IMG-LOGO
Trang chủ Lớp 12 Toán Bộ 25 đề thi học kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 (tiếp theo) có đáp án

Bộ 25 đề thi học kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 (tiếp theo) có đáp án

Bộ 25 đề thi học kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 (tiếp theo) - Đề 26 có đáp án

  • 2109 lượt thi

  • 50 câu hỏi

  • 90 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Cho hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 2}}\). Khẳng định nào sau đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

* Phương pháp xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

- Bước 1: Tìm tập xác định, tính \(f'\left( x \right)\)

- Bước 2: Tìm các điểm tại đó \(f'\left( x \right) = 0\)hoặc \(f'\left( x \right)\)không xác định

- Bước 3: Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên

- Bước 4: Kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Cách giải:

Tập xác định: \(D = R\backslash \left\{ 2 \right\}\)

\(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 2}} \Rightarrow y' = \frac{{2.\left( { - 2} \right) - 1\left( { - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0,\,\,\forall x \in D\)

\( \Rightarrow \) Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right),\,\,\left( {2; + \infty } \right)\)


Câu 2:

Cho lăng trụ tứ giác đều có cạnh bằng a và cạnh bên bằng 2a. Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đã cho bằng

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật: \({S_{xq}} = 2\left( {a + b} \right)h\) (trong đó, a, b là chiều dài, chiều rộng của đáy, h là chiều cao)

Diện tích xung quanh của lăng trụ tứ giác đều: \({S_{xq}} = 4ah\) trong đó, a là độ dài cạnh đáy, h là chiều cao) .

Cách giải:

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đã cho bằng: \(4.a.2a = 8{a^2}\)


Câu 3:

Thể tích của khối cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương cạnh \(2\sqrt 2 \) bằng

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Thể tích khối cầu có bán kính R là \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3}\)

Cách giải:

Bán kính của khối cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương cạnh \(2\sqrt 2 \) chính là nửa độ dài đường chéo các mặt của hình lập phương và bằng: \(R = \frac{{\left( {2\sqrt 2 } \right).\sqrt 2 }}{2} = 2\)

Thể tích khối cầu đó là: \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {.2^3} = \frac{{32\pi }}{3}\)


Câu 4:

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{4 - {x^2}}}\) có bao nhiêu tiệm cận?

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

* Định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\)

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = a\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = a \Rightarrow y = a\)là TCN của đồ thị hàm số.

* Định nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\)

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = - \infty \) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right) = + \infty \) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right) = - \infty \) thì \(x = a\) là TCĐ của đồ thị hàm số.

Cách giải:

Tập xác định: \(D = R\backslash \left\{ { - 2;2} \right\}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2x + 1}}{{4 - {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{2}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{\frac{4}{{{x^2}}} - 1 = 0}} \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang là \(y = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{2x + 1}}{{4 - {x^2}}} = + \infty ,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{2x + 1}}{{4 - {x^2}}} = - \infty ,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{2x + 1}}{{4 - {x^2}}} = + \infty ,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{2x + 1}}{{4 - {x^2}}} = - \infty \)


Câu 5:

Cho \(P = \sqrt[3]{a}.{a^{\frac{1}{3}}},\,\,a > 0\). Khẳng định nào sau đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp: \(\sqrt[m]{a} = {a^{\frac{1}{m}}},\,\,{a^m}.{a^n} = {a^{m + n}},\;\,\,a > 0\)

Cách giải: \(\sqrt[3]{a}.{a^{\frac{1}{3}}} = {a^{\frac{1}{3}}}.{a^{\frac{1}{3}}} = {a^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}}} = {a^{\frac{2}{3}}}\)


Câu 6:

Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 4x + 1\) và đường thẳng \(y = x + 1\) bằng:

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Số giao điểm của hai đồ thị hàm số bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.

Cách giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 4x + 1\) và đường thẳng \(y = x + 1\) là:

\({x^3} - 4x + 1 = x + 1 \Rightarrow {x^3} - 5x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt 5 \end{array} \right.\)

Số giao điểm của hai đồ thị hàm số bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm và bằng 3.


Câu 7:

Bất phương trình \({\left( {\frac{e}{2}} \right)^{x - 1}} \le {\left( {\frac{e}{2}} \right)^{2x + 3}}\) có nghiệm là

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Xét hàm số có dạng \(y = {a^x},\,\,a > 0,\,\,a \ne 1\)

+ Nếu \(0 < a < 1\): hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)

+ Nếu \(a > 1\): hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)

Cách giải: \({\left( {\frac{e}{2}} \right)^{x - 1}} \le {\left( {\frac{e}{2}} \right)^{2x + 3}},\,\,\,\left( {0 < \frac{e}{2} < 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow x - 1 \ge 2x + 3 \Leftrightarrow x \le - 4\)


Câu 8:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng A. Hàm số nghịch biến (ảnh 1)
Xem đáp án

Đáp án B

Cách giải:

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\)


Câu 9:

Tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {3x - 2} \right) > {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {4 - x} \right)\)

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

\(\left\{ \begin{array}{l}{\log _a}f\left( x \right) > {\log _a}g\left( x \right)\\0 < a < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow f\left( x \right) < g\left( x \right)\)

Cách giải:

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 2 > 0\\4 - x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{2}{3} < x < 4\)

\({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {3x - 2} \right) > {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {4 - x} \right) \Leftrightarrow 3x - 2 < 4 - x\,\,\,\left( {do\,\,0 < \frac{1}{2} < 1} \right) \Leftrightarrow 4x < 6 \Leftrightarrow x < \frac{3}{2}\)

Kết hợp điều kiện xác định, suy ra, bất phương trình có tập nghiệm \(S = \left( {\frac{2}{3};\frac{3}{2}} \right)\)


Câu 10:

Cho biểu thức \(A = {\log _{\sqrt a }}{a^2} + {\log _{\frac{1}{2}}}{4^a},\,\,a > 0,\,\,a \ne 1\). Khẳng định nào sau đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp: \({\log _a}{b^c} = c{\log _a}b,\,\,\,{\log _{{a^c}}}b = \frac{1}{c}{\log _a}b\,\,\left( {0 < a \ne 1,\,\,b > 0} \right)\)

Cách giải:

\(A = {\log _{\sqrt a }}{a^2} + {\log _{\frac{1}{2}}}{4^a},\,\,\left( {a > 0,\,a \ne 1} \right)\)

\( = {\log _{{a^{\frac{1}{2}}}}}{a^2} + {\log _{{2^{ - 1}}}}{2^{2a}} = \frac{1}{{\frac{1}{2}}}.2.{\log _a}a + \frac{1}{{ - 1}}.2a.{\log _2}2 = 4 - 2a\)


Câu 11:

Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \left| {x - 1} \right|\left( {\frac{1}{3}{x^2} - 2\left| x \right| + 3} \right)\) với trục hoành là

Xem đáp án

Đáp án A

Số giao điểm của hai đồ thị hàm số bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.

