Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên với đáy bằng \({45^0}\). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC. Tính thể tích của khối tứ diện AMNP.
D. \(\frac{{{a^3}}}{{24}}\)
Giải bởi Vietjack
Đáp án A
Phương pháp:
- Lập tỉ lệ thể tích khối tứ diện AMNP với khối chóp S.ABCD
- Tính thể tích khối chóp S.ABCD
- Tính thể tích khối tứ diện AMNP .
Cách giải:
M là trung điểm của SA \( \Rightarrow {S_{AMP}} = \frac{1}{2}{S_{SAP}} \Rightarrow {V_{AMNP}} = \frac{1}{2}{V_{N.SMP}}\)
N là trung điểm của SB \( \Rightarrow {V_{N.SMP}} = \frac{1}{2}{V_{S.ABP}}\)
P là trung điểm của CD \( \Rightarrow {S_{ABP}} = \frac{1}{2}{S_{ABCD}} \Rightarrow {V_{S.ABP}} = \frac{1}{2}{V_{S.ABCD}}\)
\( \Rightarrow {V_{AMNP}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3}.{V_{S.ABCD}} = \frac{{{V_{S.ABCD}}}}{8}\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OP \bot CD\\SO \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SOP} \right) \Rightarrow \left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = SPO = {45^0} \Rightarrow \Delta SOP\) vuông cân tại O
\( \Rightarrow SO = OP = \frac{a}{2}\)
Thể tích khối chóp S.ABCD: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SO.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{a}{2}.{a^2} = \frac{{{a^3}}}{6}\)
\( \Rightarrow {V_{AMNP}} = \frac{{{V_{S.ABCD}}}}{8} = \frac{{{a^3}}}{{48}}\)
Tính tích các nghiệm của phương trình \({\log _2}x.{\log _4}x.{\log _8}x.{\log _{16}}x = \frac{{81}}{{24}}\)
Cho a, b là hai số dương khác 1. Đặt \({\log _a}b = m\). Tính theo m giá trị của biểu thức \(P = {\log _a}b - {\log _{\sqrt b }}{a^3}\)
Tìm tập nghiệm của bất phương trình \({\log _x}125x + {\log _{24}}x > \frac{3}{2} + \log _5^2x\)
Cho các số thực \(a,\,b,\,x > 0\) và \(b,\,x \ne 1\) thỏa mãn \({\log _x}\frac{{a + 2b}}{3} = {\log _x}\sqrt a + {\log _x}\sqrt b \). Tính giá trị của biểu thức \(P = \left( {2{a^2} + 3ab + {b^2}} \right){\left( {a + 2b} \right)^{ - 2}}\) khi \(a > b\)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right).{\log _4}\left( {{{2.5}^x}} \right) - 2 = m\) có nghiệm \(x \ge 1\)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = {\left( {\frac{2}{\pi }} \right)^{{x^3} + 3m{x^2} + 3mx + 10}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng \(a\sqrt 3 \), góc \(ASB = {60^0}\). Tính thể tích của khối nón đỉnh S có đáy là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.
Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{{5x + 11}}{{\sqrt {3{x^2} + 2017} }}\)
Hàm số \(y = \left( {{x^2} - 2x + 1} \right){e^{2x}}\) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
Ông A vay ngân hàng 300 triệu đồng để mua nhà theo phương thức trả góp với lãi suất 0,5% mỗi tháng. Nếu cuối mỗi tháng, bắt đầu từ tháng thứ nhất ông hoàn nợ cho ngân hàng 4.500.000 đồng và chịu lãi số tiền chưa trả. Hỏi sau bao nhiêu tháng ông A sẽ trả hết số tiền vay?
Tìm giá trị cực tiểu \({y_{CT}}\) của hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 2\)
Tính giá trị nhỏ nhất M của hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} + 2\) trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng \(y = - mx\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - m + 2\) tại ba điểm A, B, C phân biệt sao cho \(AB = BC\).
