50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bộ 20 đề thi giữa kì 2 Toán 12 có đáp án năm 2022-2023 (Đề 17)

. Kết luận nào sau đây đúng?

y = x^{4} - 2 x^{2} - 5

A. Hàm số đồng biến trên khoảng

(- \infty; - 1)

B. Hàm số nghịch biến với mọi x.

C. Hàm số đồng biến với mọi x.

D. Hàm số đồng biến trên khoảng

(- 1; 0)

và

(1; + \infty)

.

Xem đáp án

Chọn D
Ta có

y^{'} = 4 x^{3} - 4 x

y^{'} = 0

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 1 \end{array}

Hàm số đồng biến trên khoảng

(- 1; 0)

và

(1; + \infty)

.

Câu 3:

có đạo hàm cấp 2 trên khoảng K và

f (x)

x_{0} \in K .

Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. Nếu hàm số đạt cực đại tại

x_{0}

thì

{f^{'}}^{'} (x_{0}) < 0

.

B. Nếu hàm số đạt cực đại tại $x_{0}$ thì tồn tại $a < x_{0}$ để $f^{'} (a) > 0$ .

C. Nếu hàm số đạt cực trị tại $x_{0}$ thì $f^{'} (x_{0}) = 0$ .

D. Nếu

f^{'} (x_{0}) = 0

và

{f^{'}}^{'} (x_{0}) \neq 0

thì hàm số đạt cực trị tại

x_{0}

.

Xem đáp án

Chọn A
Định lí 2 trang 16 SGK, Nếu

f^{'} (x_{0}) = 0

và

{f^{'}}^{'} (x_{0}) < 0

thì

x_{0}

là điểm cực đại, chiều ngược lại của định lí không đúng. Ví dụ hàm số

y = - x^{4}

đạt cực đại tại

x_{0} = 0

nhưng

{f^{'}}^{'} (0) = 0

.

Câu 4:

Cho khối tự diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA=a; OB=b; OC=c. Thể tích khối tứ diện OABC được tính theo công thức nào sau đây

A. $V = \frac{1}{2} a . b . c$

B. $V = \frac{1}{3} a . b . c$

C. $V = \frac{1}{6} a . b . c$

D. $V = 3 a . b . c$

Xem đáp án

Chọn C

V_{O A B C} = \frac{1}{3} S h = \frac{1}{3} . O A . \frac{1}{2} O B . O C = \frac{1}{6} a . b . c

Câu 5:

Tính diện tích toàn phần của hình lập phương có độ dài đường chéo bằng

\sqrt{12}

.

A. 18

B. 24

C. 12

D. 16

Xem đáp án

Chọn B

Đặt

A B = a

. Vì đáy là hình vuông =>

B D = a \sqrt{2}

Vì

Δ B B^{'} D

vuông tại B nên

B^{'} D^{2} = B {B^{'}}^{2} + B D^{2}

<=>

12 = a^{2} + 2 a^{2}

Vậy

S_{t p} = 6 S_{đáy} = 6 a^{2} = 24

Câu 6:

Bảng biến thiên trong hình vẽ là của hàm số

A. $y = \frac{x - 4}{2 x + 2}$

B. $y = \frac{- 2 x - 4}{x + 1}$

C. $y = \frac{- 2 x + 3}{x + 1}$

D. $y = \frac{2 - x}{x + 1}$

Xem đáp án

Chọn C
Theo bảng biến thiên thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang

y = - 2

nên loại A, D.
Lại có

y^{'} < 0

,

\forall x \neq - 2

nên loại B.

Câu 7:

Cho hình lăng trụ tam giác đều

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có

A B = 2 a

,

A A^{'} = a \sqrt{3}

. Tính thể tích khối lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

A. $\frac{3 a^{3}}{4}$

B. $\frac{a^{3}}{4}$

C. $3 a^{3}$

D. $a^{3}$

Xem đáp án

Chọn C

Do

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

là hình lăng trụ tam giác đều nên

(A^{'} B^{'} C^{'})

là đường cao của khối lăng trụ.
Tam giác

A B C

đều, có cạnh

A B = 2 a

nên

S_{Δ A B C} = \frac{{(2 a)}^{2} \sqrt{3}}{4} = a^{2} \sqrt{3}

Vậy

V = A A^{'} . S_{Δ A B C} = a \sqrt{3} . a^{2} \sqrt{3} = 3 a^{3}

Câu 8:

liên tục trên R và có bảng xét dấu

y = f (x)

f^{'} (x)

như sau:

có bao nhiêu điểm cực trị?

y = f (x)

A. 2

B. 1

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Chọn D
Hàm số

f (x)

liên tục trên

ℝ

.
Từ bảng xét dấu ta thấy

f^{'} (x)

đổi dấu khi qua

x = - 1, x = 0, x = 2, x = 4

nên hàm số đã cho có 4 điểm cực trị.

Câu 9:

Trong các hình dưới đây hình nào không phải đa diện lồi?

A. Hình (IV).

B. Hình (III).

C. Hình (II).

D. Hình (I).

Xem đáp án

Chọn A

Ta có đường nối hai điểm MN không thuộc hình IV nên đây không phải là đa diện lồi.

Câu 10:

nghịch biến trên khoảng nào?

y = x^{3} - 3 x

A. $(- \infty; - 1)$

B. $(- \infty; + \infty)$

C. $(- 1; 1)$

D. $(0; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn C
Tập xác định

D = ℝ

Ta có

y^{'} = 3 x^{2} - 3;

y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 1 \end{array}

Ta có bảng xét dấu y':
Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng

(- 1; 1)

Câu 11:

Khối lăng trụ có diện tích đáy bằng

3 a^{2}

, chiều cao bằng a có thể tích bằng

A. $3 a^{3}$

B. $\frac{3}{2} a^{3}$

C. $\frac{1}{2} a^{3}$

D. $a^{3}$

Xem đáp án

Chọn A
Thể tích khối lăng trụ

V = B \times h = 3 a^{2} \times a = 3 a^{3}

Câu 12:

Giá trị lớn nhất của hàm số

f (x) = \frac{- x^{2} - 4}{x}

trên đoạn

[\frac{3}{2}; 4]

là

A. -2

B. -4

C. $- \frac{25}{6}$

D. -5

Xem đáp án

Chọn B
Hàm số xác định và liên tục trên đoạn

[\frac{3}{2}; 4]

Ta có

y^{'} = \frac{- x^{2} + 4}{x^{2}}

;

y^{'} = 0

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \in [\frac{3}{2}; 4] \\ x = - 2 \notin [\frac{3}{2}; 4] \end{array}

Mà

f (\frac{3}{2}) = - \frac{25}{6}

,

f (2) = - 4

,

f (4) = - 5

Vậy

\max_{[\frac{3}{2}; 4]} f (x)

= f (2)

=-4

Câu 13:

Giá trị lớn nhất của hàm số

y = \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 1}}

trên khoảng

(- \infty; + \infty)

Một hồ bơi hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh bằng 50 (m). Lượng nước trong hồ cao 1,5 (m). Thể tích nước trong hồ là

A. $2 \sqrt{2}$

B. 1

C. $\sqrt{2}$

D. 2

Xem đáp án

Chọn C
Ta có

y^{'} = \frac{\sqrt{x^{2} + 1} - \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} . (x + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{x^{2} + 1 - x^{2} - x}{(x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{1 - x}{(x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 1}}

Cho

y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 1

Nhận thấy

y (1) = \sqrt{2}

;

\lim_{x \to + \infty} y = 1

và

\lim_{x \to - \infty} y = - 1

Vậy

M = \underset{(- \infty; + \infty)}{Max y} = \sqrt{2}

tại

x = 1

Câu 14:

A. 1875 $(m^{3})$

B. 2500 $(m^{3})$

C. 1250 $(m^{3})$

D. 3750 $(m^{3})$

Xem đáp án

Chọn D
Thể tích nước trong hồ là

V = 1, {5.50}^{2} = 3750

(m^{3})

Câu 15:

Đồ thị hàm số nào trong bốn hàm số liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây, có đúng một điểm cực trị?

A. $y = x^{3} - 3 x^{2} + x$

B. $y = x^{4} + 2 x^{2} - 3$

C. $y = - x^{3} - 4 x + 5$

D. $y = \frac{2 x - 3}{x + 1}$

Xem đáp án

Chọn B
Ta có đồ thị hàm số

y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

với

a \neq 0

luôn có hai hoặc không có cực trị.
Đồ thị hàm số

y = \frac{a x + b}{c x + d}

với

a d - b c \neq 0

không có cực trị.

Câu 16:

Tọa độ điểm M thuộc đồ thị hàm số

y = \frac{3 x + 1}{x - 1}

cách đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số một khoảng bằng 1 là

A. $(0; - 1); (- 2; 7)$

B. $(- 1; 0); (2; 7)$

C. $(0; 1); (2; - 7)$

D. $(0; - 1); (2; 7)$

Xem đáp án

Chọn D
Gọi

(C)

là đồ thị hàm số

y = \frac{3 x + 1}{x - 1}

;

(C)

có tiệm cận đứng

x = 1

M \in (C) \Rightarrow M (m; \frac{3 m + 1}{m - 1})

Khoảng cách từ M tới đường tiệm cận đứng bằng

d = |m - 1| \Leftrightarrow |m - 1| = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 2 \\ m = 0 \end{array}

Vậy

M (0; - 1)

hoặc

M (2; 7)

Câu 17:

Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số

y = x^{2} - 4 x + 3

có điểm cực tiểu là

A. $x = 4$

B. $x = 0$

C. $y = - 1$

D. $x = 2$

Xem đáp án

Chọn D
Tập xác định:

D = ℝ

Ta có:

y^{'} = 2 x - 4

,

y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 2

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực tiểu tại

x = 2

Cách 2: Đồ thị hàm số

y = x^{2} - 4 x + 3

là Parabol có đỉnh là

(2; 1)

và có

a = 1 > 0

nên

x = 2

là điểm cực tiểu.

Câu 18:

y = \frac{2 x - 3}{x + 1}

. Khi đó, điểm I nằm trên đường thẳng có phương trình:

A. $x + y + 4 = 0$

B. $2 x - y + 4 = 0$

C. $x - y + 4 = 0$

D. $2 x - y + 2 = 0$

Xem đáp án

Chọn B
Đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng là

x = - 1

, tiệm cận ngang là

y = 2

, do đó

I (- 1; 2)

, thay vào các phương trình thì I thuộc đường thẳng

2 x - y + 4 = 0

Câu 19:

( tham số m, n) đồng biến trên khoảng

y = {(x + m)}^{3} + {(x + n)}^{3} - x^{3}

(- \infty; + \infty)

. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = 4 (m^{2} + n^{2}) - m - n

A. $- \frac{1}{16}$

B. -16

C. 4

D. $\frac{1}{4}$

Xem đáp án

Chọn A
Ta có

y^{'} = 3 {(x + m)}^{2} + 3 {(x + n)}^{2} - 3 x^{2} = 3 [x^{2} + 2 (m + n) x + m^{2} + n^{2}]

Hàm số đồng biến trên

(- \infty; + \infty)

\Leftrightarrow \{\begin{cases} a > 0 \\ Δ \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m n \leq 0

TH1:

m n = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 \\ n = 0 \end{array}

Do vai trò của

m, n

là như nhau nên ta chỉ cần xét trường hợp

m = 0

\Rightarrow P = 4 n^{2} - n = (2 n - \frac{1}{2}) - \frac{1}{16} \geq - \frac{1}{16} (1)

TH2:

m n < 0 \Leftrightarrow m > 0; n < 0

(Do vai trò

m, n

của như nhau).
Ta có

P = {(2 m - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16} + 4 n^{2} + (- n) \geq - \frac{1}{16} (2)

Từ

(1), (2)

ta có

P_{\min} = - \frac{1}{16}

. Dấu

" = "

xảy ra khi và chỉ khi

m = \frac{1}{8}; n = 0

hoặc

m = 0; n = \frac{1}{8}

Câu 20:

có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

y = f (x)

A. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 2.

B. Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ và đạt cực tiểu tại $x = 2$

C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng -2

D. Hàm số có ba điểm cực trị.

Xem đáp án

Chọn B
Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số có 2 cực trị.
Hàm số đạt cực đại tại

x = 0

và giá trị cực đại bằng 2
Hàm số đạt cực tiểu tại

B (1; - 1)

và giá trị cực tiểu bằng -2

Câu 21:

xác định, liên tục trên R có bảng biến thiên như hình vẽ

y = f (x)

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A. $(- 3; 2)$

B. $(- \infty; 0)$ và $(1; + \infty)$

C. $(- \infty; - 3)$

D. $(0; 1)$

Xem đáp án

Chọn D
Nhìn vào BBT ta thấy, giá trị của hàm số y sẽ giảm (mũi tên đi xuống) khi x tăng trong khoảng

(0; 1)

=> Hàm số nghịch biến trên

(0; 1)

Câu 22:

Cho đồ thị hàm

y = f (x)

như hình vẽ. Số điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

A. 4

B. 3

C. 5

D. 2

Xem đáp án

Chọn C
Đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị.
Chú ý, tại các điểm mà đồ thị có dạng “nhọn” thì đó vẫn là điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Câu 23:

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R, chiều cao bằng h. Biết rằng hình trụ đó có diện tích toàn phần gấp đôi diện tích xung quanh. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $R = h$

B. $R = 2 h$

C. $h = 2 R$

D. $h = \sqrt{2} R$

Xem đáp án

Chọn A
Ta có:

S_{t p} = 2 S_{x q}

\Leftrightarrow 2 π R^{2} + 2 π R h = 2.2 π R h

\Leftrightarrow R = h

Câu 24:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

y = \frac{m x - 1}{m - 4 x}

nghịch biến trên khoảng

(- \infty; \frac{1}{4})

A. $m > 2$

B. $- 2 < m < 2$

C. $- 2 \leq m \leq 2$

D. $1 \leq m < 2$

Xem đáp án

Chọn D
Ta có

y^{'} = \frac{m^{2} - 4}{{(m - 4 x)}^{2}} .

Để hàm số

y = \frac{m x - 1}{m - 4 x}

nghịch biến trên khoảng

(- \infty; \frac{1}{4})

Khi đó ta có

y^{'} > 0 \Leftrightarrow \frac{m^{2} - 4}{{(m - 4 x)}^{2}} > 0

\Leftrightarrow \{\begin{cases} m^{2} - 4 < 0 \\ \frac{m}{4} \notin (- \infty; \frac{1}{4}) \end{cases} \Leftrightarrow m \in [1; 2)

Câu 25:

Cho tứ diện ABCD. Gọi B', C' lần lượt là trung điểm của AB, AC. Khi đó tỉ số thể tích của khối tứ diện

A B' C' D

và khối tứ diện

A B C D

bằng:

A. $\frac{1}{8}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{1}{4}$

D. $\frac{1}{6}$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có

\frac{V_{A B' C' D}}{V_{A B C D}} = \frac{A B'}{A B} . \frac{A C'}{A C} = \frac{1}{2} . \frac{1}{2} = \frac{1}{4} .

Câu 26:

. Hỏi hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

f (x)

có đạo hàm

f^{'} (x) = {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{3} (2 - x)

A. $(2; + \infty)$

B. $(1; 2)$

C. $(- \infty; - 1)$

D. $(- 1; 1)$

Xem đáp án

Chọn B

f' (x) = 0

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 1 \\ x = 2 \end{array}

BBT:

Dựa vào BBT, ta thấy hàm số đồng biến trên

(1; 2)

Câu 27:

, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình sau

y = f (x)

xác định trên

ℝ \ \{- 1\}

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m thực sao cho phương trình

f (x) = m

có đúng ba nghiệm thực phân biệt

A. $(- 4; 2)$

B. $[- 4; 2)$

C. $(- 4; 2]$

D. $(- \infty; 2]$

Xem đáp án

Chọn A
Số nghiệm phương trình

f (x) = m

là số giao điểm của hai đường

y = f (x)

và

y = m

: là đường thẳng song song với trục Ox cắt Oy tại điểm có tung độ m
Phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt khi đường thẳng

y = m

cắt đồ thị

y = f (x)

tại ba điểm phân biệt.
Dựa vào bảng biến thiên có

m \in (- 4; 2)

Câu 28:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = \frac{x^{2} + 3}{x + 1}

trên đoạn

[- 4; - 2]

là

A. $\min_{[- 4; - 2]} y = - 7$

B. $\min_{[- 4; - 2]} y = - \frac{19}{3}$

C. $\min_{[- 4; - 2]} y = - 8$

D. $\min_{[- 4; - 2]} y = - 6$

Xem đáp án

Chọn A
Ta có

y^{'} = \frac{2 x (x + 1) - (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x^{2} + 2 x - 3}{{(x + 1)}^{2}}

y^{'} = 0

\Leftrightarrow x^{2} + 2 x - 3 = 0

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 3 \end{array}

do

x \in [- 4; - 3]

nên

x = 1

bị loại.

y (- 4) = - \frac{19}{3}

;

y (- 3) = - 6

;

y (- 2) = - 7

.
Vậy

\min_{[- 4; - 2]} y = - 7

Câu 29:

Cho lăng trụ đứng

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có đáy

A B C

là tam giác vuông tại A và

A B = a, A C = a \sqrt{3}

, mặt phẳng

(A^{'} B C)

tạo với mặt phẳng đáy

(A B C)

một góc 30 độ. Tính thể tích khối lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

A. $\frac{a^{3}}{4}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

C. $\frac{a^{3}}{2}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có

S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A B . A C = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}

Gọi M là hình chiếu của A trên BC suy ra

B C ⊥ (A^{'} A M)

Mà

(A^{'} B C) \cap (A B C) = B C

,

(A^{'} B C) \cap (A^{'} A M) = A^{'} M

và

(A B C) \cap (A^{'} A M) = A M

\Rightarrow ((A^{'} B C), (A B C)) = (A^{'} M, A M) = \hat{A^{'} M A} = 30^{0}

Xét tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AM nên ta có:

\frac{1}{A M^{2}} = \frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{A C^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{3 a^{2}} = \frac{4}{3 a^{2}}

\Rightarrow A M = \frac{a \sqrt{3}}{2}

nên

A^{'} A = A M . \tan 30^{0} = \frac{a}{2}

Vậy

Câu 30:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

f (x) = x^{4} + x^{3} - m x^{2}

có 3 điểm cực trị?

A. $m \in (0; + \infty)$

B. $m \in (- \frac{9}{2}; + \infty) \ \{0\}$

C. $m \in (- \infty; 0)$

D. $m \in (- \frac{9}{32}; + \infty) \ \{0\}$

Xem đáp án

Chọn D

y^{'} = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 2 m x = x (4 x^{2} + 3 x - 2 m)

Cho

y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ 4 x^{2} + 3 x - 2 m = 0 (1) \end{array}

Do

y^{'} = f^{'} (x)

là hàm bậc ba nên hàm số

y = f (x)

có ba cực trị khi và chỉ khi phương trình

(1)

có hai nghiệm phân biệt khác 0
Ta có

\{\begin{cases} Δ_{(1)} = 3^{2} - 4.4. (- 2 m) = 9 + 32 m > 0 \\ {4.0}^{2} + 3.0 - 2 m \neq 0 \end{cases}

\Leftrightarrow \{\begin{cases} m > - \frac{9}{32} \\ m \neq 0 \end{cases}

\Leftrightarrow m \in (- \frac{9}{32}; + \infty) \ \{0\}

Câu 31:

Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi một khác nhau có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

A. 6 mặt phẳng.

B. 3 mặt phẳng.

C. 9 mặt phẳng.

D. 4 mặt phẳng.

Xem đáp án

Chọn B

Vì ABCD là hình chữ nhật có hai kích thước khác nhau nên

A B C D

có hai trục đối xứng là các đường trung trực của AB và BC
Tương tự

A D D^{'} A^{'}

có hai trục đối xứng là các đường trung trực của AD và DD'.
Từ đó suy ra hình hộp chữ nhật

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

với ba kích thước đôi một khác nhau có đúng 3 mặt phẳng đối xứng. Đó là các mặt phẳng trung trực của các cạnh AB, BC và DD'

Câu 32:

Một vật chuyển động theo quy luật

s = \frac{1}{3} t^{3} - t^{2} + 9 t,

với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?

A. 89 $(m/s)$

B. 109 $(m/s)$

C. 71 $(m/s)$

D. $\frac{25}{3}$ $(m/s)$

Xem đáp án

Chọn A
Ta có

v (t) = s' (t) = t^{2} - 2 t + 9

Ta có:

v' = 2 t - 2

\Rightarrow v^{'} = 0 \Leftrightarrow t = 1

Tính:

v (1) = 8

,

v (10) = 89

,

v (0) = 9

Vậy vận tốc lớn nhất là

89 (m/s)

Câu 33:

Cho hình chóp

S . A B C D

với đáy là hình chữ nhật có

A B = a

,

B C = a \sqrt{2}

,

S A ⊥ (A B C D)

và

S A = a \sqrt{3}

. Gọi M là trung điểm SD và

(P)

là mặt phẳng đi qua B, M sao cho

(P)

cắt mặt phẳng

(S A C)

theo một đường thẳng vuông góc với

B M

. Khoảng cách từ điểm S đến

(P)

(m ,n là tham số) nhận trục hoành và trục tung làm hai đường tiệm cận. Tính

A. $\frac{2 a \sqrt{2}}{3}$

B. $\frac{a \sqrt{2}}{9}$

C. $\frac{a \sqrt{2}}{3}$

D. $\frac{4 a \sqrt{2}}{9}$

Xem đáp án

Chọn A

Dễ thấy:

B D = A C = a \sqrt{3}

;

S B = 2 a

;

S D = a \sqrt{5}

\Rightarrow B M^{2} = \frac{2 (B D^{2} + S B^{2}) - S D^{2}}{4} = \frac{9 a^{2}}{4}

V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . S_{A B C D} . S A = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{3}

Kẻ

B H ⊥ A C

thì

B H . A C = B A . B C

\Rightarrow B H = \frac{B A . B C}{A C} = \frac{a \sqrt{2}}{\sqrt{3}}

\Rightarrow \frac{A H}{A O} = \frac{2}{3}

=> H là trọng tâm tam giác ABD
Gọi G là trọng tâm tam giác SBD thì

G H // S A

và

N P // A C

vì

B M ⊥ N P

Ta có:

\frac{S G}{S O} = \frac{2}{3}

và

\frac{S N}{S A} = \frac{S P}{S C} = \frac{2}{3}

;

N P = \frac{2}{3} A C = \frac{2 a \sqrt{3}}{3}

\frac{V_{S . B N P}}{V_{S . B A C}} = \frac{4}{9}

và

\frac{V_{S . M N P}}{V_{S . D A C}} = \frac{2}{9}

\Rightarrow V_{S . B N M P} = \frac{1}{3} V_{S . A B C D}

Mặt khác:

V_{S . B N M P} = \frac{1}{3} S_{B N M P} . d (S, (P))

\Rightarrow d (S, (P)) = \frac{3 V_{S . B N M P}}{S_{B N M P}}

Mà

S_{B N M P} = \frac{1}{2} B M . N P

\Rightarrow S_{B N M P} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}

\Rightarrow d (S, (P)) = \frac{3 V_{S . B N M P}}{S_{B N M P}}

\frac{2 a \sqrt{2}}{3}

.

Câu 34:

Biết đồ thị hàm số

y = \frac{(2 m - n) x^{2} + m x + 1}{x^{2} + m x + n - 6}

m + n

A. 6

B. -6

C. 8

D. 9

Xem đáp án

Chọn D
Ta có

\lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} \frac{(2 m - n) x^{2} + m x + 1}{x^{2} + m x + n - 6} = 2 m - n

suy ra

y = 2 m - n

là đường tiệm cận ngang
Theo giả thiết đồ thị hàm số trên nhận trục hoành và trục tung làm hai đường tiệm cận nên ta có

\{\begin{cases} 2 m - n = 0 \\ n - 6 = 0 \end{cases}

\Leftrightarrow \{\begin{cases} m = 3 \\ n = 6 \end{cases}

Suy ra

m + n = 9

Câu 35:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

y = \frac{x^{2} + 2}{\sqrt{m x^{4} + 3}}

có một đường tiệm cận ngang.

A. $m < 0$

B. $m > 3$

C. $m = 0$

D. $m > 0$

Xem đáp án

Chọn D
Ta có:

\lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2} + 2}{\sqrt{m x^{4} + 3}} = \lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2} + 2}{x^{2} \sqrt{m + \frac{3}{x^{4}}}} = \lim_{x \to + \infty} \frac{1 + \frac{2}{x^{2}}}{\sqrt{m + \frac{3}{x^{4}}}} = \frac{1}{\sqrt{m}}

\lim_{x \to - \infty} y = \lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} + 2}{\sqrt{m x^{4} + 3}} = \lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} + 2}{x^{2} \sqrt{m + \frac{3}{x^{4}}}} = \lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{2}{x^{2}}}{\sqrt{m + \frac{3}{x^{4}}}} = \frac{1}{\sqrt{m}}

Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang khi

m > 0

Câu 36:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

y = \frac{x - 1}{\sqrt{2 x^{2} - 2 x - m} - x - 1}

có đúng bốn đường tiệm cận.

A. $m \in [- 5; 4] \ \{- 4\}$

B. $m \in [- 5; 4]$

C. $m \in (- 5; 4) \ \{- 4\}$

D. $m \in (- 5; 4] \ \{- 4\}$

Xem đáp án

Chọn D
Ta có

\lim_{x \to + \infty} y = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}

và

\lim_{x \to - \infty} y = - \frac{1}{\sqrt{2} + 1}

suy ra đồ thị hàm số có đường hai tiệm cận ngang là

y = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}

và

y = - \frac{1}{\sqrt{2} + 1}

Để đồ thị có đúng bốn đường tiệm cận thì phương trình

\sqrt{2 x^{2} - 2 x - m} - x - 1 = 0

có hai nghiệm phân biệt khác 1
Ta có

\sqrt{2 x^{2} - 2 x - m} - x - 1 = 0

\Leftrightarrow \sqrt{2 x^{2} - 2 x - m} = x + 1

\{\begin{cases} x \geq - 1 \\ x^{2} - 4 x - 1 = m (1) \end{cases}

Yêu cầu bài toán tương đương phương trình

(1)

có hai nghiệm phân biệt

x \geq - 1

và

x \neq 1

Xét hàm số

y = x^{2} - 4 x - 1

với

x \geq - 1

và

x \neq 1

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên phương trình

x^{2} - 4 x - 1 = m

với

x \geq - 1

và

x \neq 1

có hai nghiệm thì

m \in (- 5; 4] \ \{- 4\}

Câu 37:

như hình vẽ. Xét hàm số

f (x)

có đạo hàm liên tục trên

ℝ

và có đồ thị của hàm

y = f^{'} (x)

g (x) = f (x^{2} - 2)

. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Hàm số

g (x)

đồng biến trên

(2; + \infty) .

B. Hàm số $g (x)$ nghịch biến trên $(0; 2) .$

C. Hàm số

g (x)

nghịch biến trên

(- 1; 0) .

D. Hàm số

g (x)

nghịch biến trên

(- \infty; - 2) .

Xem đáp án

Chọn C
Dựa vào đồ thị hàm số

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 2 \end{array}

và

f^{'} (x) > 0 \Leftrightarrow x > 2

Xét

g (x) = f (x^{2} - 2)

có tập xác định R

g' (x) = 2 x . f^{'} (t)

với

t = x^{2} - 2

g' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ t = x^{2} - 2 = - 1 \\ t = x^{2} - 2 = 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 1 \\ x = \pm 2 \end{array}

Lại có

f^{'} (t) > 0 \Leftrightarrow t = x^{2} - 2 > 2 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x > 2 \\ x < - 2 \end{array}

Do đó, ta có bảng xét dấu

g^{'} (x)

Từ bảng xét dấu ta chọn phát biểu sai là C.

Câu 38:

có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số

y = f (x)

. Biết hàm số

y = f^{'} (x)

y = f (3 - x^{2})

đồng biến trên khoảng

A. $(2; 3)$

B. $(- 2; - 1)$

C. $(- 1; 0)$

D. $(0; 1)$

Xem đáp án

Chọn C
Dựa vào đồ thị

f^{'} (x)

ta có

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 6 \\ x = - 1 \\ x = 2 \end{array}

(cả 3 nghiệm đều là nghiệm đơn)
Ta có:

y^{'} = - 2 x . f^{'} (3 - x^{2})

y^{'} = 0 \Leftrightarrow - 2 x . f^{'} (3 - x^{2}) = 0

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ 3 - x^{2} = - 6 \\ 3 - x^{2} = - 1 \\ 3 - x^{2} = 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} = 9 \\ x^{2} = 4 \\ x^{2} = 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 3 \\ x = \pm 2 \\ x = \pm 1 \end{array}

(cả 7 nghiệm đều là nghiệm đơn)
Nhận xét: Do

f^{'} (x)

mang dấu dương khi

x > 2

(ta gọi là miền ngoài cùng) nên

- 2 x . f^{'} (3 - x^{2})

có miền ngoài cũng cũng mang dấu

(-) . (-) = (+)

nên ta có bảng xét dấu

y^{'} = - 2 x . f^{'} (3 - x^{2})

như sau

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng

(- 1; 0)

Câu 39:

Tìm cực đại của hàm số

y = x \sqrt{1 - x^{2}}

A. $\frac{1}{\sqrt{2}}$

B. $\frac{- 1}{\sqrt{2}}$

C. $- \frac{1}{2}$

D. $\frac{1}{2}$

Xem đáp án

Chọn D
Tập xác định là

[- 1; 1]

Ta có

y^{'} = \sqrt{1 - x^{2}} + x \frac{- x}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \frac{1 - 2 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}

y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}

Bảng biến thiên

Ta thấy cực đại của hàm số là

\frac{1}{2}

Câu 40:

Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số

y = x^{3} - 2 x^{2} + (1 - m) x + m

có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành.

A. $- \frac{1}{4} < m \neq 0$

B. $m > 0$

C. $- \frac{1}{4} < m < 0$

D. $m < - \frac{1}{4}$

Xem đáp án

Chọn A
TXĐ:

D = ℝ

, có

y^{'} = 3 x^{2} - 4 x + (1 - m)

Hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành thì

y = 0

có ba nghiệm phân biệt.
Suy ra

x^{3} - 2 x^{2} + (1 - m) x + m = 0 \Leftrightarrow (x - 1) (x^{2} - x - m) = 0

có ba nghiệm phân biệt.
Nên

\{\begin{cases} 1 + 4 m > 0 \\ 1 - 1 - m \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow - \frac{1}{4} < m \neq 0

Câu 41:

Trên khoảng

(0; 1)

hàm số

y = x^{3} + \frac{1}{x}

đạt giá trị nhỏ nhất tại

x_{0}

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$

C. $\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

D. $\frac{1}{\sqrt{3}}$

Xem đáp án

Chọn B
Do

x \in (0; 1)

nên

x^{3} > 0

và

\frac{1}{x} > 0

Áp dụng bất đẳng thức Cau-chy cho bốn số dương

x^{3}

,

\frac{1}{3 x}

,

\frac{1}{3 x}

,

\frac{1}{3 x}

ta có

x^{3} + \frac{1}{3 x} + \frac{1}{3 x} + \frac{1}{3 x} \geq 4 \sqrt[4]{x^{3} . \frac{1}{3 x} . \frac{1}{3 x} . \frac{1}{3 x}}

\Leftrightarrow x^{3} + \frac{1}{x} \geq 4 \sqrt[4]{\frac{1}{27}}

Dấu

" =''

xảy ra khi

x^{3} = \frac{1}{3 x}

\Leftrightarrow x^{4} = \frac{1}{3}

\Leftrightarrow x = \frac{1}{\sqrt[3]{3}}

Câu 42:

x + 1 = m \sqrt{2 x^{2} + 1}

có hai nghiệm phân biệt.

A. $- \frac{\sqrt{2}}{2} < m < \frac{\sqrt{6}}{6}$

B. $m < \frac{\sqrt{2}}{2}$

C. $m > \frac{\sqrt{6}}{6}$

D. $\frac{\sqrt{2}}{2} < m < \frac{\sqrt{6}}{2}$

Xem đáp án

Chọn D
Ta có

x + 1 = m \sqrt{2 x^{2} + 1}

\Leftrightarrow m = \frac{x + 1}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}

.
Đặt

f (x) = \frac{x + 1}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}

,

f^{'} (x) = \frac{1 - 2 x}{(2 x^{2} + 1) \sqrt{2 x^{2} + 1}}

,

f^{'} (x) = 0

\Leftrightarrow x = \frac{1}{2}

\Rightarrow f (\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{6}}{2}

.
Giới hạn

\lim_{x \to + \infty} \frac{x + 1}{\sqrt{2 x^{2} + 1}} = \frac{1}{\sqrt{2}}

,

\lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1}{\sqrt{2 x^{2} + 1}} = - \frac{1}{\sqrt{2}}

.
Ta có BBT

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi

\frac{\sqrt{2}}{2} < m < \frac{\sqrt{6}}{2}

.

Câu 43:

Cho

\lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + a x + b}{x^{2} - 1} = \frac{- 1}{2} (a, b \in ℝ) .

Tổng

S = a^{2} + b^{2}

A. $S = 13.$

B. $S = 9.$

C. $S = 4.$

D. $S = 1.$

Xem đáp án

Chọn D
Vì hàm số có giới hạn hữu hạn tại

x = 1

nên biểu thức tử nhận

x = 1

làm nghiệm, hay

1 + a + b = 0

Áp dụng vào giả thiết, được

\lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + a x - 1 - a}{x^{2} - 1} = \frac{- 1}{2} \Leftrightarrow \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1) (x + 1 + a)}{(x - 1) (x + 1)} = - \frac{1}{2}

\Leftrightarrow \lim_{x \to 1} \frac{x + 1 + a}{x + 1} = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{2 + a}{2} = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow a = - 3

. Suy ra

b = 2

.
Vậy

a^{2} + b^{2} = 13

.

Câu 44:

tại M cắt hai đường tiệm cận của

y = \frac{2 x - 2}{x - 2}

có đồ thị là

(C)

, M là điểm thuộc

(C)

sao cho tiếp tuyến của

(C)

(C)

tại hai điểm A, B thỏa mãn

A B = 2 \sqrt{5}

. Gọi S là tổng các hoành độ của tất cả các điểm M thỏa mãn bài toán. Tìm giá trị của S.

A. 6

B. 5

C. 8

D. 7

Xem đáp án

Chọn C
Ta có

y^{'} = \frac{- 2}{{(x - 2)}^{2}}

. Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận là

x = 2

và

y = 2

.
Gọi

M (m; \frac{2 m - 2}{m - 2})

thuộc đồ thị hàm số.
Phương trình tiếp tuyến

d

của

(C)

tại M:

y = \frac{- 2}{{(m - 2)}^{2}} (x - m) + \frac{2 m - 2}{m - 2}

.
Đồ thị hàm số cắt hai đường tiệm cận tại các điểm

A (2; \frac{2 m}{m - 2})

và

B (2 m - 2; 2)

.

A B = 2 \sqrt{5}

\Leftrightarrow {(2 m - 4)}^{2} + \frac{16}{{(m - 2)}^{2}} = 20

\Leftrightarrow {(m - 2)}^{4} - 5 {(m - 2)}^{2} + 4 = 0

Vậy

S = 8

.

Câu 45:

Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy, tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AB=3AD. Gọi H là hình chiếu của B trên CD, M là trung điểm đoạn thẳng CH. Tính theo a thể tích khối chóp

S . A B M

biết

S A = A M = a

và

B M = \frac{2}{3} a

.

A. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{9}$

B. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{12}$

C. $\frac{a^{3}}{9}$

D. $\frac{a^{3}}{18}$

Xem đáp án

Chọn C

Trong mặt phẳng đáy

(A B C)

: Kẻ

A x // B C

và

A x \cap C D = K

, gọi N là trung điểm của BC. Khi đó do

Δ A B C

cân ở A nên

A N ⊥ B C

và tứ giác

A N B K

là hình chữ nhật.
Suy ra

C N = B N = A K

;

K B ⊥ B C

Gọi I là trung điểm của BH, do M là trung điểm đoạn thẳng CH nên

M I // B C

và

M I = \frac{1}{2} B C

(đường trung bình của tam giác

Δ B H C

. Vậy

M I // A K

,

M I ⊥ B K

và

M I = A K

hay tứ giác

A M I K

là hình bình hành và I là trực tâm của tam giác

B M K

.
Suy ra

I K ⊥ B M

và

A M // I K

nên

A M ⊥ B M

.
Vậy

Δ A M B

vuông tại M. Suy ra

S_{Δ A B M} = \frac{1}{2} A M . B M

Theo giả thiết ta có:

V_{S . A B M} = \frac{1}{3} S A . S_{Δ A B M} = \frac{1}{6} S A . A M . B M

; với

S A = A M = a

và

B M = \frac{2}{3} a

. Suy ra

V_{S . A B M} = \frac{1}{3} S A . S_{Δ A B M} = \frac{1}{6} S A . A M . B M

.

Câu 46:

. Trong trường hợp giá trị nhỏ nhất của

f (x) = x^{4} - (m + 2) x^{3} + m x + 3

f (x)

đạt giá trị lớn nhất, hãy tính

f (3)

?

A. 12

B. 27

C. 47

D. 54

Xem đáp án

Chọn D
Ta có:

f^{'} (x) = 4 x^{3} - 3 (m + 2) x^{2} + m

Với mọi giá trị của tham số m, ta luôn có:

f (1) = 1 - (m + 2) + m + 3 = 2

Khi đó

\min f (x) \leq 2

. Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 2
Mặt khác ta lại có:

\lim_{x \to \pm \infty} f (x) = + \infty

và hàm số liên tục trên R nên giá trị nhỏ nhất đạt được tại điểm cực trị của hàm số hay

f^{'} (1) = 0 \Leftrightarrow 4 - 3 (m + 2) + m = 0

\Leftrightarrow 4 - 3 m - 6 + m = 0 \Leftrightarrow m = - 1

Với

m = - 1

, ta có:

f (x) = x^{4} - x^{3} - x + 3

,

f^{'} (x) = 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1 = (x - 1) (4 x^{2} + x + 1)

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow (x - 1) (4 x^{2} + x + 1) = 0 \Leftrightarrow x = 1

\lim_{x \to \pm \infty} f (x) = + \infty

,

f (1) = 2

, suy ra:

\min f (x) = 2

thỏa mãn.
Vậy

m = - 1

ta có

f (3) = 54

.