Cách giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là:

\(\left| {x - 1} \right|\left( {\frac{1}{3}{x^2} - 2\left| x \right| + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {x - 1} \right| = 0\\\frac{1}{3}{x^2} - 2\left| x \right| + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\\left| x \right| = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\\x = - 3\end{array} \right.\)

Vậy, đồ thị hàm số \(\left| {x - 1} \right|\left( {\frac{1}{3}{x^2} - 2\left| x \right| + 3} \right)\) giao với trục hoành tại 3 điểm.

Câu 12:

Một hình đa diện có ít nhất bao nhiêu đỉnh?

Xem đáp án

Đáp án D

Cách giải:

Một hình đa diện có ít nhất 4 đỉnh.


Câu 13:

Tính đạo hàm của hàm số \(y = {x^e} + {e^x}\)

Xem đáp án

Đáp án

Phương pháp: \(\left( {{x^\alpha }} \right) = \alpha .{x^{\alpha - 1}},\,\,\,\left( {{a^\alpha }} \right)' = {a^x}.\ln a\)

Cách giải: \(y = {x^e} + {e^x} \Rightarrow y' = e.{x^{e - 1}} + {e^x} = e.\left( {{e^{x - 1}} + {x^{e - 1}}} \right)\)


Câu 14:

Hàm số \(y = {x^3} - 3x\) có giá trị cực đại bằng

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

- Tìm TXĐ

- Tính đạo hàm

- Lập bảng xét dấu y’

- Xác định điểm cực đại và tính giá trị cực đại.

Cách giải:

Tập xác định: \(D = R\)

\(y = {x^3} - 3x \Rightarrow y' = 3{x^2} - 3\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\)

Bảng xét dấu y’

Hàm số y = x^3 - 3x có giá trị cực đại bằng A. 2 B. -2 C. 1 D. -1 (ảnh 1)

Hàm số đạt cực đại tại \(x = - 1\) và giá trị cực đại  


Câu 15:

Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 3}}{{x - 1}}\). Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 1;\frac{1}{2}} \right]\). Tính tích M.m.

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

- Tìm TXĐ

- Tính y’

- Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 1;\frac{1}{2}} \right]\)

- Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

- Tính tích M.m.

Cách giải:

TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ 1 \right\}\)

\(y = \frac{{{x^2} - 3x + 3}}{{x - 1}} \Rightarrow y' = \frac{{\left( {2x - 3} \right)\left( {x - 1} \right) - 1.\left( {{x^2} - 3x + 3} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên trên đoạn \(\left[ { - 1;\frac{1}{2}} \right]\)

Cho hàm số y = (x^2 - 3x + 3) / (x - 1). Gọi M, m làn lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (ảnh 1)

Giá trị nhỏ nhất \(m = - \frac{7}{2}\), giá trị lớn nhất \(M = - 3 \Rightarrow M.m = \frac{{21}}{2}\)

 


Câu 16:

Diện tích toàn phần của hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh a bằng

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

Diện tích xung quanh của hình trụ: \({S_{xq}} = 2\pi Rh\)

Diện tích toàn phần của hình trụ:  

Cách giải:

Thiết diện qua trục là hình vuông cạnh a nên hình trụ đã cho có chiều cao \(h = a\), bán kính đáy \(R = \frac{a}{2}\)

Diện tích toàn phần của hình trụ là: \({S_{tp}} = 2\pi Rh + 2\pi {R^2} = 2\pi .\frac{a}{2}.a + 2\pi .{\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{3\pi {a^2}}}{2}\)


Câu 17:

Cho khối chóp S.ABC có ba cạnh SA, SB, SC cùng độ dài bằng a và vuông góc với nhau từng đôi một. Thể tích của khối chóp S.ABC bằng

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Khối chóp S.ABC có ba cạnh SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một là một tứ diện vuông tại đỉnh S

Thể tích của tứ diện vuông có độ dài ba cạnh góc vuông bằng a, b, c là: \(V = \frac{{abc}}{6}\)

Cách giải:

Thể tích của khối chóp S.ABC bằng: \(\frac{{a.a.a}}{6} = \frac{{{a^3}}}{6}\)


Câu 18:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ Khẳng định nào sau đây đúng (ảnh 1)

Khẳng định nào sau đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Dựa vào BBT và đánh giá từng đáp án.

Cách giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\), đoạn này có độ dài bằng 1 \( \Rightarrow \) Phương án A đúng.

Hàm số không có GTLN, GTNN trên R \( \Rightarrow \) B và D sai.

Hàm số đạt cực trị tại 2 điểm \( \Rightarrow \) C sai


Câu 19:

Thể tích của khối bát diện đều cạnh a bằng

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

Thể tích của khối bát diện đều cạnh a bằng A. (a^3 căn bậc hai 2) / 6 B. (2a^3 căn bậc hai 2)/3 (ảnh 1)

Khối bát diện đều được ghép bởi hai khối chóp tứ giác bằng nhau, do vậy, ta tính thể tích bát diện bằng cách tính 2 lần thể tích khối chóp tứ giác.

Cách giải:

Thể tích của một khối chóp là: \({V_1} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.EH = \frac{1}{3}{a^2}.\frac{a}{{\sqrt 2 }} = \frac{{{a^3}}}{{3\sqrt 2 }}\)

Thể tích khối bát diện đều là: \(V = 2{V_1} = 2.\frac{{{a^3}}}{{3\sqrt 2 }} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\)


Câu 20:

Trong không gian, cho hai điểm phân biệt A, B cố định. Xét điểm M di động luôn nhìn đoạn AB dưới một góc vuông. Hỏi điểm M thuộc mặt nào trong các mặt sau?

