Hàm số y=x+m3+x+n3-x3 ( tham số m, n) đồng biến trên khoảng −∞;+∞. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=4m2+n2−m−n bằng

Chọn ATa có y'=3x+m2+3x+n2−3x2=3x2+2m+nx+m2+n2Hàm số đồng biến trên −∞; +∞ ⇔a>0Δ≤0⇔mn≤0TH1: mn=0⇔m=0n=0Do vai trò của m,n là như nhau nên ta chỉ cần xét trường hợp m=0⇒P=4n2−n=2n−12−116≥−1161TH2: m n<0⇔m>0; n<0 (Do vai trò m,n của như nhau).Ta có P=2m−142−116+4n2+−n≥−1162Từ 1,2 ta có Pmin=−116 . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi m=18;n=0 hoặc m=0;n=18

Câu hỏi:

29/06/2023 28

Hàm số $y = {(x + m)}^{3} + {(x + n)}^{3} - x^{3}$ ( tham số m, n) đồng biến trên khoảng $(- \infty; + \infty)$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 4 (m^{2} + n^{2}) - m - n$ bằng

A. $- \frac{1}{16}$

Đáp án chính xác

B. -16

C. 4

D. $\frac{1}{4}$

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn A
Ta có $y^{'} = 3 {(x + m)}^{2} + 3 {(x + n)}^{2} - 3 x^{2} = 3 [x^{2} + 2 (m + n) x + m^{2} + n^{2}]$
Hàm số đồng biến trên $(- \infty; + \infty)$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a > 0 \\ Δ \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m n \leq 0$
TH1: $m n = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 \\ n = 0 \end{array}$
Do vai trò của $m, n$ là như nhau nên ta chỉ cần xét trường hợp $m = 0$
$\Rightarrow P = 4 n^{2} - n = (2 n - \frac{1}{2}) - \frac{1}{16} \geq - \frac{1}{16} (1)$
TH2: $m n < 0 \Leftrightarrow m > 0; n < 0$ (Do vai trò $m, n$ của như nhau).
Ta có $P = {(2 m - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16} + 4 n^{2} + (- n) \geq - \frac{1}{16} (2)$
Từ $(1), (2)$ ta có $P_{\min} = - \frac{1}{16}$ . Dấu $" = "$ xảy ra khi và chỉ khi $m = \frac{1}{8}; n = 0$ hoặc $m = 0; n = \frac{1}{8}$

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Trên khoảng $(0; 1)$ hàm số $y = x^{3} + \frac{1}{x}$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x_{0}$ bằng

Xem đáp án » 29/06/2023 53

Câu 2:

Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm cấp 2 trên khoảng K và $x_{0} \in K .$ Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

Xem đáp án » 29/06/2023 48

Câu 3:

Tọa độ điểm M thuộc đồ thị hàm số $y = \frac{3 x + 1}{x - 1}$ cách đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số một khoảng bằng 1 là

Xem đáp án » 29/06/2023 43

Câu 4:

Cho khối tự diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA=a; OB=b; OC=c. Thể tích khối tứ diện OABC được tính theo công thức nào sau đây

Xem đáp án » 29/06/2023 41

Câu 5:

Tính diện tích toàn phần của hình lập phương có độ dài đường chéo bằng $\sqrt{12}$ .

Xem đáp án » 29/06/2023 40

Câu 6:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = \frac{m x - 1}{m - 4 x}$ nghịch biến trên khoảng $(- \infty; \frac{1}{4})$

Xem đáp án » 29/06/2023 38

Câu 7:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ trên khoảng $(- \infty; + \infty)$ bằng

Xem đáp án » 29/06/2023 37

Câu 8:

Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số $y = x^{3} - 2 x^{2} + (1 - m) x + m$ có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành.

Xem đáp án » 29/06/2023 37

Câu 9:

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình $x + 1 = m \sqrt{2 x^{2} + 1}$ có hai nghiệm phân biệt.

Xem đáp án » 29/06/2023 37

Câu 10:

Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn $x + y + z = 4$ và $x y + y z + z x = 5$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $(x^{3} + y^{3} + z^{3}) (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z})$ bằng

Xem đáp án » 29/06/2023 37

Câu 11:

Hàm số $y = x^{3} - 3 x$ nghịch biến trên khoảng nào?

Xem đáp án » 29/06/2023 36

Câu 12:

Một vật chuyển động theo quy luật $s = \frac{1}{3} t^{3} - t^{2} + 9 t,$ với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?

Xem đáp án » 29/06/2023 36

Câu 13:

Cho hình chóp $S . A B C D$ với đáy là hình chữ nhật có $A B = a$ , $B C = a \sqrt{2}$ , $S A ⊥ (A B C D)$ và $S A = a \sqrt{3}$ . Gọi M là trung điểm SD và $(P)$ là mặt phẳng đi qua B, M sao cho $(P)$ cắt mặt phẳng $(S A C)$ theo một đường thẳng vuông góc với $B M$ . Khoảng cách từ điểm S đến $(P)$ bằng

Xem đáp án » 29/06/2023 36

Câu 14:

Trong các hình dưới đây hình nào không phải đa diện lồi?

Xem đáp án » 29/06/2023 34

Câu 15:

Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi một khác nhau có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

Xem đáp án » 29/06/2023 34

Xem thêm các câu hỏi khác »

Đề thi liên quan

Xem thêm »

250 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

10 đề 35999 lượt thi Thi thử
150 câu trắc nghiệm Nguyên hàm - Tích phân cơ bản

6 đề 35404 lượt thi Thi thử
Bài tập về Tính đơn điệu của hàm số có lời giải

3 đề 32587 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao

11 đề 22566 lượt thi Thi thử
Bài tập Cực trị hàm số cơ bản, nâng cao có lời giải

5 đề 20775 lượt thi Thi thử
70 câu trắc nghiệm Khối đa diện cơ bản

6 đề 18068 lượt thi Thi thử
Đề thi thử Hình học không gian trong đề thi Đại học 2017 có lời giải

23 đề 17496 lượt thi Thi thử
200 câu trắc nghiệm Hàm số mũ và Logarit nâng cao

9 đề 17000 lượt thi Thi thử
150 câu trắc nghiệm Nguyên hàm - Tích phân nâng cao

6 đề 12634 lượt thi Thi thử
200 câu trắc nghiệm Hàm số mũ và Logarit cơ bản

9 đề 12315 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »