2 ta có:
m2+n2+p2≥33√m2n2p2 và 1m2+1n2+1p2≥33√1m2n2p2 .
Suy ra (m2+n2+p2)(1m2+1n2+1p2)≥9
⇔3⋅(1m2+1n2+1p2)≥9 (do m2+n2+p2=3)⇔1m2+1n2+1p2≥3⇔√1m2+1n2+1p2≥√3⇔1√1m2+1n2+1p2≤1√3
Vậy d(O,(MNP))≤1√3. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi m2=n2=p2=1 .
Vậy giá trị lớn nhất của khoảng cách từ O đến mặt phẳng (MNP) là 1√3 .
Chọn C.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi (P):ax+by+cz-3=0 (với a,b,c là các số nguyên không đồng thời bằng 0) là mặt phẳng đi qua hai điểm M(0;−1;2),N(−1;1;3) và không đi qua điểm H(0;0;2). Biết rằng khoảng cách từ H đến mặt phẳng (P) đạt giá trị lớn nhất. Giá trị của tổng T=a−2b+3c+12 bằng
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(2,1,3),B(1,-1,2), C(3,-6,1). Điểm M(x;y;z) thuộc mặt phẳng (Oyz) sao cho MA2+MB2+MC2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức P=x+y+z.
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1,1,1), B(-1,2,0), C(3,-1,2) và M là điểm thuộc mặt phẳng (α):2x−y+2z+7=0.
Tính giá trị nhỏ nhất của P=|3→MA+5→MB−7→MC|.
Cho A(4,5,6), B(1,1,2), M là một điểm di động trên mặt phẳng (P):2x+y+2z+1=0. Khi đó |MA−MB| nhận giá trị lớn nhất là
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-3,5,-5), B(5,-3,7) và mặt phẳng (P):x+y+z=0. Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA2−2MB2 lớn nhất.
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):x2+(y−3)2+(z−6)2=45 và M(1;4;5). Ba đường thẳng thay đổi d1,d2,d3 nhưng luôn đôi một vuông góc với nhau tại O và cắt mặt cầu tại điểm thứ hai lần lượt là A,B,C. Khoảng cách lớn nhất từ M đến mặt phẳng (ABC) là
Trong không gian cho mặt phẳng (P):3x+y-z+5=0 và hai điểm A(1;0;2),B(2;−1;4). Tập hợp các điểm M nằm trên mặt phẳng (P) sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x-2y+2z-3=0 và mặt cầu (S):x2+y2+z2+2x−4y−2z+5=0. Giả sử M∈(P) và N∈(S) sao cho →MN cùng phương với vectơ →u=(1;0;1) và khoảng cách giữa M và N lớn nhất. Tính MN.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3,-2,4) và mặt phẳng (P):(m2+2m)x−(m2+4m−1)y+2(3m−1)z+m2+1=0.
Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P).