50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bộ 20 đề thi giữa kì 2 Toán 12 có đáp án năm 2022-2023 (Đề 18)

Câu 1:

y = f (x)

có đồ thị

(C)

như hình vẽ. Hỏi

(C)

là đồ thị của hàm số nào?

A. $y = x^{3} - 1$

B. $y = x^{3} + 1$

C. $y = {(x - 1)}^{3}$

D. $y = {(x + 1)}^{3}$

Xem đáp án

1. Dạng toán: Đây là dạng toán nhận dạng hàm số khi biết đồ thị của nó.
2. Hướng giải:
B1: Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng loại B, D.
B2: Đồ thị hàm số bậc ba không có cực trị nhưng có một nghiệm bằng .
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Ta có:

y' = 3 {(x - 1)}^{2} = 0 \Rightarrow x = 1

Chọn C

Câu 2:

Cho khối chóp

S . A B C

, trên ba cạnh

S A, S B, S C

lần lượt lấy ba điểm

A^{'}, B^{'}, C^{'}

sao cho

S A^{'} = \frac{1}{2} S A, S B^{'} = \frac{1}{3} S B, S C^{'} = \frac{1}{4} S C

. Gọi

V, V^{'}

lần lượt là thể tích của các khối chóp

S . A B C

và

S . A^{'} B^{'} C^{'}

. Khi đó tỉ số

\frac{V^{'}}{V}

là

A. $\frac{1}{24}$

B. $\frac{1}{12}$

C. 12

D. 24

Xem đáp án

Chọn A
Áp dụng công thức tỉ số thể tích

\frac{V^{'}}{V} = \frac{S A^{'}}{S A} . \frac{S B^{'}}{S B} . \frac{S C^{'}}{S C} = \frac{1}{2} . \frac{1}{3} . \frac{1}{4} = \frac{1}{24}

Câu 3:

Một chất điểm chuyển động theo quy luật

s (t) = - t^{3} + 6 t^{2}

với là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động,

s (t)

là quãng đường đi được trong khoảng thời gian t. Tính thời điểm t tại đó vận tốc đạt giá trị lớn nhất.

A. $t = 1$

B. $t = 2$

C. $t = 4$

D. $t = 3$

Xem đáp án

Chọn B
Biểu thức vận tốc của chuyển động là

v (t) = s^{'} (t) = - 3 t^{2} + 12 t = - 3 (t^{2} - 4 t + 4) + 12 = - 3 {(t - 2)}^{2} + 12 \leq 12

Vận tốc đạt giá trị lớn nhất bằng 12 khi

t = 2

.

Câu 4:

Đồ thị hàm số

y = 2 x^{4} - 3 x^{2}

và đồ thị hàm số

y = - x^{2} + 2

có bao nhiêu điểm chung?

A. 4

B. 3

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Chọn D
Xét phương trình:

2 x^{4} - 3 x^{2} = - x^{2} + 2 \Leftrightarrow 2 x^{4} - 2 x^{2} - 2 = 0 \Leftrightarrow x^{2} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}

Vậy hai đồ thị có hai điểm chung.

Câu 5:

Cho hàm số

f (x)

có đạo hàm

f^{'} (x) = {(x + 1)}^{2} {(x - 2)}^{3} (2 x + 3)

. Tìm số điểm cực trị của hàm số

f (x)

.

A. 1

B. 2

C. 0

D. 3

Xem đáp án

Chọn B
Ta có

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow {(x + 1)}^{2} {(x - 2)}^{3} (2 x + 3) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 2 \\ x = - \frac{3}{2} \end{array}

Bảng biến thiên

Vậy hàm số

f (x)

có hai điểm cực trị.

Câu 6:

Cho hàm số

y = - x^{3} - 3 x^{2} + 2

có đồ thị như hình vẽ bên

Tìm tập hợp S tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình

- x^{3} - 3 x^{2} + 2 = m

có ba nghiệm thực phân biệt.

