Biết rằng phương trình \({5^{2x + \sqrt {1 - 2x} }} - m{.5^{1 - \sqrt {1 - 2x} }} = {4.5^x}\) có nghiệm khi và chỉ khi \(m \in \left[ {a;b} \right]\), với m là tham số. Giá trị của \(b - a\) bằng
D. 1
Giải bởi Vietjack
Đáp án A
Phương pháp:
Chia cả hai vế cho \({5^{1 - \sqrt {1 - 2x} }}\)
Cách giải:
Chia cả hai vế cho \({5^{1 - \sqrt {1 - 2x} }}\)ta có:
\({5^{2x + \sqrt {1 - 2x} }} - m{.5^{1 - \sqrt {2 - x} }} = {4.5^x} \Leftrightarrow {5^{2x - 1 + 2\sqrt {1 - 2x} }} - m = {4.5^{x - 1 + \sqrt {1 - 2x} }} \Leftrightarrow {5^{2x - 1 + 2\sqrt {1 - 2x} }} - {4.5^{x - 1 + \sqrt {1 - 2x} }} = m\)
\( \Leftrightarrow 5.{\left( {\frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)^{2{{\left( {\sqrt {1 - 2x} - 1} \right)}^2}}} - 4.{\left( {\frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)^{{{\left( {\sqrt {1 - 2x} - 1} \right)}^2}}} = m\)
Ta thấy \({\left( {\sqrt {1 - 2x} - 1} \right)^2} \ge 0,\,\,\forall x \ge \frac{1}{2} \Rightarrow 0 < {\left( {\frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)^{{{\left( {\sqrt {1 - 2x} - 1} \right)}^2}}} \le 1,\,\,\,\forall x \ge \frac{1}{2}\left( {do\,\,0 < \frac{1}{{\sqrt 5 }} < 1} \right)\)
Đặt \({\left( {\frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)^{{{\left( {\sqrt {1 - 2x} - 1} \right)}^2}}} = t,\,\,0 < t \le 1\)
Xét hàm số \(y = 5{t^2} - 4t,\,\,t \in \left( {0;1} \right]:\,\,\,y' = 10t - 4\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow t = \frac{2}{5}\)
Ta có: \(y\left( 0 \right) = 0,\,\,\,y\left( {\frac{2}{5}} \right) = - \frac{4}{5},\,\,\,y\left( 1 \right) = 1 \Rightarrow \mathop {max}\limits_{\left( {0;1} \right]} y = 1,\,\,\,\mathop {\min }\limits_{\left( {0;1} \right]} y = - \frac{4}{5}\)
Để phương trình đã cho có nghiệm thì \(m \in \left[ { - \frac{4}{5};1} \right] \Rightarrow a = - \frac{4}{5},\,\,b = 1 \Rightarrow b - a = \frac{9}{5}\)
Cho lăng trụ tứ giác đều có cạnh bằng a và cạnh bên bằng 2a. Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đã cho bằng
Gọi giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \ln x\) trên đoạn \(\left[ {\frac{1}{{{e^2}}};e} \right]\) lần lượt là m và M. Tích M.m bằng
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với \(SA = \sqrt 6 ,\,\,AB = 3\). Diện tích của mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (SBC) bằng
Cho biểu thức \(A = {\log _{\sqrt a }}{a^2} + {\log _{\frac{1}{2}}}{4^a},\,\,a > 0,\,\,a \ne 1\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Thể tích của khối cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương cạnh \(2\sqrt 2 \) bằng
Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 4x + 1\) và đường thẳng \(y = x + 1\) bằng:
Phương trình \({3.9^x} - {7.6^x} + {2.4^x} = 0\) có hai nghiệm \({x_1},\,{x_2}\). Tổng \({x_1} + {x_2}\) bằng
Cho hàm số \(y = {\log _2}x\). Xét các phát biểu
(1) Hàm số \(y = {\log _2}x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) .
(2) Hàm số \(y = {\log _2}x\) có một điểm cực tiểu.
(3) Đồ thị hàm số \(y = {\log _2}x\) có tiệm cận.
Số phát biểu đúng là
Cho hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 2}}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Cho phương trình \({\log _5}\left( {{x^2} + x + 1} \right) = 1\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\). Gọi E là trung điểm của cạnh AB. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng .SBCE
Cắt một khối nón bởi mặt phẳng đi qua trục của nó, ta được một tam giác vuông cân có diện tích bằng 8. Khẳng định nào sau đây sai ?
