Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
941 lượt thi
-
40 câu hỏi
-
60 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Ta có phương trình
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Chọn A.
Câu 2:
Cho ba điểm A(2,1,-1), B(-1,0,4), C(0,-2,1). Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC là
Mặt phẳng (P) đi qua và vuông góc với BC nên nhận làm vectơ pháp tuyến. Vì vậy ta viết được phương trình mặt phẳng (P) là:
Chọn A.
Câu 3:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có dạng
Khi đó bằng
Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB ta có và .
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua M và có một vectơ pháp tuyến là nên có phương trình:
Suy ra .
Vậy .
Chọn B.
Câu 4:
Trong không gian mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oxy) và đi qua điểm có phương trình là
Mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oxy) và đi qua nhận làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là .
Chọn D.
Câu 5:
Cho mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) đồng thời cắt các trục lần lượt tại các điểm sao cho .
nên phương trình mặt phẳng có dạng
Khi đó mặt phẳng cắt các trục lần lượt tại các điểm
Từ giả thiết:
Vậy phương trình mặt phẳng .
Chọn A.
Câu 6:
Cho điểm M(1,2,5) Mặt phẳng (P) đi qua điểm M cắt trục tọa độ Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho M là trực tâm tam giác ABC. Phương trình mặt phẳng (P) là
Ta có
Tương tự .
Từ (1) và (2) suy ra hay .
Suy ra là vectơ pháp tuyến của .
Vậy phương trình mặt phẳng là
Chọn B.
Câu 7:
Cho tứ diện ABCD có đỉnh lần lượt song song với Phương trình mặt phẳng đi qua là trực tâm có phương trình là
Theo đề ra, ta có đi qua nhận là vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng là
Vậy .
Chọn B.
Câu 8:
Cho hai điểm . Mặt phẳng (P) chứa A,B và song song với trục Oy có phương trình là
Do mặt phẳng chứa và song song với trục nên vectơ pháp tuyến của là
Phương trình mặt phẳng là:
Chọn A.
Câu 9:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm và mặt phẳng Gọi là mặt phẳng chứa và vuông góc với Phương trình mặt phẳng là
Phương trình mặt phẳng chứa và vuông góc với mặt phẳng nên có cặp vectơ chỉ phương là và .
Suy ra .
Mặt phẳng đi qua nên
Chọn A.
Câu 10:
Mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với hai mặt phẳng có phương trình là
Ta có có vectơ pháp tuyến là và
có vectơ pháp tuyến là
Do và nên có vectơ pháp tuyến là
Vậy có phương trình .
Chọn D.
Câu 11:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0,1,2), B(2,-2,1), C(-2,1,0). Khi đó, phương trình mặt phẳng là Hãy xác định a và d.
Ta có:
Chọn là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Ta có phương trình mặt phẳng là:
Vậy
Chọn A.
Câu 12:
Trong không gian Oxyz, biết mặt phẳng ax+by+cz+5=0 qua hai điểm A(3,1,-1), B(2,-1,4) và vuông góc với .Giá trị của bằng
Gọi Ta có .
Mặt phẳng nhận làm vectơ pháp tuyến nên có dạng
Mặt phẳng qua nên .
hay .
Suy ra .
Vậy .
Chọn A.
Câu 13:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình của các mặt phẳng song song với mặt phẳng và cách một khoảng bằng .
Gọi là mặt phẳng cần tìm. Ta có .
Do nên phương trình của mặt phẳng có dạng:
với .
Ta có .
(thỏa mãn).
Vậy phương trình của các mặt phẳng cần tìm là
và .
Chọn A.
Câu 14:
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng
Mặt phẳng song song và cách đều và (Q) có phương trình là:
Điểm bất kỳ cách đều (P) và
Vậy M thuộc Nhận thấy song song với (P) và (Q).
Chọn A.
Câu 15:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1,2,1), B(3,4,0) và mặt phẳng . Biết rằng khoảng cách từ đến mặt phẳng lần lượt bằng 6 và 3. Giá trị của biểu thức bằng
Gọi lần lượt là hình chiếu của trên mặt phẳng .
Theo giả thiết, ta có: .
Do đó ở cùng phía với mặt phẳng .
Lại có: Mà nên .
Suy ra là ba điểm thẳng hàng và B là trung điểm của AH nên tọa độ .
Vậy mặt phẳng đi qua và nhận là vectơ pháp tuyến nên có phương trình là
Theo bài ra, ta có nên .
Vậy .
Chọn B.
Câu 16:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1,2,1), B(3,4,0) và mặt phẳng . Biết rằng khoảng cách từ đến mặt phẳng lần lượt bằng 6 và 3. Giá trị của biểu thức bằng
Gọi lần lượt là hình chiếu của trên mặt phẳng .
Theo giả thiết, ta có: .
Do đó ở cùng phía với mặt phẳng .
Lại có: Mà nên .
Suy ra là ba điểm thẳng hàng và B là trung điểm của AH nên tọa độ .
Vậy mặt phẳng đi qua và nhận là vectơ pháp tuyến nên có phương trình là
Theo bài ra, ta có nên .
Vậy .
Chọn B.
Câu 17:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình và mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng song song với và cắt theo thiết diện là đường tròn sao cho khối nón có đỉnh là tâm mặt cầu và đáy là hình tròn (C) có thể tích lớn nhất.
Ta có nên
Mặt cầu có tâm bán kính .
Gọi là khối nón thỏa mãn đề bài với đường sinh
Đặt Khi đó bán kính đường tròn đáy hình nón là .