A.. $S = [- 2; 2]$

B. $S = \emptyset$

C. $S = (- 2; 2)$

D. $S = (- 2; 1)$

Xem đáp án

Chọn C

Số nghiệm của phương trình

- x^{3} - 3 x^{2} + 2 = m

là số giao điểm của đồ thị hàm số

y = - x^{3} - 3 x^{2} + 2

và

y = m

. Dựa vào đồ thị trên suy ra phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt

\Leftrightarrow - 2 < m < 2

Câu 7:

Tất cả các giá trị thực của m để hàm số

y = x^{3} - 6 x^{2} + m x + 1

đồng biến trên là:

A. $m \leq 12$

B. $m \geq 0$

C. $m \geq 12$

D. $m \leq 0$

Xem đáp án

Chọn C
Có

y^{'} = 3 x^{2} - 12 x + m

,

Δ' = 36 - 3 m

.
Hàm số đồng biến trên

(0; + \infty)

<=>

y^{'} \geq 0 \forall x \in (0; + \infty)

<=>

m \geq - 3 x^{2} + 12 x, \forall x \in (0; + \infty)

Bảng biến thiên của

g (x) = - 3 x^{2} + 12 x

trên khoảng

(0; + \infty)

:

Từ bảng biến thiên ta có

\underset{(0; + \infty)}{M a x} (- 3 x^{2} + 12 x) = 12

Hàm số đồng biến trên

(0; + \infty)

<=>

m \geq \underset{(0; + \infty)}{M a x} (- 3 x^{2} + 12 x)

<=>

m \geq 12

.

Câu 8:

Đường cong sau đây là đồ thị hàm số nào dưới đây

A. $y = - x^{4} + 2 x^{2} - 3$

B. $y = x^{4} - 2 x^{2} + 3$

C. $y = x^{3} - 3 x^{2} - 3$

D. $y = x^{4} - 2 x^{2} - 3$

Xem đáp án

Chọn D
Từ các phương án của đề bài và từ hình dạng đồ thị đã cho ta nhận thấy đó là đồ thị của hàm số

y = a x^{4} + b x^{2} + c

, với

a > 0

nên loại phương án A, C; và đồ thị giao trục tung tại điểm có tung độ -3 nên loại phương án B.

Câu 9:

Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y = x^{4} - 2 x^{3} - 3

song song với trục hoành là

A. 2

B. 0

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Chọn A
Ta có

y^{'} = 4 x^{3} - 6 x^{2}

.
Vì tiếp tuyến song song với trục hoành nên hệ số góc bằng 0. Xét phương trình

y^{'} = 0 \Leftrightarrow 4 x^{3} - 6 x^{2} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \frac{3}{2} \end{array}

Vậy có 2 tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y = x^{4} - 2 x^{3} - 3

song song với trục hoành.

Câu 10:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

y = \frac{2 x + 4}{x - m}

có tiệm cận đứng?

A. $m \neq - 2$

B. $m = - 2$

C. $m > - 2$

D. $m < - 2$

Xem đáp án

Chọn A
Tập xác định:

D = ℝ \ \{m\}

Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng

\Leftrightarrow m

không là nghiệm của phương trình

2 x + 4 = 0

\Leftrightarrow m \neq - 2

Câu 11:

Cho hàm số

y = f (x)

có bảng biến thiên sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(- 1; 4)$

B. $(3; + \infty)$

C. $(- \infty; - 1)$

D. $(- 1; 2)$

Xem đáp án

Chọn D
Dụa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng

(- 1; 2)

Câu 12:

Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình vuông, cạnh bên

S A

vuông góc với đáy và

S A = a \sqrt{3}

. Biết diện tích tam giác

S A B

là

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}

. Khoảng cách từ điểm B đến

(S A C)

là:

A. $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

B. $\frac{a \sqrt{10}}{3}$

C. $\frac{a \sqrt{10}}{5}$

D. $\frac{a \sqrt{2}}{3}$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có

S A ⊥ (A B C D)

\Rightarrow S A ⊥ A B

hay

Δ S A B

vuông tại A.