Xem đáp án

Đáp án C

Cách giải:

M di động luôn nhìn đoạn AB dưới một góc vuông \( \Rightarrow \) M thuộc mặt cầu có một đường kính là AB.


Câu 21:

Cho phương trình \({\log _5}\left( {{x^2} + x + 1} \right) = 1\). Khẳng định nào sau đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp: \({\log _a}f\left( x \right) = b \Leftrightarrow f\left( x \right) = {a^b}\,\,\left( {0 < a \ne 1,\,\,b > 0} \right)\)

Cách giải:

\({\log _5}\left( {{x^2} + x + 1} \right) = 1 \Leftrightarrow {x^2} + x + 1 = {5^1} \Leftrightarrow {x^2} + x - 4 = 0\)

Do \(a.c = 1.\left( { - 4} \right) < 0\) nên phương trình trên có 2 nghiệm trái dấu.


Câu 22:

Phương trình \({\left( {{x^4}} \right)^{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}} = {4^{\sqrt 2 }}\) có bao nhiêu nghiệm thực?

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Đưa về cùng số mũ.

Cách giải:

\({\left( {{x^4}} \right)^{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}} = {4^{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow {x^{4.\frac{1}{{\sqrt 2 }}}} = {\left( {{2^2}} \right)^{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow {x^{2\sqrt 2 }} = {2^{2\sqrt 2 }} \Leftrightarrow x = 2\)

Phương trình đã cho chỉ có 1 nghiệm thực duy nhất.


Câu 23:

Hàm số \(y = \sqrt {{x^2} - x} \) nghịch biến trên khoảng

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

- Tìm TXĐ

- Tính y’

- Lập bảng xét dấu y’

- Đánh giá khoảng nghịch biến.

Cách giải:

TXĐ: \(D = \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)

\(y = \sqrt {{x^2} - x} \Rightarrow y' = \frac{{2x - 1}}{{2\sqrt {{x^2} - x} }} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\)

Bảng xét dấu y’:

Hàm số y = căn bậc hai (x^2 - x) nghịch biến trên khoảng A. (- vô cùng; 0) B. (1; + vô cùng) (ảnh 1)

Hàm số \(y = \sqrt {{x^2} - x} \) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\)


Câu 24:

Cho hàm số \(y = {\log _2}x\). Xét các phát biểu

(1) Hàm số \(y = {\log _2}x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) .

(2) Hàm số \(y = {\log _2}x\) có một điểm cực tiểu.

(3) Đồ thị hàm số \(y = {\log _2}x\) có tiệm cận.

Số phát biểu đúng là

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

Đánh giá từng đáp án.

Cách giải:

(1) Hàm số \(y = {\log _2}x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\): đúng, do 2 > 1

(2) Hàm số \(y = {\log _2}x\)có một điểm cực tiểu: sai, hàm số \(y = {\log _2}x\) luôn đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

(3) Đồ thị hàm số \(y = {\log _2}x\) có tiệm cận: đúng, tiệm cận đó là đường \(x = 0\)

Số phát biểu đúng là 2.


Câu 25:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) là:

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y = f(x) là: A. y = (3x - 1) / (x + 2) B. y = x^3 (ảnh 1)
Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

Phân biệt dạng đồ thị của các hàm số : bậc nhất trên bậc nhất, bậc ba, bậc bốn trùng phương.

Cách giải:

Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy, đồ thị hàm số không thể là đồ thị của hàm bậc nhất trên bậc nhất và bậc bốn trùng phương. Do đó, loại phương án A và D.

Còn lại, phương án B và C là các hàm số bậc ba.

Quan sát đồ thị ta thấy, khi \(x \to + \infty \) thì \(y \to + \infty \) nên ta chọn B \(\left( {a = 1 > 0} \right)\)


Câu 26:

Các tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\)

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

Đồ thị hàm số bậc nhất trên bậc nhất \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}},\,\left( {a,c \ne 0,\,\,ad - bc \ne 0} \right)\) có tiệm cận đứng là \(x = - \frac{d}{c}\), tiệm cận ngang là \(y = \frac{c}{a}\)

Cách giải:

Các tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\)\(x = 1,\,\,y = 2\)


Câu 27:

Cắt một khối nón bởi mặt phẳng đi qua trục của nó, ta được một tam giác vuông cân có diện tích bằng 8. Khẳng định nào sau đây sai ?

Xem đáp án

Đáp án B

Cắt một khối nón bởi mặt phẳng đi qua trục của nó, ta được một tam giác vuông cân (ảnh 1)

Phương pháp:

Diện tích hình tròn bán kính R: \(S = \pi {R^2}\)

Diện tích xung quanh của khối nón: \({S_{xq}} = \pi Rl\)

Thể tích khối nón: \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h\)

Cách giải:

Theo đề bài, ta có tam giác SAB vuông cân tại S và \({S_{\Delta SAB}} = 8\)

Ta có: \({S_{\Delta SAB}} = \frac{1}{2}.SO.AB = \frac{1}{2}.OA.2OA = O{A^2} = 8 \Rightarrow OA = 2\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow \) Đường tròn đáy có bán kính \(R = OA = 2\sqrt 2 \)

Diện tích đáy: \(S = \pi {R^2} = \pi {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} = 8\pi \)

Độ dài đường sinh: \(l = SA = OA.\sqrt 2 = 2\sqrt 2 .\sqrt 2 = 4\)

Diện tích xung quanh của khối nón: \({S_{xq}} = \pi Rl = \pi .2\sqrt 2 .4 = 8\sqrt 2 \pi \)

Đường cao: \(h = SO = OA = 2\sqrt 2 \)

Thể tích khối nón: \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}\pi .{\left( {2\sqrt 2 } \right)^2}.2\sqrt 2 = \frac{{16\sqrt 2 \pi }}{3}\)


Câu 28:

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình \({4^x} - {3.2^{x + 1}} + 8 = 0\)

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Đặt \({2^x} = t,\,\,\left( {t > 0} \right)\). Giải phương trình tìm , sau đó tìm và tổng các nghiệm. t x

Cách giải:

Đặt \({2^x} = t,\,\,\left( {t > 0} \right)\). Phương trình trở thành: \({t^2} - 3.t.2 + 8 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 6t + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = 4\end{array} \right.\)

\(t = 2 \Rightarrow {2^x} = 2 \Leftrightarrow x = 1\)

\(t = 4 \Rightarrow {2^x} = 4 \Leftrightarrow x = 2\)

Tổng hai nghiệm của phương trình đã cho là: \(1 + 2 = 3\)


Câu 29:

Hàm số nào sau đây có giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) bằng –2 ?

