Câu hỏi:

27/06/2023 26

Cho hàm số $f (x)$ biết đồ thị hàm số $f^{'} (x^{2} - 2 x)$ như hình vẽ bên dưới.Xét tính đơn điệu của hàm số $g (x) = f (x^{2} - 1) + \frac{2}{3} x^{3} + 1$

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Nếu tịnh tiến đồ thị đã cho qua trái 1 đơn vị thì hàm số có dạng $y = a x^{4} + b x + c (a \neq 0)$ .

Dựa vào đồ thị ta có hệ phương trình: $\{\begin{cases} y (0) = 1 \\ y (1) = - 2 \\ y (2) = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} c = 1 \\ a + b + c = - 2 \\ 16 a + 4 b + c = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} c = 1 \\ a = 1 \\ b = - 4 \end{cases}$ $\Rightarrow y = x^{4} - 4 x^{2} + 1$ .
Đồ thị cho trên đề bài : $y = {(x - 1)}^{4} - 4 (x - 1) + 1 = {(x^{2} - 2 x)}^{2} - 4 (x^{2} - 2 x) - 1$ $\Rightarrow f^{'} (x^{2} - 2 x) = {(x^{2} - 2 x)}^{2} - 2 (x^{2} - 2 x) - 1$ .
Đặt $x^{2} - 2 x = t$ $\Rightarrow f^{'} (t) = t^{2} - 2 t - 1$
Ta có $g (x) = f (x^{2} - 1) + \frac{2}{3} x^{3} + 1$
$g^{'} (x) = 2 x . f^{'} (x^{2} - 1) + 2 x^{2} = 2 x (f^{'} (x^{2} - 1) + x) = 2 x [{(x^{2} - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - 1) - 1 + x]$
$= 2 x (x^{4} - 4 x^{2} + x + 2)$
$g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \\ x = - 2 \\ x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \end{array}$
Bảng xét dấu của $g^{'} (x)$

Dựa vào bảng xét dấu hàm số $g (x)$ đồng biến trên các khoảng $(- 2; \frac{1 - \sqrt{5}}{2})$ và $(0; 1)$ và $(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}; + \infty)$
nghịch biến trên các khoảng $(- \infty; - 2)$ và $(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}; 0)$ và $(1; \frac{1 + \sqrt{5}}{2})$ .

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Tìm tất cả các khoảng nghịch biến của hàm số: $y = \frac{x^{2} + 2 x + 2}{x + 1}$ .

Xem đáp án » 27/06/2023 40

Câu 2:

Cho hình lăng trụ đứng $A B C . A' B' C'$ có đáy là tam giác đều cạnh a và $A A' = a \sqrt{3}$ . Khi đó thể tích khối lăng trụ $A B C . A' B' C'$ là

Xem đáp án » 27/06/2023 38

Câu 3:

Diện tích toàn phần của khối lập phương bằng $96 c m^{2}$ . Khi đó cạnh của khối lập phương là?

Xem đáp án » 27/06/2023 38

Câu 4:

Cho khối lăng trụ đứng có cạnh bên bằng 5, đáy là hình vuông có cạnh bằng 4. Hỏi thể tích khối lăng trụ là:

Xem đáp án » 27/06/2023 36

Câu 5:

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{1 - 2 x}{x^{2} - 5 x + 6}$

Xem đáp án » 27/06/2023 35

Câu 6:

Trong một hình đa diện, tổng số đỉnh và số mặt

Xem đáp án » 27/06/2023 35

Câu 7:

Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng $30^{0}$ . Khi đó thể tích khối chóp đều S.ABC là

Xem đáp án » 27/06/2023 35

Câu 8:

Cho khối chóp S.ABC có thể tích V. Các điểm A', B' , C' tương ứng là trung điểm các cạnh SA, SB, SC. Thể tích khối chóp S.A'B'C'D' bằng

Xem đáp án » 27/06/2023 35

Câu 9:

Hàm số $y = x^{3} - 3 x + 2021$ đạt cực tiểu tại $x$ bằng?

Xem đáp án » 27/06/2023 34

Câu 10:

Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sqrt{x - 3} + \sqrt{5 - x}$ . Giá trị của biểu thức $M + m^{2}$

Xem đáp án » 27/06/2023 33

Câu 11:

Hàm số $y = x^{4} + m x^{2} - m - 5$ ( $m$ là tham số) có 3 điểm cực trị khi các giá trị của m là:

Xem đáp án » 27/06/2023 33

Câu 12:

Đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 3}{x + 1}$ có đường tiệm cận đứng là đường thẳng nào dưới đây:

Xem đáp án » 27/06/2023 32

Câu 13:

Các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y = \frac{- 1}{4} x^{4} + \frac{3}{2} m x^{2}$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều là:

Xem đáp án » 27/06/2023 32

Câu 14:

Cho hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng về tính đơn điệu của hàm số

Xem đáp án » 27/06/2023 31

Câu 15:

Cho hình chóp tam giác đều $S . A B C$ có cạnh đáy bằng 2a,thể tích khối chóp S.ABC là $\frac{a^{3}}{3}$ . Tính $d (S, (A B C))$ .

Xem đáp án » 27/06/2023 30

Xem thêm các câu hỏi khác »

Đề thi liên quan

Xem thêm »

250 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

10 đề 35999 lượt thi Thi thử
150 câu trắc nghiệm Nguyên hàm - Tích phân cơ bản

6 đề 35404 lượt thi Thi thử
Bài tập về Tính đơn điệu của hàm số có lời giải

3 đề 32587 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao

11 đề 22566 lượt thi Thi thử
Bài tập Cực trị hàm số cơ bản, nâng cao có lời giải

5 đề 20775 lượt thi Thi thử
70 câu trắc nghiệm Khối đa diện cơ bản

6 đề 18068 lượt thi Thi thử
Đề thi thử Hình học không gian trong đề thi Đại học 2017 có lời giải

23 đề 17496 lượt thi Thi thử
200 câu trắc nghiệm Hàm số mũ và Logarit nâng cao

9 đề 17000 lượt thi Thi thử
150 câu trắc nghiệm Nguyên hàm - Tích phân nâng cao

6 đề 12634 lượt thi Thi thử
200 câu trắc nghiệm Hàm số mũ và Logarit cơ bản

9 đề 12315 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »