50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bộ 20 đề thi giữa kì 2 Toán 12 có đáp án năm 2022-2023 (Đề 15)

Chọn C

$A B C D$ là hình thoi và $\hat{A B C} = 120 ° \Rightarrow Δ A B D$ đều.
Gọi I là trọng tâm của $Δ A B D .$
A' cách đều A,B,D nên $A' I ⊥ (A B C D) \Rightarrow (A A', (A B C D)) = \hat{A' A I} = 60 °$
Ta có: $A I = \frac{2}{3} A O = \frac{2}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{3} .$
$A' I = A I . \tan \hat{A' A I} = \frac{a \sqrt{3}}{3} . \tan 60 ° = a .$
Vậy $V = A' I . S_{A B C D} = A' I . A B . B C . \sin \hat{A B C} = a . a . a . \sin 120 ° = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

Câu 47:

Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình chữ nhật với

A B = 4,

cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy

(A B C D)

và

S C = 6.

Tính thể tích lớn nhất

V_{m a x}

của khối chóp đã cho.

A. $V_{m a x} = 24.$

B. $V_{m a x} = \frac{40}{3} .$

C. $V_{m a x} = \frac{80}{3} .$

D. $V_{m a x} = \frac{20}{3} .$

Xem đáp án

Chọn B

Đặt

B C = x (x > 0)

. Ta có:

A C^{2} = x^{2} + 16 \Rightarrow S A = \sqrt{20 - x^{2}}

Thể tích của khối chóp đã cho là:

V = \frac{4}{3} x \sqrt{20 - x^{2}} .

Xét hàm số

f (x) = \frac{4}{3} x \sqrt{20 - x^{2}}

. Ta có:

f' (x) = \frac{4}{3} (\frac{20 - 2 x^{2}}{\sqrt{20 - x^{2}}})

f' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \sqrt{10} \\ x = - \sqrt{10} \end{array}

Ta có BBT:

Vậy

V_{m a x} = f (\sqrt{10}) = \frac{40}{3} .

Câu 48:

Cho khối lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

. Gọi P là trọng tâm tam giác

A^{'} B^{'} C^{'}

và Q là trung điểm của BC. Tính tỉ số thể tích giữa hai khối tứ diện

B^{'} P A Q

và

A^{'} A B C

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{2}{3}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{3}{4}$

Xem đáp án

Chọn A

Gọi h, S,V lần lượt là chiều cao, diện tích đáy và thể của khối lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$
+ $V_{A^{'} A B C} = \frac{1}{3} . S . h = \frac{1}{3} V$
+ $V_{B^{'} P A Q} = V_{A B Q . A^{'} B^{'} H} - (V_{A . A^{'} B^{'} P} + V_{B^{'} B A Q} + V_{Q H P B^{'}})$ $= \frac{1}{2} V - (\frac{1}{3} . S_{Δ A^{'} B^{'} P} . h + \frac{1}{3} . S_{Δ B A Q} . h + \frac{1}{3} . S_{Δ H P B^{'}} . h)$
$= \frac{1}{2} V - (\frac{1}{3} . \frac{1}{3} . S . h + \frac{1}{3} . \frac{1}{2} . S . h + \frac{1}{3} . \frac{1}{6} . S . h) = \frac{1}{2} V - (\frac{1}{9} + \frac{1}{6} + \frac{1}{18}) V = \frac{1}{6} V$
Vậy $\frac{V_{B^{'} P A Q}}{V_{A^{'} A B C}} = \frac{1}{2}$

Câu 49:

Cho hình lăng trụ đứng

A B C . A_{1} B_{1} C_{1}

có

A B = a, A C = 2 a, A A_{1} = 2 a \sqrt{5}

và góc

B A C

bằng

120 ° .

Gọi

K, I

lần lượt là trung điểm các cạnh

C C_{1}, B B_{1} .

Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng

(A_{1} B K) .

A. $\frac{a \sqrt{15}}{3} .$

B. $\frac{a \sqrt{5}}{3} .$

C. $a \sqrt{15} .$

D. $\frac{a \sqrt{5}}{6} .$

Xem đáp án

Chọn D
+ Ta có:

B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2} - 2 A B . A C . \cos 120 °} = a \sqrt{7} .

Diện tích tam giác

A B C : S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A B . A C \sin 120 ° = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} .

+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của

A_{1}

lên

B_{1} C_{1} .

Lúc đó:

A_{1} H = \frac{2 S_{Δ A B C}}{B C} = \frac{a \sqrt{21}}{7}

là chiều cao tứ diện

A_{1} . B I K .

Diện tích tam giác

K I B : S_{Δ K I B} = \frac{1}{2} K I . I B = \frac{a^{2} \sqrt{35}}{2} .

Suy ra, thể tích tứ diện

A_{1} . B I K :

V_{A_{1} . B I K} = \frac{1}{3} S_{Δ B I K} . A_{1} H = \frac{a^{3} \sqrt{15}}{6} .

+ Ta lại có:

\begin{array}{l} B K = \sqrt{C K^{2} + C B^{2}} = 2 a \sqrt{3} \\ A_{1} K = \sqrt{A_{1} {C_{1}}^{2} + C_{1} K^{2}} = 3 a \\ A_{1} B = \sqrt{A_{1} A^{2} + A B^{2}} = a \sqrt{21} . \end{array}

Đặt

p = \frac{B K + A_{1} K + A_{1} I}{2},

diện tích tam giác

A_{1} K B

là

S_{Δ A_{1} K B} = \sqrt{p (p - B K) (p - A_{1} K) (p - A_{1} B)} = 3 a^{2} \sqrt{3} .

+ Gọi

h = d (I, (A_{1} B K)) .

Lúc đó, h là chiều cao khối tứ diện

I . A_{1} B K

nên

h = \frac{3 V_{A_{1} . B I K}}{S_{Δ A_{1} B K}} = \frac{\sqrt{5}}{6} .

Lưu ý: Tam giác vuông

A_{1} K B

tại K

Câu 50:

Cho hình lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có đáy

A B C

là tam giác đều cạnh a,

A A^{'} = \frac{3 a}{2}

. Biết rằng hình chiếu vuông góc của A' lên

(A B C)

là trung điểm của

B C

. Tính thể tích khối lăng trụ đó.

A. $V = a^{3} .$

B. $V = \frac{2 a^{3}}{3} .$

C. $V = \frac{3 a^{3}}{4 \sqrt{2}} .$

D. $V = a^{3} . \sqrt{\frac{3}{2}}$

Xem đáp án

Chọn C

Gọi I là trung điểm của BC . AI là đường cao của tam giác đều cạnh a nên $A I = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .
Tam giác $A A^{'} I$ vuông tại I nên: $A^{'} I = \sqrt{A {A^{'}}^{2} - A I^{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{2}$
Suy ra thể tích lăng trụ là: $V = A' I . S_{Δ A B C} = \frac{a \sqrt{6}}{2} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{3 a^{3}}{4 \sqrt{2}}$