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp tìm GTNN, GTLN của hàm số.

Cách giải:

+) \(y = {x^3} - 10 \Rightarrow y' = 3{x^2} \ge 0,\,\,\forall x\)

\( \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;2} \right] \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left( {{x^3} - 10} \right) = {0^3} - 10 = - 10\)

+) \(y = \sqrt {x + 2} - 2 \Rightarrow y' = \frac{1}{{2\sqrt {x + 2} }} > 0,\,\,\forall x \in \left[ {0;2} \right]\)

\( \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;2} \right] \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left( {\sqrt {x + 2} - 2} \right) = \sqrt {0 + 2} - 2 = \sqrt 2 - 2\)

+) \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 1}} \Rightarrow y' = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\,\,\forall x \in \left[ {0;2} \right]\)

\( \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;2} \right] \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left( {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right) = \frac{{0 - 2}}{{0 + 1}} = - 2\)

+) \(y = {2^x} - 2 \Rightarrow y' = {2^x}.\ln 2 > 0,\,\,\forall x\)

\( \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;2} \right] \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left( {{2^x} - 2} \right) = {2^0} - 2 = 1 - 2 = - 1\)


Câu 30:

Khối mười hai mặt đều là khối đa diện đều loại

Khối mười hai mặt đều là khối đa diện đều loại A. {3; 4} B. {4; 3} C. {5; 3} D. {3; 5} (ảnh 1)
Xem đáp án

Đáp án C

Cách giải:

Khối mười hai mặt đều là khối đa diện đều loại \(\left\{ {5;3} \right\}\)


Câu 31:

Cho mặt nón có chiều cao \(h = 6\), bán kính đáy \(r = 3\). Hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ đặt trong mặt nón sao cho trục của mặt nón đi qua tâm hai đáy của hình lập phương, một đáy của hình lập phương nằm trong cùng một mặt phẳng đáy của hình trụ, các đỉnh của đáy còn lại thuộc các đường sinh của hình nón. Độ dài đường chéo của hình lập phương bằng

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Cắt khối hình bởi mặt phẳng đi qua trục

Tính độ dài x cạnh của hình lập phương

Tính độ dài đường chéo của hình lập phương: \(x\sqrt 3 \)

Cách giải:

Cho mặt nón có chiều cao h = 6, bán kính đáy r = 3. Hình lập phương ABCD.A'B'C'D' đặt trong (ảnh 1)
 
Cho mặt nón có chiều cao h = 6, bán kính đáy r = 3. Hình lập phương ABCD.A'B'C'D' đặt trong (ảnh 2)

Xét mặt cắt qua trục có \(SH = h = 6,\,\,\,HA = HB = r = 3\)

Gọi độ dài cạnh của hình vuông là x.

Vì MN // AB nên \(\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{SN}}{{SB}} \Leftrightarrow \frac{x}{{2.3}} = \frac{{SN}}{{SB}} = \frac{x}{6}\)

Vì NE // SH nên \(\frac{{NE}}{{SH}} = \frac{{NB}}{{SB}} \Leftrightarrow \frac{x}{6} = \frac{{NE}}{{SB}}\)

\( \Rightarrow \frac{x}{6} + \frac{x}{6} = \frac{{SN}}{{SB}} + \frac{{NE}}{{SB}} = 1 \Rightarrow X = 3\)

\( \Rightarrow \) Độ dài đường chéo của hình lập phương là: \(3\sqrt 3 \)


Câu 32:

Bạn Nam làm một cái máng thoát nước mưa, mặt cắt là hình thang cân có độ dài hai cạnh bên và cạnh đáy đều bằng 20cm, thành máng nghiêng với mặt đất một góc \(\varphi \,\left( {{0^0} < \varphi < {{90}^0}} \right)\). Bạn Nam phải nghiêng thành máng một góc trong khoảng nào sau đây để lượng mưa thoát được là nhiều nhất?

Bạn Nam làm một cái máng thoát nước mưa, mặt cắt là hình thang cân có độ dài hai cạnh bên  (ảnh 1)
Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

Tính thể tích của khối lăng trụ đứng, có đáy là hình thang cân mà hai cạnh bên bằng đáy bé và bằng 20cm.

Thể tích lớn nhất khi diện tích của hình thang cân lớn nhất.

Cách giải:

Thể tích nước lớn nhất khi diện tích của hình thang cân lớn nhất

Bạn Nam làm một cái máng thoát nước mưa, mặt cắt là hình thang cân có độ dài hai cạnh bên  (ảnh 2)

Gọi độ dài đường cao là h. Khi đó, \(AE = BF = h\), từ đó, suy ra \(DE = CF = \sqrt {{{20}^2} - {h^2}} = \sqrt {400 - {h^2}} \)

\(CD = DE + EF + FC = 2\sqrt {400 - {h^2}} + 20\)

Diện tích hình thang: \(S = \left( {AB + CD} \right).AE:2 = \frac{{20 + 2\sqrt {400 - {h^2}} + 20}}{2}.h = 20h + h\sqrt {400 - {h^2}} \)

\(S' = 20 + \sqrt {400 - {h^2}} - h.\frac{h}{{\sqrt {400 - {h^2}} }} = 20 + \frac{{400 - 2{h^2}}}{{\sqrt {400 - {h^2}} }}\)

\(S' = 0 \Leftrightarrow 20\sqrt {400 - {h^2}} + 400 - {2^2} = 0 \Leftrightarrow {h^2} = 300 \Rightarrow h = 10\sqrt 3 \)

Bảng xét dấu:

Bạn Nam làm một cái máng thoát nước mưa, mặt cắt là hình thang cân có độ dài hai cạnh bên  (ảnh 3)

Diện tích hình thang lớn nhất khi \(h = 10\sqrt 3 \)

Khi đó, \(\sin \varphi = \frac{{10\sqrt 3 }}{0} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \varphi = {60^0} \Rightarrow \varphi \in \left[ {{{50}^0};{{70}^0}} \right)\)


Câu 33:

Theo thống kê dân số năm 2017, mật độ dân số của Việt Nam là 308 người/\(k{m^2}\) và mức tăng trưởng dân số là năm. Với mức tăng trưởng như vậy, tới năm bao nhiêu mật độ dân số Việt Nam đạt 340 người 1,03%/\(k{m^2}\)

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

Công thức: \({A_n} = M{\left( {1 + r\% } \right)^n}\)

Với: \({A_n}\) là mật độ dân số ở năm thứ n,

M là mật độ dân số ban đầu,

n là thời gian (năm),

r là mức tăng trưởng dân số.

Cách giải:

Ta có: \({A_n} = M{\left( {1 + r\% } \right)^n} \Leftrightarrow 340 = 308.1 + 1,03{\% ^n} \Rightarrow n = {\log _{1,0103}}\left( {\frac{{340}}{{308}}} \right) \approx 9,64\)

\( \Rightarrow \) Ta cần 10 năm để đạt mật độ dân số như vậy

\( \Rightarrow \) Đến năm 2027 mật độ dân số nước ta đạt đến con số đó.

Câu 34:

Cho các hàm số \(y = {\log _a}x,\,\,\,y = {\log _b}x\)\(y = {c^x}\) (với a, b, c là các số dương khác 1) có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho các hàm số y = loga x, y = logb x và y = c^x (với a, b, c là các số dương khác 1) có đồ thị  (ảnh 1)
Xem đáp án

Đáp án D

Cách giải:

Ta thấy, hai hàm số \(y = {\log _a}x,\,\,\,y = {\log _b}x\) đều đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow a,b > 1\)

Lấy \({x_0} > 0\) bất kì, ta thấy \({\log _a}{x_0} > {\log _b}{x_0} \Rightarrow a < b \Rightarrow 1 < a < b\)

Hàm số \(y = {c^x}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R} \Rightarrow c < 1 \Rightarrow c < a < b\)


Câu 35:

Biết rằng phương trình \({5^{2x + \sqrt {1 - 2x} }} - m{.5^{1 - \sqrt {1 - 2x} }} = {4.5^x}\) có nghiệm khi và chỉ khi \(m \in \left[ {a;b} \right]\), với m là tham số. Giá trị của \(b - a\) bằng

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Chia cả hai vế cho \({5^{1 - \sqrt {1 - 2x} }}\)

Cách giải:

Chia cả hai vế cho \({5^{1 - \sqrt {1 - 2x} }}\)ta có:

\({5^{2x + \sqrt {1 - 2x} }} - m{.5^{1 - \sqrt {2 - x} }} = {4.5^x} \Leftrightarrow {5^{2x - 1 + 2\sqrt {1 - 2x} }} - m = {4.5^{x - 1 + \sqrt {1 - 2x} }} \Leftrightarrow {5^{2x - 1 + 2\sqrt {1 - 2x} }} - {4.5^{x - 1 + \sqrt {1 - 2x} }} = m\)

\( \Leftrightarrow 5.{\left( {\frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)^{2{{\left( {\sqrt {1 - 2x} - 1} \right)}^2}}} - 4.{\left( {\frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)^{{{\left( {\sqrt {1 - 2x} - 1} \right)}^2}}} = m\)

Ta thấy \({\left( {\sqrt {1 - 2x} - 1} \right)^2} \ge 0,\,\,\forall x \ge \frac{1}{2} \Rightarrow 0 < {\left( {\frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)^{{{\left( {\sqrt {1 - 2x} - 1} \right)}^2}}} \le 1,\,\,\,\forall x \ge \frac{1}{2}\left( {do\,\,0 < \frac{1}{{\sqrt 5 }} < 1} \right)\)

Đặt \({\left( {\frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)^{{{\left( {\sqrt {1 - 2x} - 1} \right)}^2}}} = t,\,\,0 < t \le 1\)

Xét hàm số \(y = 5{t^2} - 4t,\,\,t \in \left( {0;1} \right]:\,\,\,y' = 10t - 4\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow t = \frac{2}{5}\)

Ta có: \(y\left( 0 \right) = 0,\,\,\,y\left( {\frac{2}{5}} \right) = - \frac{4}{5},\,\,\,y\left( 1 \right) = 1 \Rightarrow \mathop {max}\limits_{\left( {0;1} \right]} y = 1,\,\,\,\mathop {\min }\limits_{\left( {0;1} \right]} y = - \frac{4}{5}\)

Để phương trình đã cho có nghiệm thì \(m \in \left[ { - \frac{4}{5};1} \right] \Rightarrow a = - \frac{4}{5},\,\,b = 1 \Rightarrow b - a = \frac{9}{5}\)


Câu 36:

Cho phương trình \({\log _4}\left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + {\log _{16}}{\left( {x + 4} \right)^2} - m = 0\). Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Cô lập m, đưa về dạng \(f\left( x \right) = m\)

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = m\)

Cách giải:

Cho phương trình log4 (x^2 - 4x + 4) + log16 (x +4)^2 - m = 0. Tìm tất cả các giá trị của tham (ảnh 1)

Điều kiện: \(x \ne 2,\,\,x \ne - 4\)

\({\log _4}\left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + {\log _{16}}{\left( {x + 4} \right)^4} - m = 0 \Leftrightarrow {\log _4}{\left( {x - 2} \right)^2} + {\log _{16}}{\left( {x + 4} \right)^4} = m\) \( \Leftrightarrow {\log _2}\left| {x - 2} \right| + {\log _2}\left| {x + 4} \right| = m \Leftrightarrow {\log _2}\left| {\left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right)} \right| = m \Leftrightarrow \left| {{x^2} + 2x - 8} \right| = {2^m}\)

Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \left| {{x^2} + 2x - 8} \right|\) và đường thẳng \(y = {2^m}\)

