10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 5: Một số bài toán cực trị có đáp án

Câu 1:

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1,1,1), B(-1,2,0), C(3,-1,2) và M là điểm thuộc mặt phẳng $(α) : 2 x - y + 2 z + 7 = 0.$

Tính giá trị nhỏ nhất của $P = |3 \vec{M A} + 5 \vec{M B} - 7 \vec{M C}| .$

A. $P_{\min} = 20.$

B.

P_{\min} = 5.

C.

P_{\min} = 25.

D.

P_{\min} = 27.

Xem đáp án

Gọi điểm $I (x; y; z)$ sao cho $3 \vec{I A} + 5 \vec{I B} - 7 \vec{I C} = \vec{0} .$

Khi đó $\{\begin{cases} 3 (1 - x) + 5 (- 1 - x) - 7 (3 - x) = 0 \\ 3 (1 - y) + 5 (2 - y) - 7 (- 1 - y) = 0 \\ 3 (1 - z) + 5 (0 - z) - 7 (2 - z) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 23 \\ y = 20 \\ z = - 11 \end{cases} \Rightarrow I (- 23; 20; - 11) .$

Xét $P = |3 \vec{M A} + 5 \vec{M B} - 7 \vec{M C}| = |3 (\vec{M I} + \vec{I A}) + 5 (\vec{M I} + \vec{I B}) - 7 (\vec{M I} + \vec{I C})| .$

$= |\vec{M I} + (3 \vec{I A} + 5 \vec{I B} - 7 \vec{I C})| = |\vec{M I}| = M I .$

$P_{\min}$ khi MI ngắn nhất hay M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng $(α) .$

Khi đó: $P_{\min} = d (I, (α)) = \frac{|2. (- 23) - 20 + 2. (- 11) + 7|}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}} = 27.$

Chọn D.

Câu 2:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-3,5,-5), B(5,-3,7) và mặt phẳng $(P) : x + y + z = 0.$ Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho $M A^{2} - 2 M B^{2}$ lớn nhất.

A. $M (- 2; 1; 1)$ .

B.

M (2; - 1; 1)

.

C.

M (6; - 18; 12)

.

D.

M (- 6; 18; 12)

.

Xem đáp án

Gọi I thỏa mãn $\vec{I A} - 2 \vec{I B} = \vec{0} .$

Khi đó $\vec{I O} + \vec{O A} - 2 (\vec{I O} + \vec{O B}) = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{O I} = 2 \vec{O B} - \vec{O A} \Leftrightarrow I (13; - 11; 19) .$

Ta có $M A^{2} - 2 M B^{2} = {(\vec{M A})}^{2} - 2 {(\vec{M B})}^{2} = {(\vec{M I} + \vec{I A})}^{2} - 2 {(\vec{M I} + \vec{I B})}^{2} = - M I^{2} + (I A^{2} - 2 I B^{2}) .$

$M A^{2} - 2 M B^{2}$ lớn nhất khi MI nhỏ nhất. Khi đó I là hình chiếu vuông góc của M lên $(P)$ .

Ta tìm được $M (6; - 18; 12)$ .

Chọn C.

Câu 3:

Trong không gian Oxyz, cho các điểm M(m,0,0), N(0,n,0), P(0,0,p) không trùng với gốc tọa độ và thỏa mãn $m^{2} + n^{2} + p^{2} = 3$ . Giá trị lớn nhất của khoảng cách từ O đến mặt phẳng $(M N P)$ bằng

A. $\frac{1}{3}$ .

B.

\sqrt{3}

.

C.

\frac{1}{\sqrt{3}}

.

D.

\frac{1}{27}

.

Xem đáp án

Do $M, N, P$ không trùng với gốc tọa độ nên $m \neq 0, n \neq 0, p \neq 0$ .

Phương trình mặt phẳng $(M N P)$ là: $\frac{x}{m} + \frac{y}{n} + \frac{z}{p} = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{m} x + \frac{1}{n} y + \frac{1}{p} z - 1 = 0$ .

Suy ra $d (O, (M N P)) = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{m^{2}} + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{p^{2}}}}$ .

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương $m^{2}, n^{2}, p^{2}$ và ba số dương $\frac{1}{m^{2}}, \frac{1}{n^{2}}, \frac{1}{p^{2}}$ ta có:

$m^{2} + n^{2} + p^{2} \geq 3 \sqrt[3]{m^{2} n^{2} p^{2}}$ và $\frac{1}{m^{2}} + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{p^{2}} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{1}{m^{2} n^{2} p^{2}}}$ .

Suy ra $(m^{2} + n^{2} + p^{2}) (\frac{1}{m^{2}} + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{p^{2}}) \geq 9$

$\Leftrightarrow 3 \cdot (\frac{1}{m^{2}} + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{p^{2}}) \geq 9 (do m^{2} + n^{2} + p^{2} = 3) \Leftrightarrow \frac{1}{m^{2}} + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{p^{2}} \geq 3 \Leftrightarrow \sqrt{\frac{1}{m^{2}} + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{p^{2}}} \geq \sqrt{3} \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{m^{2}} + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{p^{2}}}} \leq \frac{1}{\sqrt{3}}$

Vậy $d (O, (M N P)) \leq \frac{1}{\sqrt{3}} .$ Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $m^{2} = n^{2} = p^{2} = 1$ .

Vậy giá trị lớn nhất của khoảng cách từ O đến mặt phẳng $(M N P)$ là $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

Chọn C.