Thể tích khối nón là với .
Xét hàm số: với .
Khi đó đạt giá trị lớn nhất tại hay .
Ta có .
Chọn B.
Câu 18:
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): và điểm Từ A kẻ ba tiếp tuyến với mặt cầu là các tiếp điểm). Phương trình mặt phẳng là
Ta có mặt cầu có tâm (0;0;1) và bán kính .
Do là ba tiếp tuyến của mặt cầu với là các tiếp điểm nên
là trục của đường tròn ngoại tiếp
Khi đó mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến .
Gọi J là tâm của đường tròn ngoại tiếp và
Ta có vuông tại B và nên
Đặt Ta có .
Từ suy ra .
Mặt phẳng đi qua và nhận vectơ pháp tuyến có phương trình:
Chọn D.
Câu 19:
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu : và mặt phẳng Xét điểm M di động trên và các điểm phân biệt di động trên sao cho là các tiếp tuyến của Mặt phẳng luôn đi qua điểm cố định nào dưới đây?
Mặt cầu có tâm (1;1;1) và bán kính .
Xét điểm nên ta có hệ điều kiện:Lấy (1) ta có:
Vậy mặt phẳng đi qua ba tiếp điểm là:
Kết hợp với (3) suy ra mặt phẳng này luôn đi qua điểm cố định (0;3;-1).
Chọn D.
Câu 20:
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1,2,3) . Gọi A,B,C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M lên các trục Ox, Oy, Oz. Phương trình mặt phẳng (ABC) là
Ta có lần lượt là hình chiếu của M lên Phương trình mặt phẳng có dạng .
Chọn A.
Câu 21:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm . Mặt phẳng (P) thay đổi qua cắt các trục lần lượt tại với Hệ thức nào dưới đây là đúng?
Mặt phẳng đi qua với nên phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn là:
Mặt phẳng đi qua suy ra .
Chọn D.
Câu 22:
Trong không gian Oxyz, cho điểm G(1,4,3). Phương trình mặt phẳng cắt các trục tọa độ lần lượt tại sao cho G là trọng tâm tứ diện là
Giả sử .
là trọng tâm tứ diện
Ta có phương trình mặt phẳng là: .
Chọn B.
Câu 23:
Trong không gian Oxyz, cho điểm G(1,4,3). Phương trình mặt phẳng cắt các trục tọa độ lần lượt tại sao cho G là trọng tâm tứ diện là
Giả sử .
là trọng tâm tứ diện
Ta có phương trình mặt phẳng là: .
Chọn B.
Câu 24:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm và cắt các trục lần lượt tại ba điểm khác với gốc tọa độ O sao cho biểu thức có giá trị nhỏ nhất.
Gọi H là trực tâm
Ta có
Chứng minh tương tự, ta có: .
Từ (1), (2) ta có .
Suy ra .
Vậy để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất thì đạt giá trị lớn nhất. Mà nên OH đạt giá lớn nhất bằng OM hay
Khi đó nên có một vectơ pháp tuyến là .
Phương trình mặt phẳng là
Chọn B.
Câu 25:
Trong không gian Oxyz, có bao nhiêu mặt phẳng qua điểm và chắn trên ba trục tọa độ theo ba đoạn thẳng có độ dài theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội bằng
Gọi với là giao điểm của mặt phẳng và các trục toạ độ. Khi đó có phương trình là .
Theo giả thiết ta có:
Vậy có ba mặt phẳng thỏa mãn.
Chọn C.
Câu 26:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1,0,0), B(0,1,0). Mặt phẳng đi qua các điểm đồng thời cắt tia Oz tại C sao cho tứ diện OABC có thể tích bằng Giá trị của là
Mặt phẳng đi qua các điểm đồng thời cắt tia tại với có phương trình là
Mặt khác: OA.OB.OC .
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng .
Vậy .
Suy ra .
Chọn D.
Câu 27:
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình . Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là
Chọn A
Câu 29:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(3,2,1). Mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục tọa độ lần lượt tại các điểm không trùng với gốc tọa độ sao cho M là trực tâm tam giác ABC. Trong các mặt phẳng sau, mặt phẳng song song với mặt phẳng (P) là
Câu 30:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng và hai điểm Phương trình mặt phẳng đi qua A và song song với mặt phẳng là
Câu 31:
Trong không gian Oxyz, cho A(0,1,1), B(1,0,0) và mặt phẳng là mặt phẳng song song với đồng thời đường thẳng AB cắt tại C sao cho . Mặt phẳng có phương trình là:
Câu 32:
Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) song song và cách mặt phẳng một khoảng bằng 1 đồng thời (P) không đi qua O là
Câu 33:
Trong không gian Oxyz, cho Gọi là mặt phẳng song song với , cách đều D và mặt phẳng . Phương trình của là
Câu 34:
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(3,2,3), B(2,1,2), C(4,1,6). Phương trình mặt phẳng (ABC) là
Câu 35:
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1,2,3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M cắt các trục lần lượt tại sao cho M là trọng tâm tam giác ABC
Câu 36:
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1,-3,2). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng đi qua M và cắt các trục toạ độ tại mà
Câu 37:
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu Viết phương trình mặt phẳng chứa cắt mặt cầu theo thiết diện là đường tròn có chu vi bằng
Câu 38:
Cho điểm và các đường thẳng cùng đi qua điểm N và lần lượt song song với Mặt phẳng đi qua cắt lần lượt tại sao cho là trực tâm Phương trình mặt phẳng là
Chọn B