Quan sát đồ thị hàm số bên, ta thấy, để đồ thị hàm số \(y = \left| {{x^2} + 2x - 8} \right|\) cắt đường thẳng \(y = {2^m}\) tại 4 điểm phân biệt thì \(0 < {2^m} < 9 \Leftrightarrow m < {\log _2}9 \Leftrightarrow m < 2{\log _2}3\)


Câu 37:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A B, \(AB = BC = 2,\,\,AD = 4\); mặt bên SAD nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy và có diện tích bằng 6. Thể tích khối S.BCD bằng

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Thể tích khối chóp: \(V = \frac{1}{3}Sh\)

Cách giải:

Kẻ SH vuông góc AB (H thuộc AB). Do mặt bên SAD nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B , AB = BC = 2, AD = 4; mặt bên SAD (ảnh 1)

Diện tích tam giác SAD: \({S_{SAD}} = \frac{1}{2}SH.AD = 6 \Rightarrow \frac{1}{2}.SH.4 = 6 \Rightarrow SH = 3\)

Diện tích tam giác BCD: \({S_{BCD}} = \frac{1}{2}.AB.BC = \frac{1}{2}.2.2 = 2\)

Thể tích khối S.BCD: \(V = \frac{1}{3}{S_{BCD}}.SH = \frac{1}{3}.2.3 = 2\)


Câu 38:

Cho tứ diện ABCD \(AB = x\) thay đổi, tất cả các cạnh còn lại có độ dài a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB CD trong trường hợp thể tích của khối tứ diện ABCD lớn nhất.

Xem đáp án

Đáp án B

Cách giải:

Gọi M là trung điểm của CD. Kẻ AH vuông góc mặt phẳng (BCD) (H thuộc (BCD))

Cho tứ diện ABCD có AB = x thay đổi, tất cả các cạnh còn lại có độ dài a. Tính khoảng (ảnh 1)

\( \Rightarrow H \in BM,\,\,\,AH \bot HM\)

\({V_{ABCD}}\) lớn nhất khi và chỉ khi AH có độ dài lớn nhất, tức là khi H trùng M

Hai tam giác ACD, BCD đều, cạnh a, có đường cao AM, BM bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Tam giác ABM vuông cân tại A, lấy N là trung điểm của AB \( \Rightarrow MN \bot AB\)

\(MN \subset \left( {AMB} \right) \bot CD \Rightarrow MN \bot CD \Rightarrow \) MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD

Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD là: \(MN = \frac{{AM}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}\)


Câu 39:

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với \(SA = \sqrt 6 ,\,\,AB = 3\). Diện tích của mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (SBC) bằng

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

Mặt cầu tâm A tiếp xúc với (SBC) có bán kính \(R = d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)\)

Diện tích mặt cầu: \({S_{mc}} = 4\pi {R^2}\)

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = căn bậc hai 6, AB = 3. Diện tích của mặt cầu có  (ảnh 1)

Cách giải:

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC; O là giao điểm của AN và CM. Kẻ \(AH \bot SN\left( {H \in SN} \right)\)

Tam giác ABC đều, tâm O \( \Rightarrow OA = \frac{2}{3}AN = \frac{2}{3}.\frac{{3\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \)

Tam giác SAO vuông tại O \( \Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} = \sqrt {6 - 3} = \sqrt 3 \)

Tam giác SBC cân tại N \( \Rightarrow SN \bot BC \Rightarrow \) Tam giác SNC vuông tại N

\( \Rightarrow SN = \sqrt {S{B^2} - B{N^2}} = \sqrt {6 - {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {15} }}{2}\)

Tam giác AHN đồng dạng tam giác SON \( \Rightarrow \frac{{AH}}{{SO}} = \frac{{AN}}{{SN}} \Leftrightarrow \frac{{AH}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\frac{{3\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{{\sqrt {15} }}{2}}} = \frac{3}{{\sqrt 5 }} \Rightarrow AH = \frac{{3\sqrt 3 }}{{\sqrt 5 }}\)

Diện tích mặt cầu: \({S_{mc}} = 4\pi {R^2} = 4\pi .{\left( {\frac{{3\sqrt 3 }}{{\sqrt 5 }}} \right)^2} = \frac{{108\pi }}{5}\)


Câu 40:

Đồ thị của hàm số nào sau đây có ba tiệm cận?

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Tìm số đường tiệm cận của từng đồ thị hàm số

Cách giải:

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt x }}{{{x^2} - 2x}}\) có 3 đường tiệm cận là \(x = 0,\,\,x = 2,\,\,y = 0\)

Đồ thị hàm số \(y = \frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\) có 1 đường tiệm cận là \(x = 1,\,\,x = - 1\)

Đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt x }}\) có 2 đường tiệm cận là \(x = 0,\,\,y = 0\)

Đồ thị hàm số \(y = \frac{x}{{{x^2} - 2x}}\) có 2 đường tiệm cận là \(x = 2,\,\,y = 0\)


Câu 41:

Một khối gỗ hình hộp chữ nhật có chiều dài, chiều rộng và chiều cao lần lượt là 30cm, 20cm và 30cm (như hình vẽ). Một con kiến xuất phát từ điểm A muốn tới điểm B thì quãng đường ngắn nhất nó phải đi là bao nhiêu cm?

Một khối gỗ hình hộp chữ nhật có chiều dài, chiều rộng và chiều cao lần lượt là 30cm (ảnh 1)
Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

Trải tất cả các mặt của hình hộp chữ nhật ra cùng một mặt phẳng.