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x-2y+2z-3=0 và mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 4 y - 2 z + 5 = 0.$ Giả sử $M \in (P)$ và $N \in (S)$ sao cho $\vec{M N}$ cùng phương với vectơ $\vec{u} = (1; 0; 1)$ và khoảng cách giữa M và N lớn nhất. Tính MN.

A. $M N = 3$ .

B.

M N = 1 + 2 \sqrt{2}

.

C.

M N = 3 \sqrt{2}

.

D.

M N = 14

.

Xem đáp án

$(S)$ có tâm $I (- 1; 2; 1)$ và bán kính $R = 1$ .

Ta có: $d (I, (P)) = \frac{| - 1 - 2.2 + 2.1 - 3 |}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}}} = 2 > R$ .

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của N trên mặt phẳng $(P)$ và $α$ là góc giữa MN và NH

Vì $\vec{M N}$ cùng phương với $\vec{u}$ nên góc $α$ có số đo không đổi.

$Δ M N H$ vuông tại H có $α = \hat{H N M}$ nên $H N = M N . \cos α \Rightarrow M N = \frac{1}{\cos α} . H N$

Do đó MN lớn nhất $\Leftrightarrow H N$ lớn nhất $\Leftrightarrow H N = d (I, (P)) + R = 3.$

Có $\cos α = |\cos (\vec{u}, \vec{n_{P}})| = \frac{1}{\sqrt{2}}$ nên $M N = \frac{1}{\cos α} H N = 3 \sqrt{2}$ .

Chọn C.

Câu 5:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi (P):ax+by+cz-3=0 (với a,b,c là các số nguyên không đồng thời bằng 0) là mặt phẳng đi qua hai điểm $M (0; - 1; 2), N (- 1; 1; 3)$ và không đi qua điểm $H (0; 0; 2) .$ Biết rằng khoảng cách từ H đến mặt phẳng (P) đạt giá trị lớn nhất. Giá trị của tổng $T = a - 2 b + 3 c + 12$ bằng

A. -16.

B. 8.

C. 12.

D. 16.

Xem đáp án

Gọi K là hình chiếu của H lên $(P), E$ là hình chiếu của H lên MN

Ta có $d (H; (P)) = H K$ và $d (H; M N) = H E, H K \leq H E$ (không đổi).

Vậy $d (H; (P))$ lớn nhất khi $K \equiv E,$ với E là hình chiếu của H lên MN.

Suy ra $E (\frac{- 1}{3}; \frac{- 1}{3}; \frac{7}{3})$ .

Vậy mặt phẳng $(P)$ cần tìm là mặt phẳng nhận $\vec{H E} = (- \frac{1}{3}; - \frac{1}{3}; \frac{1}{3})$ làm vectơ pháp tuyến và đi qua M có phương trình là $- x - y + z - 3 = 0$ .

Suy ra $\{\begin{cases} a = - 1 \\ b = - 1 \\ c = 1 \end{cases}$ .

Vậy $T = 16$ .

Chọn D.

Câu 6:

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(2,1,3),B(1,-1,2), C(3,-6,1). Điểm $M (x; y; z)$ thuộc mặt phẳng $(O y z)$ sao cho $M A^{2} + M B^{2} + M C^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức $P = x + y + z .$

A. $P = 0.$

B.

P = 2.

C.

P = 6.

D.

P = - 2.

Xem đáp án

Chọn A

Câu 7:

Cho A(4,5,6), B(1,1,2), M là một điểm di động trên mặt phẳng $(P) : 2 x + y + 2 z + 1 = 0.$ Khi đó $|M A - M B|$ nhận giá trị lớn nhất là

A. $\sqrt{77} .$

B.

\sqrt{41} .

C. 7.

D.

\sqrt{85} .

Xem đáp án

Chọn B

Câu 8:

Trong không gian cho mặt phẳng (P):3x+y-z+5=0 và hai điểm $A (1; 0; 2), B (2; - 1; 4) .$ Tập hợp các điểm M nằm trên mặt phẳng $(P)$ sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất.

A. $\{\begin{cases} x - 7 y - 4 z + 7 = 0 \\ 3 x - y + z - 5 = 0. \end{cases}$

B.

\{\begin{cases} x - 7 y - 4 z + 14 = 0 \\ 3 x + y - z + 5 = 0. \end{cases}

C.

\{\begin{cases} x - 7 y - 4 z + 7 = 0 \\ 3 x + y - z + 5 = 0. \end{cases}

D.

\{\begin{cases} x - 7 y - 4 z + 5 = 0 \\ 3 x + y - z + 5 = 0. \end{cases}

Xem đáp án

Chọn C

Câu 9:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3,-2,4) và mặt phẳng $(P) : (m^{2} + 2 m) x - (m^{2} + 4 m - 1) y + 2 (3 m - 1) z + m^{2} + 1 = 0.$

Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách từ A đến mặt phẳng $(P) .$

A. 5.

B.

\sqrt{29} .

C.

\sqrt{33} .

D.

\sqrt{21} .

Xem đáp án

Chọn B

Câu 10:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : x^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z - 6)}^{2} = 45$ và $M (1; 4; 5) .$ Ba đường thẳng thay đổi $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ nhưng luôn đôi một vuông góc với nhau tại O và cắt mặt cầu tại điểm thứ hai lần lượt là $A, B, C .$ Khoảng cách lớn nhất từ M đến mặt phẳng $(A B C)$ là

A. 3.

B.

\sqrt{5} .

C. 4.

D.

\sqrt{6} .

Xem đáp án

Chọn D