Phương trình \({e^x} - {e^{\sqrt {2x - 1} }} = 1 - {x^2} + 2\sqrt {2x + 1} \) có nghiệm trong khoảng nào sau đây?
D. \(\left( {\frac{3}{2};2} \right)\)
Giải bởi Vietjack
Đáp án B
Phương pháp:
Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
Cách giải:
Điều kiện: \(x \ge - \frac{1}{2}\)
\({e^x} - {e^{\sqrt {2x + 1} }} = 1 - {x^2} + 2\sqrt {2x + 1} \Leftrightarrow 2x + 1 + 2\sqrt {2x + 1} + 1 + {e^{\sqrt {2x + 1} }} = {x^2} + 2x + 1 + {e^x}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {2x + 1} + 1} \right)^2} + {e^{\sqrt {2x + 1} }} = {\left( {x + 1} \right)^2} + {e^x}\)
Xét hàm số \(y = {\left( {x + 1} \right)^2} + {e^x} \Rightarrow y' = 2\left( {x + 1} \right) + {e^x} = 2x + 1 + {e^x} + 1 > 0,\,\,\forall x \ge - \frac{1}{2}\)
\( \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left[ { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\)
Phương trình đã cho tương đương:
\(\sqrt {2x + 1} = x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\2x + 1 = {x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} - 2x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1 + \sqrt 2 \in \left( {2;\frac{5}{2}} \right)\)
Gọi giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \ln x\) trên đoạn \(\left[ {\frac{1}{{{e^2}}};e} \right]\) lần lượt là m và M. Tích M.m bằng
Thể tích của khối cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương cạnh \(2\sqrt 2 \) bằng
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với \(SA = \sqrt 6 ,\,\,AB = 3\). Diện tích của mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (SBC) bằng
Cho lăng trụ tứ giác đều có cạnh bằng a và cạnh bên bằng 2a. Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đã cho bằng
Cho biểu thức \(A = {\log _{\sqrt a }}{a^2} + {\log _{\frac{1}{2}}}{4^a},\,\,a > 0,\,\,a \ne 1\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Biết rằng phương trình \({5^{2x + \sqrt {1 - 2x} }} - m{.5^{1 - \sqrt {1 - 2x} }} = {4.5^x}\) có nghiệm khi và chỉ khi \(m \in \left[ {a;b} \right]\), với m là tham số. Giá trị của \(b - a\) bằng
Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 4x + 1\) và đường thẳng \(y = x + 1\) bằng:
Cho các hàm số \(y = {\log _a}x,\,\,\,y = {\log _b}x\) và \(y = {c^x}\) (với a, b, c là các số dương khác 1) có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?
Cho hàm số \(y = {\log _2}x\). Xét các phát biểu
(1) Hàm số \(y = {\log _2}x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) .
(2) Hàm số \(y = {\log _2}x\) có một điểm cực tiểu.
(3) Đồ thị hàm số \(y = {\log _2}x\) có tiệm cận.
Số phát biểu đúng là
Tổng tất cả các nghiệm của phương trình \({4^x} - {3.2^{x + 1}} + 8 = 0\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, \(AB = BC = 2,\,\,AD = 4\); mặt bên SAD nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy và có diện tích bằng 6. Thể tích khối S.BCD bằng
Cho khối chóp S.ABC có ba cạnh SA, SB, SC cùng độ dài bằng a và vuông góc với nhau từng đôi một. Thể tích của khối chóp S.ABC bằng
Diện tích toàn phần của hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh a bằng