Cách giải:

Một khối gỗ hình hộp chữ nhật có chiều dài, chiều rộng và chiều cao lần lượt là 30cm (ảnh 2)
Một khối gỗ hình hộp chữ nhật có chiều dài, chiều rộng và chiều cao lần lượt là 30cm (ảnh 3)

Để đến được B, đầu tiên con kiến phải đi trên một trong các mặt bên và đi đến một trong các cạnh bên: NP, PE, QE, MQ, MF, NF

* Giả sử con kiến đi đến I trên cạnh MF sau đó tới B, khi đó để độ dài quãng đường là ngắn nhất thì A, I, B thẳng hàng:

Độ dài \(AB = \sqrt {A{Q^2} + Q{B^2}} = \sqrt {{{50}^2} + {{30}^2}} = 10\sqrt {34} \left( {cm} \right)\)

* Giả sử con kiến đi đến I trên cạnh NF sau đó tới B, khi đó để độ dài quãng đường là ngắn nhất thì A, I, B thẳng hàng:

Độ dài \(AB = \sqrt {A{P^2} + P{B^2}} = \sqrt {{{60}^2} + {{20}^2}} = 20\sqrt {10} \left( {cm} \right)\)

* Giả sử con kiến đi đến I trên cạnh PF sau đó tới B, khi đó để độ dài quãng đường là ngắn nhất thì A, I, B thẳng hàng:

Độ dài \(AB = \sqrt {A{N^2} + N{B^2}} = \sqrt {{{30}^2} + {{50}^2}} = 10\sqrt {34} \left( {cm} \right)\)

Vậy, quãng đường ngắn nhất con kiến đi là \(10\sqrt {34} \left( {cm} \right)\)


Câu 42:

Cho hàm số \(y = \frac{{{x^4} + 3}}{x}\) có giá trị cực đại \({y_1}\) và giá trị cực tiểu \({y_2}\). Giá trị của \(S = {y_1} - {y_2}\) bằng

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

Khảo sát, tìm giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số. Từ đó tính S.

Cách giải:

\(y = \frac{{{x^4} + 3}}{x},\,\,\left( {x \ne 0} \right) \Rightarrow y' = \frac{{4{x^3}.x - \left( {{x^4} + 3} \right).1}}{{{x^2}}} = \frac{{3{x^4} - 3}}{{{x^2}}}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\)

Bảng xét dấu y’:

Cho hàm số y = (x^4 + 3) / x có giá trị cực đại y1 và giá trị cực tiểu y2, Giá trị của S = y1 - y2 (ảnh 1)

Hàm số đạt cực đại tại \(x = - 1\), giá trị cực đại \({y_1} = - 4\), đạt cực tiểu tại \(x = 1\), giá trị cực tiểu \({y_2} = 4\)

\(S = {y_1} - {y_2} = - 4 - 4 = - 8\)


Câu 43:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)\(y = g\left( x \right)\) có đồ thị lần lượt như hình vẽ

Cho hàm số y = f(x) và y = g(x) có đồ thị lần lượt như hình vẽ. Đồ thị hàm số y = f(x).g(x) là đồ thị (ảnh 1)
Cho hàm số y = f(x) và y = g(x) có đồ thị lần lượt như hình vẽ. Đồ thị hàm số y = f(x).g(x) là đồ thị (ảnh 2)

Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right).g\left( x \right)\) là đồ thị nào dưới đây?

Xem đáp án

Đáp án C

Cho hàm số y = f(x) và y = g(x) có đồ thị lần lượt như hình vẽ. Đồ thị hàm số y = f(x).g(x) là đồ thị (ảnh 3)

Cách giải:

Đặt \(y = f\left( x \right).g\left( x \right) = h\left( x \right)\). Khi đó:

\(h\left( 0 \right) = f\left( 0 \right).g\left( 0 \right) = 0.0 = 0\)

\(h\left( 1 \right) = f\left( 1 \right).g\left( 1 \right) = 1.\left( { - 1} \right) = - 1\)

Do đó, ta chọn phương án C


Câu 44:

Phương trình \({e^x} - {e^{\sqrt {2x - 1} }} = 1 - {x^2} + 2\sqrt {2x + 1} \) có nghiệm trong khoảng nào sau đây?

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.

Cách giải:

Điều kiện: \(x \ge - \frac{1}{2}\)

\({e^x} - {e^{\sqrt {2x + 1} }} = 1 - {x^2} + 2\sqrt {2x + 1} \Leftrightarrow 2x + 1 + 2\sqrt {2x + 1} + 1 + {e^{\sqrt {2x + 1} }} = {x^2} + 2x + 1 + {e^x}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {2x + 1} + 1} \right)^2} + {e^{\sqrt {2x + 1} }} = {\left( {x + 1} \right)^2} + {e^x}\)

Xét hàm số \(y = {\left( {x + 1} \right)^2} + {e^x} \Rightarrow y' = 2\left( {x + 1} \right) + {e^x} = 2x + 1 + {e^x} + 1 > 0,\,\,\forall x \ge - \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left[ { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\)

Phương trình đã cho tương đương:

\(\sqrt {2x + 1} = x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\2x + 1 = {x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} - 2x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1 + \sqrt 2 \in \left( {2;\frac{5}{2}} \right)\)


Câu 45:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = {x^3} - 3x + m\) có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu.
Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

+) Tính y’, giải phương trình \(y' = 0 \Rightarrow \) các cực trị của hàm số.

+) Tính các giá trị cực trị của hàm số và

Cách giải:

\(y = {x^3} - 3x + m \Rightarrow y' = 3{x^2} - 3\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\)

\(x = 1 \Rightarrow y = - 2 + m\)

\(x = - 1 \Rightarrow y = 2 + m\)

Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu \( \Rightarrow \left( { - 2 + m} \right)\left( {2 + m} \right) < 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 2\)

Câu 46:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\)\(SA = a\). Gọi E là trung điểm của cạnh AB. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng .SBCE

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp tọa độ hóa.

Cách giải:

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Trong đó, \(B\left( {2a;0;0} \right),\,\,C\left( {2a;2a;0} \right),\,\,E\left( {a;0;0} \right),\,\,S\left( {0;0;a} \right)\)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc (ABCD) và SA = a (ảnh 1)

Gọi \(I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BEC. Khi đó, \[I{S^2} = I{B^2} = I{C^2} = I{E^2}\]

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_0^2 + y_0^2 + {\left( {{z_0} - a} \right)^2} = {\left( {{x_0} - 2a} \right)^2} + y_0^2 + z_0^2\\x_0^2 + y_0^2 + {\left( {{z_0} - a} \right)^2} = {\left( {{x_0} - 2a} \right)^2} + {\left( {{y_0} - 2a} \right)^2} + z_0^2\\x_0^2 + y_0^2 + {\left( {{z_0} - a} \right)^2} = {\left( {{x_0} - a} \right)^2} + y_0^2 + z_0^2\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a{z_0} + {a^2} = - 4a{x_0} + 4{a^2}\\ - 2a{z_0} + {a^2} = - 4a{x_0} + 4{a^2} - 4a{y_0} + 4{a^2}\\ - 2a{z_0} + {a^2} = - 2a{x_0} + {a^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{x_0} - 2{z_0} = 3a\\4{x_0} + 4{y_0} - 2{z_0} = 7a\\{x_0} - {z_0} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = \frac{{3a}}{2}\\{y_0} = a\\{z_0} = \frac{{3a}}{2}\end{array} \right.\)

Bán kính mặt cầu: \(R = SI = \sqrt {x_0^2 + y_0^2 + {{\left( {{z_0} - a} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{9{a^2}}}{a} + {a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt {14} }}{2}\)

Diện tích mặt cầu: \(S = 4\pi {R^2} = 14\pi {a^2}\)


Câu 47:

Gọi giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \ln x\) trên đoạn \(\left[ {\frac{1}{{{e^2}}};e} \right]\) lần lượt là m M. Tích M.m bằng

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

- Tìm TXĐ

- Tìm nghiệm và điểm không xác định của y’

- Tính các giá trị tại \(\frac{1}{{{e^2}}}\), tại , tại nghiệm của y’ . Tìm GTLN, GTNN trong các giá trị đó. e

- Tính tích M.m.

Cách giải:

TXĐ: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\)

\(y = x.\ln x \Rightarrow y' = \ln x + x.\frac{1}{x} = \ln x + 1\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{e}\)

Ta có: \(f\left( {\frac{1}{{{e^2}}}} \right) = - \frac{2}{{{e^2}}},\,\,\,f\left( e \right) = e,\,\,\,f\left( {\frac{1}{e}} \right) = - \frac{1}{e}\)

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{1}{{{e^2}}};e} \right]} f\left( x \right) = - \frac{1}{e} = m,\,\,\,\mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{1}{{{e^2}}};e} \right]} f\left( x \right) = e = M \Rightarrow M.m = - 1\)


Câu 48:

Phương trình \({3.9^x} - {7.6^x} + {2.4^x} = 0\) có hai nghiệm \({x_1},\,{x_2}\). Tổng \({x_1} + {x_2}\) bằng

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

Chia cả hai vế cho \({4^x}\), đặt \({\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} = t\). Giải phương trình tìm t, từ đó tìm x và tổng \({x_1} + {x_2}\)

Cách giải:

\({3.9^x} - {7.6^x} + {2.4^x} = 0 \Leftrightarrow 3.{\left( {\frac{9}{4}} \right)^x} - 7{\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} + 2 = 0\)

Đặt \({\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} = t\). Phương trình trở thành \(\begin{array}{l}3{t^2} - 7t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} = 2\\{\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {\log _{\frac{3}{2}}}2\\x = {\log _{\frac{3}{2}}}\frac{1}{3}\end{array} \right.\\\end{array}\)

Tổng hai nghiệm \({x_1} + {x_2} = {\log _{\frac{3}{2}}}2 + {\log _{\frac{3}{2}}}\frac{1}{3} = {\log _{\frac{3}{2}}}\left( {2.\frac{1}{3}} \right) = {\log _{\frac{3}{2}}}\frac{2}{3} = - 1\)


Câu 49:

Phương trình \({\left| x \right|^3} - 3{x^2} - {m^2} = 0\) (với m là tham số thực) có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm phân biệt

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

Số nghiệm của phương trình \(\left| {{x^3}} \right| - 3{x^2} - {m^2} = 0\) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {\left| x \right|^3} - 3{x^2}\) và đường thẳng \(y = {m^2}\)

Phác họa đồ thị hàm số , từ đó nhận xét số giao điểm trên.

Cách giải:

Số nghiệm của phương trình \(\left| {{x^3}} \right| - 3{x^2} - {m^2} = 0\) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {\left| x \right|^3} - 3{x^2}\) và đường thẳng \(y = {m^2}\)

Từ đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2}\)

Phương trình |x|^3 - 3x - m^2 = 0 (với m là tham số thực) có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm  (ảnh 1)

Ta vẽ được đồ thị hàm số \(y = {\left| x \right|^3} - 3{x^2}\) như sau:

Phương trình |x|^3 - 3x - m^2 = 0 (với m là tham số thực) có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm  (ảnh 2)

Do \({m^2} \ge 0,\,\,\forall m\) nên đồ thị hàm số \(y = {\left| x \right|^3} - 3{x^2}\) cắt đường thẳng \(y = {m^2}\) tại nhiều nhất 3 điểm.


Câu 50:

Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 3}}{{x - 2}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đường thẳng \(y = 2x + m\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt mà tiếp tuyến của t\(\left( C \right)\) ại hai điểm đó song song với nhau?

Xem đáp án

Đáp án D

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(y = 2x + m\):

\(\frac{{2x + 3}}{{x - 2}} = 2x + m,\,\,\left( {x \ne 2} \right) \Leftrightarrow 2x + 3 = \left( {2x + m} \right)\left( {x - 2} \right) \Leftrightarrow 2{x^2} + \left( {m - 6} \right)x - 2m - 3 = 0\left( * \right)\)

Dễ dàng kiểm tra được \(x = 2\) không phải nghiệm của phương trình (*) với mọi m

Để phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,{x_2}\) thì \(\Delta > 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 6} \right)^2} + 8\left( {2m + 3} \right) > 0 \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 60 > 0\), luôn đúng

\(y = \frac{{2x + 3}}{{x - 2}} \Rightarrow y = - \frac{7}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)

Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại hai điểm giao song song với nhau

\( \Leftrightarrow - \frac{7}{{{{\left( {{x_1} - 2} \right)}^2}}} = - \frac{7}{{{{\left( {{x_1} - 2} \right)}^2}}} \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - 2} \right)^2} = {\left( {{x_2} - 2} \right)^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\{x_1} + {x_2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = 4\)

Theo Vi – ét, ta có: \({x_1} + {x_2} = - \frac{{m - 6}}{2} \Rightarrow - \frac{{m - 6}}{2} = 4 \Leftrightarrow m - 6 = - 8 \Leftrightarrow m = - 2\)

Vậy, có 1 giá trị thực của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.


Bắt đầu thi ngay

Bài thi liên quan


Có thể bạn quan tâm


Các bài thi hot trong chương