Cho hai số phức $z_1=m+3i,z_2=2-\left(m+1\right)i$ với $m\in ℝ$. Tìm các giá trị của m để $z_1.z_2$ là số thực

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC , biết $A\left(1;1;1\right),B\left(5;1;-2\right),C\left(7;9;1\right)$. Tính độ dài đường phân giác trong AD của góc

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) cắt ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C; trực tâm tam giác ABC là H(1;2;3). Phương trình của mặt phẳng (P) là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left(P\right):2x-y-z+3=0$ và đường thẳng $\left(d\right):\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z}{2}$. Xét vị trí tương đối của (P) và (d).

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ và nhận $\overrightarrow{n}=\left(3;2;1\right)$ là vectơ pháp tuyến. Phương trình của mặt phẳng (P) là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các vectơ $\overrightarrow{a}=\left(1;-2;0\right),\overrightarrow{b}=\left(-1;1;2\right),\overrightarrow{c}=\left(4;0;6\right)$ và $\overrightarrow{u}=\left(-2;\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left(P\right):2x-2y-z+3=0$ và điểm M(1;-2;13). Tính khoảng cách d từ M đến (P).

Thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi Parabol $\left(P\right):y=x^2$ và đường thẳng d:y =x xoay quanh trục Ox bằng:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{u}=\left(-2;3;0\right),\overrightarrow{v}=\left(2;-2;1\right)$. Độ dài của vectơ $\overrightarrow{\mathbf{w}}=\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v}$ là

Cho hai điểm $A\left(5;1;3\right),H\left(3;-3;-1\right)$. Tọa độ điểm A′ đối xứng với A qua H là

Cho hai điểm $A\left(3;3;1\right),B\left(0;2;1\right)$ và mặt phẳng $\left(\alpha \right):x+y+z-7=0$. Đường thẳng d nằm trong $\left(\alpha \right)$ sao cho mọi điểm thuộc d cách đều hai điểm A, B có phương trình là:

Trong không gian với hệ tọa độ $\left(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$ cho vectơ $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}$. Tìm tọa độ điểm M.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left(P\right):y=x^2-4x+3$ và trục Ox.

Cho số phức z thỏa mãn $\left|z\right|=12$. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức $w=\left(8-6i\right)z+2i$ là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó.

Gọi $z_1,z_2$ là các nghiệm của phương trình $z^2+4z+5=0$. Đặt $w={\left(1+z_1\right)}^{100}+{\left(1+z_2\right)}^{100}$. Khi đó