Tìm m để phương trình \({\log _2}\sqrt {{x^2} - 3x + 2} + {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - m} \right) = x - m - \sqrt {{x^2} - 3x + 2} \) có nghiệm?
D. \(m \in \left( {1;\frac{3}{2}} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)
Giải bởi Vietjack
Đáp án C
Phương pháp:
Sử dụng phương pháp hàm số.
Cách giải:
ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + 2 > 0\\x - m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\\x > m\end{array} \right.\)
\({\log _2}\sqrt {{x^2} - 3x + 2} + {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - m} \right) = x - m - \sqrt {{x^2} - 3x + 2} \)
\( \Leftrightarrow {\log _2}\sqrt {{x^2} - 3x + 2} - {\log _2}\left( {x - m} \right) = x - m - \sqrt {{x^2} - 3x + 2} \)
\( \Leftrightarrow {\log _2}\sqrt {{x^2} - 3x + 2} + \sqrt {{x^2} - 3x + 2} = {\log _2}\left( {x - m} \right) + x - m\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0 \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)
\( \Rightarrow \sqrt {{x^2} - 3x + 2} = x - m\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = {x^2} - 2mx + {m^2}\)
\( \Leftrightarrow \left( {2m - 3} \right)x + 2 - {m^2} = 0\,\,\left( * \right)\)
TH1: \(2m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{3}{2} \Rightarrow \) Phương trình \(\left( * \right) \Leftrightarrow 0.x - \frac{1}{4} = 0\) (vô nghiệm)
TH2: \(m \ne \frac{3}{2} \Rightarrow x = \frac{{{m^2} - 2}}{{2m - 3}}\)
Để phương trình có nghiệm \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\\x > m\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}\frac{{{m^2} - 2}}{{2m - 3}} < 1\\\frac{{{m^2} - 2}}{{2m - 3}} > 2\end{array} \right.\\\frac{{{m^2} - 2}}{{2m - 3}} > m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}\frac{{{m^2} - 2}}{{2m - 3}} - 1 < 0\\\frac{{{m^2} - 2}}{{2m - 3}} - 2 > 0\end{array} \right.\\\frac{{{m^2} - 2}}{{2m - 3}} - m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}\frac{{{m^2} - 2 - 2m + 3}}{{2m - 3}} < 0\\\frac{{{m^2} - 2 - 4m + 6}}{{2m - 3}} > 0\end{array} \right.\\\frac{{{m^2} - 2 - 2{m^2} + 3}}{{2m - 3}} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}\frac{{{m^2} - 2m + 1}}{{2m - 3}} < 0\\\frac{{{m^2} - 4m + 4}}{{2m - 3}} > 0\end{array} \right.\\\frac{{ - {m^2} + 3m - 2}}{{2m - 3}} > 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m \in \left( { - \infty ;\frac{3}{2}} \right)\backslash \left\{ 1 \right\}\\m \in \left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\backslash \left\{ 2 \right\}\end{array} \right.\\m \in \left( { -Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng 2a. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD.
Tìm tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x\sqrt {4 - {x^2}} }}{{{x^2} - 3x + 2}}\)
Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng \({60^0}\). Thể tích V của hình chóp S.ABCD.
Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a.
Tính khoảng cách d giữa 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}\)
Tính khoảng cách d ngắn nhất giữa hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\)
Tìm phương trình các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {4{x^2} + 1} + 2x}}{x}\)
Một hình nón có chiều cao bằng \(\sqrt 5 \), đường kính đáy bằng 6. Tính thể tích V của khối nón đó?
Cho \(\left( {{C_m}} \right):y = 2{x^3} - \left( {3m + 3} \right){x^2} + 6mx - 4\). Gọi T là tập các giá trị của m thỏa mãn \(\left( {{C_m}} \right)\) có đúng hai điểm chung với Ox, tính tổng S các phần tử của T.
Cho hình chóp S.ABCD, M là trung điểm của SA. Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng qua M và song song với mặt phẳng (ABCD). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối gồm khối chứa điểm S có thể tích \({V_1}\) và khối chứa điểm A có thể tích \({V_2}\). Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\)?
Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có diện tích là 50. Tính bán kính R của hình nón đó?
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{mx - 1}}\) đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\)
Tìm tất cả các giá trị m để hàm số \(y = mx + 2\sin x - 3\cos \,x\) nghịch biến trên R.
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, \(AB = a,\,\,BC = a\sqrt 2 \), mặt \(\left( {A'BC} \right)\) hợp với đáy \(\left( {ABC} \right)\) một góc \({30^0}\). Tính thể tích V của khối lăng trụ đó?