Câu 47:

Thầy Tâm cần xây một hồ chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng

\frac{500}{3} m^{3}

. Đáy hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây hồ là

500.000

đồng

{/m}^{2}

. Khi đó, kích thước của hồ nước như thế nào để chi phí thuê nhân công mà thầy Tâm phải trả thấp nhất:

A. Chiều dài 20m, chiều rộng 15m và chiều cao

\frac{20}{3} m

.

B. Chiều dài 20m, chiều rộng 10m và chiều cao $\frac{5}{6} m$ .

C. Chiều dài 20m, chiều rộng 5m và chiều cao $\frac{10}{3} m$ .

D. Chiều dài 20m, chiều rộng 15m và chiều cao

\frac{10}{27} m

.

Xem đáp án

Chọn C

Giả sử thầy Tâm xây cái hồ dạng khối hộp chữ nhật không nắp như hình vẽ trên. Do khối hộp chữ nhật có thể tích là

\frac{500}{3} m^{3}

nên ta có

V = 2 x^{2} h = \frac{500}{3} (m^{3})

=>

h = \frac{250}{3 x^{2}}

.
Vì giá thuê nhân công để xây hồ là

500.000

đồng

{/m}^{2}

. Do xây bốn xung quanh và đáy nên
giá nhân công để xây xong cái hồ là:

T = (2 x h + 2.2 x h + 2 x^{2}) 500000 = 500000 (6 x . \frac{250}{3 x^{2}} + 2 x^{2}) \Rightarrow

T = 500000 (\frac{500}{x} + 2 x^{2})

. Ta khảo sát hàm

T = 500000 (\frac{500}{x} + 2 x^{2})

với

x > 0

:

T^{'} = 500000 (- \frac{500}{x^{2}} + 4 x) = 0 \Leftrightarrow x = 5 \Rightarrow

Chiều dài 10m, chiều rộng 5m, chiều cao

\frac{10}{3} m

.

Câu 48:

Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là

6 \sqrt{3} {cm}^{3}

. Để ít hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao nhiêu?

A. Cạnh đáy bằng

2 \sqrt{6} cm

và cạnh bên bằng

1 cm

.

B. Cạnh đáy bằng $2 \sqrt{3} cm$ và cạnh bên bằng $2 cm$ .

C. Cạnh đáy bằng $2 \sqrt{2} cm$ và cạnh bên bằng $3 cm$ .

D. Cạnh đáy bằng

4 \sqrt{3} cm

và cạnh bên bằng

\frac{1}{2} cm

.

Xem đáp án

Chọn B

Giả sử hình lăng trụ tam giác đều cần làm là

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có độ dài

A B = x

,

A A^{'} = h

.
Khi đó

S_{Δ A B C} = \frac{\sqrt{3}}{4} x^{2}

và

V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = S_{A B C} . A A^{'} = \frac{\sqrt{3}}{4} x^{2} h

.
Theo giả thiết

\frac{\sqrt{3}}{4} x^{2} h = 6 \sqrt{3} \Rightarrow h = \frac{24}{x^{2}}

.
Để ít tốn vật liệu nhất thì diện tích toàn phần của khối lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

là nhỏ nhất.
Gọi

S_{t p}

là tổng diện tích các mặt của khối lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

, ta có:

S_{t p} = 2 S_{Δ A B C} + 3 S_{A B B^{'} A^{'}} = \frac{\sqrt{3}}{2} x^{2} + 3 h x = \frac{\sqrt{3}}{2} x^{2} + \frac{72}{x}

Khảo sát

f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} x^{2} + \frac{72}{x}

trên

(0; + \infty)

, ta được

f (x)

nhỏ nhất khi

x = 2 \sqrt{3}

.
Với

x = 2 \sqrt{3} \Rightarrow h = 2 cm

.

Câu 49:

có bảng biến thiên như sau:

f (x)

Số nghiệm của phương trình

f (3 x^{4} - 6 x^{2} + 1) = 1

là

A. 9

B. 10

C. 6

D. 8

Xem đáp án

Chọn C
Dựa vào bảng biến thiên, ta có

f (x) = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = a \in (- \infty; - 2) \\ x = b \in (- 2; 1) \\ x = c \in (1; + \infty) \end{array}

Do đó

f (3 x^{4} - 6 x^{2} + 1) = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 3 x^{4} - 6 x^{2} + 1 = a (1) \\ 3 x^{4} - 6 x^{2} + 1 = b (2) \\ 3 x^{4} - 6 x^{2} + 1 = c (3) \end{array}

Xét hàm số

g (x) = 3 x^{4} - 6 x^{2} + 1

Có

g' (x) = 12 x^{3} - 12 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 0 \\ x = 1 \end{array}

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, có:
- Phương trình vô nghiệm.
- Phương trình có đúng 4 nghiệm phân biệt.
- Phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt.
Vậy phương trình đã cho có tất cả 6 nghiệm.

Câu 50:

Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn

x + y + z = 4

và

x y + y z + z x = 5

. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

(x^{3} + y^{3} + z^{3}) (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z})