\Rightarrow S_{S A B} = \frac{1}{2} S A . A B = \frac{1}{2} a \sqrt{3} . A B = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} \Rightarrow A B = a

. Do đó

A B C D

là hình vuông cạnh a.
Gọi

O = A C \cap B D

. Ta có:

B D ⊥ S A; B D ⊥ A C \Rightarrow B D ⊥ (S A C)

\Rightarrow d (B, (S A C)) = B O = \frac{1}{2} B D = \frac{a \sqrt{2}}{2} .

Câu 13:

Cho hàm số

f (x)

có đạo hàm

f^{'} (x)

xác định, liên tục trên R và có đồ thị

f^{'} (x)

như hình vẽ bên dưới.

Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Hàm số

y = f (x)

đồng biến trên khoảng

(- 2; + \infty)

B. Hàm số $y = f (x)$ nghịch biến trên khoảng $(- 1; 1)$

C. Hàm số $y = f (x)$ đồng biến trên khoảng $(- 2; 1)$

D. Hàm số

y = f (x)

nghịch biến trên khoảng

(- \infty; - 2)

Xem đáp án

Chọn B
Từ đồ thị hàm

f' (x)

ta có:

f' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 2 \\ x = 1 \end{array}

Ta có bảng xét dấu

f' (x)

:

Từ bảng xét dấu

f' (x)

ta thấy:
Hàm số

y = f (x)

đồng biến trên khoảng

(- 2; + \infty)

và nghịch biến trên khoảng

(- \infty; - 2)

.
Đáp án B với hàm số

y = f (x)

nghịch biến trên khoảng

(- 1; 1)

là sai.
Bổ sung: Các bạn có thể quan sát nhanh đồ thị của hàm số

y = f^{'} (x)

, quan sát thấy đồ thị nằm trên trục Ox trên khoảng

(- 2; + \infty)

, và đồ thị hàm số nằm dưới trục Ox trên khoảng

(- \infty; - 2)

Câu 14:

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có tiệm cận đứng?

A. $y = \frac{1}{x^{2} + 1}$

B. $y = \frac{3}{x^{4} + 1}$

C. $y = \frac{2}{\sqrt{x}}$

D. $y = \frac{1}{x^{2} - x + 2}$

Xem đáp án

Chọn C
Các hàm số

y = \frac{1}{x^{2} + 1}

,

y = \frac{3}{x^{4} + 1}

và

y = \frac{1}{x^{2} - x + 2}

có tập xác định

D = ℝ

nên không có tiệm cận đứng.
Hàm số

y = \frac{2}{\sqrt{x}}

có tập xác định

D = (0; + \infty)

và

\lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\sqrt{x}} = + \infty

nên

x = 0

là đường tiệm cận đứng của hàm số.

Câu 15:

Tìm hệ số góc k của tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y = \frac{x}{x + 1}

tại điểm

M (- 2; 2)

A. $k = \frac{1}{9}$

B. $k = - 1$

C. $k = \sqrt{2}$

D. $k = 1$

Xem đáp án

Chọn D
Ta có

y^{'} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}

.
Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y = \frac{x}{x + 1}

tại điểm

M (- 2; 2)

là

k = y^{'} (- 2) = \frac{1}{{(- 2 + 1)}^{2}} = 1

.

Câu 16:

Lăng trụ tam giác đều có độ dài tất cả các cạnh bằng 3. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

A. $\frac{27 \sqrt{3}}{4}$

B. $\frac{9 \sqrt{3}}{8}$

C. $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$

D. $\frac{27 \sqrt{3}}{12}$

Xem đáp án

Chọn A

Lăng trụ tam giác đều là lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều.
Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là

V = S_{Δ A B C} . A A^{'} = \frac{3^{2} \sqrt{3}}{4} .3 = \frac{27 \sqrt{3}}{4}

(đvtt).

Câu 17:

Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số

y = x + \sqrt{4 - x^{2}} + m

là

3 \sqrt{2}

. Giá trị của m là:

A. $m = 2 \sqrt{2}$

B. $m = \frac{\sqrt{2}}{2}$

C. $m = - \sqrt{2}$

D. $m = \sqrt{2}$

Xem đáp án

Chọn D

y = x + \sqrt{4 - x^{2}} + m

Tập xác định

D = [- 2; 2]

y^{'} = 1 + \frac{- x}{\sqrt{4 - x^{2}}}, \forall x \in (- 2; 2)

y^{'} = 0 \Leftrightarrow 1 = \frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}} \Leftrightarrow \sqrt{4 - x^{2}} = x \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq 0 \\ 4 - x^{2} = x^{2} \end{cases} \Leftrightarrow x = \sqrt{2}

y (2) = 2 + m

y (- 2) = - 2 + m

y (\sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} + m

Giá trị lớn nhất

2 \sqrt{2} + m = 3 \sqrt{2} \Leftrightarrow m = \sqrt{2}

Câu 18:

Cho hàm số

y = f (x)

có tập xác định

D = ℝ \ \{0\}

và bảng xét dấu đạo hàm như sau

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 2

B. 1

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Chọn A
Hàm số

y = f (x)

có tập xác định

D = ℝ \ \{0\}

nên có hai cực trị tại

x = 2

và

x = - 2

.

Câu 19:

Đồ thị

(C)

của hàm số

y = \frac{x + 1}{x - 1}

và đường thẳng

d : y = 2 x - 1

cắt nhau tại 2 điểm A và B. Khi đó độ dài đoạn AB bằng?

A. $\sqrt{5}$

B. $2 \sqrt{5}$

C. $2 \sqrt{2}$

D. $2 \sqrt{3}$

Xem đáp án

Chọn B
Phương trình hoành độ giao điểm của

(C)

và d là:

\frac{x + 1}{x - 1} = 2 x - 1 \Leftrightarrow x + 1 = 2 x^{2} - 3 x + 1 \Leftrightarrow 2 x^{2} - 4 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \Rightarrow y = - 1 \\ x = 2 \Rightarrow y = 3 \end{matrix}

Suy ra

A (0; - 1); B (2; 3)

Ta được

A B = \sqrt{{(2 - 0)}^{2} + {(3 + 1)}^{2}} = 2 \sqrt{5}

Câu 20:

Thể tích của khối chóp tứ giác đều có chiều cao bằng

\frac{a \sqrt{6}}{3}

và cạnh đáy bằng

a \sqrt{3}

là:

A. $a^{3} \sqrt{6}$

B. $\frac{3 a^{3} \sqrt{2}}{4}$

C. $\frac{3 a^{3} \sqrt{2}}{2}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{3}$

Xem đáp án

Chọn D
Diện tích đáy là:

{(a \sqrt{3})}^{2} = 3 a^{2}

Thể tích khối chóp tứ giác đều:

V = \frac{1}{3} S h = \frac{1}{3} 3 a^{2} . \frac{a \sqrt{6}}{3} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{3}

Câu 21:

Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy

(A B C D)

và

S A = 3 a

. Thể tích khối chóp

S . A B C D

bằng:

A. $3 a^{3}$

B. $\frac{a^{3}}{9}$

C. $a^{3}$

D. $\frac{a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có

S A ⊥ (A B C D)

\Rightarrow S A

là đường cao của hình chóp.
Thể tích khối chóp

S . A B C D

:

V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S A . S_{A B C D}

= \frac{1}{3} .3 a . a^{2}

= a^{3}

Câu 22:

Mặt phẳng

(A^{'} B C)

chia khối lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

thành hai khối chóp:

A. $B . A^{'} B^{'} C^{'}$ và $A . B C C^{'} B^{'}$

B. $A^{'} . A B C$ và $A . B C C^{'} B^{'}$

C. $A . A^{'} B^{'} C^{'}$ và $A^{'} . B C C^{'} B^{'}$

D. $A . A^{'} B C$ và $A^{'} . B C C^{'} B^{'}$

Xem đáp án

Chọn D

Mặt phẳng

(A^{'} B C)

chia khối lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

thành hai khối chóp

A . A^{'} B C

và

A^{'} . B C C^{'} B^{'}

.

Câu 23:

Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

y = \frac{x + 1}{1 - x}

là

A. $x = - 1$

B. $x = 1$

C. $y = 0$

D. $y = - 1$

Xem đáp án

Chọn D
Tập xác định:

D = ℝ \ \{1\}

Ta có:

\lim_{x \to \pm \infty} y = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x + 1}{1 - x} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{1}{x} - 1} = - 1

Suy ra đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận ngang là:

y = - 1

Câu 24:

Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình vuông tâm O, cạnh a, SO vuông góc với mặt phẳng

(A B C D)

và

S O = a

. Khoảng cách giữa SC và AB bằng

A. $\frac{a \sqrt{5}}{5}$

B. $\frac{a \sqrt{3}}{15}$

C. $\frac{2 a \sqrt{5}}{5}$

D. $\frac{2 a \sqrt{3}}{15}$

Xem đáp án

Chọn C

Theo giả thiết ta có:

\{\begin{cases} A B // C D \\ C D \subset (S C D) \\ C D ⊄ (S C D) \end{cases} \Rightarrow A B // (S C D)

Do đó

d (A B, S C) = d (A B, (S C D)) = d (A, (S C D)) = 2 d (O, (S C D))

Gọi I là trung điểm cạnh CD, ta có:

\{\begin{cases} C D ⊥ O I \\ C D ⊥ S O \end{cases} \Rightarrow C D ⊥ (S O I)

Gọi H là hình chiếu của O trên SI, ta có:

\{\begin{cases} O H ⊥ S I \\ O H ⊥ C D \end{cases} \Rightarrow O H ⊥ (S C D)

Suy ra

d (O, (S C D)) = O H

Xét trong tam giác SOI, có:

S O = a, O I = \frac{a}{2}

\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O S^{2}} + \frac{1}{O I^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{4}{a^{2}} = \frac{5}{a^{2}} \Leftrightarrow O H = \frac{a \sqrt{5}}{5}

Vậy

d (A B, S C) = 2 O H = \frac{2 a \sqrt{5}}{5}

Câu 25:

Hình bên là đồ thị của hàm số

y = f^{'} (x)

. Hỏi hàm số

y = f (x)

đồng biến trên khoảng nào dưới đây

A. $(1; 2)$

B. $(2; + \infty)$

C. $(0; 1)$ và $(2; + \infty)$

D. $(0; 1)$

Xem đáp án

Chọn B
Từ đồ thị của hàm số

y = f^{'} (x)

ta có bảng sau:

Từ bảng xét dấu trên, ta suy ra hàm số

y = f (x)

đồng biến trên

(2; + \infty)

Câu 26:

Đồ thị hàm số

y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

có hai điểm cực trị

A (1; - 7)

và

B (2; - 8)

. Tính

y (- 1)

A. $y (- 1) = 11$

B. $y (- 1) = 7$

C. $y (- 1) = - 35$

D. $y (- 1) = - 11$

Xem đáp án

Chọn C
Ta có

y^{'} = 3 a x^{2} + 2 b x + c

Điểm

A (1; - 7)

và

B (2; - 8)

là hai điểm cực trị nên

\{\begin{cases} y (1) = - 7 \\ y (2) = - 8 \\ y^{'} (1) = 0 \\ y^{'} (2) = 0 \end{cases}

\Leftrightarrow \{\begin{cases} a + b + c + d = - 7 \\ 8 a + 4 b + 2 c + d = - 8 \\ 3 a + 2 b + c = 0 \\ 12 a + 4 b + c = 0 \end{cases}

\Leftrightarrow \{\begin{cases} a + b + c + d = - 7 \\ 7 a + 3 b + c = - 1 \\ 3 a + 2 b + c = 0 \\ 12 a + 4 b + c = 0 \end{cases}

\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 2 \\ b = - 9 \\ c = 12 \\ d = - 12 \end{cases}

Suy ra

y = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 12

. Vậy

y (- 1) = - 35

Câu 27:

Cho hàm số

y = \frac{a x + b}{x - 1}

có đồ thị cắt trục trung tại điểm

A (0; 1)

, tiếp tuyến tại A có hệ số góc bằng -3. Khi đó giá trị a,b thỏa mãn điều kiện sau:

A. $a + b = 3$

B. $a + b = 2$

C. $a + b = 1$

D. $a + b = 0$

Xem đáp án

Chọn A
TXĐ:

D = ℝ \ \{1\}

Ta có:

y^{'} = \frac{- a - b}{{(x - 1)}^{2}}

Điểm

A (0; 1)

thuộc đồ thị hàm số

y = \frac{a x + b}{x - 1}

nên

1 = \frac{b}{- 1} \Leftrightarrow b = - 1

.
Tiếp tuyến tại

A (0; 1)

có hệ số góc bằng -3 nên

y^{'} (0) = - 3 \Leftrightarrow \frac{- a + 1}{1} = - 3 \Leftrightarrow a = 4

Vậy

a + b = 3

Câu 28:

Cho hàm số

y = a x^{3} - 2 x + d (a; d \in ℝ)

có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $a < 0, d > 0$

B. $a > 0, d < 0$

C. $a > 0, d > 0$

D. $a < 0, d < 0$

Xem đáp án

Chọn B
Nhìn vào đồ thị ta thấy nhánh cuối đi lên nên

a > 0

.
Giao điểm của đồ thị với trục Oy nằm phía dưới Ox nên d<0

Câu 29:

Cho hàm số

y = f (x)

xác định và có đạo hàm cấp một và cấp hai trên khoảng

(a; b)

và

x_{0} \in (a; b)

. Khẳng định nào sau đây sai?

A.

y^{'} (x_{0}) = 0

và

{y^{'}}^{'} (x_{0}) > 0

thì

x_{0}

là điểm cực tiểu của hàm số.

B. $y^{'} (x_{0}) = 0$ và ${y^{'}}^{'} (x_{0}) \neq 0$ thì $x_{0}$ là điểm cực trị của hàm số.

C. Hàm số đạt cực đại tại $x_{0}$ thì $y^{'} (x_{0}) = 0$ .

D.

y^{'} (x_{0}) = 0

và

{y^{'}}^{'} (x_{0}) = 0

thì

x_{0}

không là điểm cực trị của hàm số.

Xem đáp án

Chọn D

Câu 30:

Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình chữ nhật với

A B = 2 a

, BC=a . Các cạnh bên của hình chóp cùng bằng

a \sqrt{2}

. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và BC.

A. $\arctan 2$

B. $60 °$

C. $30 °$

D. $45 °$

Xem đáp án

Chọn D

Do

A B // C D

nên góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng góc giữa hai đường thẳng CD và SC.
Xét tam giác

S ​ C D

ta có

C D = 2 a

,

S C = a \sqrt{2}

,

S D = a \sqrt{2}

thỏa mãn

S C^{2} + S D^{2} = C D^{2}

nên tam giác

S ​ C D

vuông tại S. Vậy góc

\hat{S C D} = 45 °

hay góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng

45 °

.

Câu 31:

Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào?

A. $y = - x^{3} + 3 x^{2} + 2$

B. $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$

C. $y = x^{3} - 3 x^{2} - 2$

D. $y = - x^{3} + 3 x^{2} - 2$

Xem đáp án

Chọn B
Từ đồ thị hàm số, ta có

\{\begin{cases} a > 0 \\ d = 2 \end{cases} \Rightarrow

chỉ có đáp án B thỏa mãn.

Câu 32:

Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số

y = \frac{3 x - 1}{x - 3}

trên

[0; 2]

.

A . $M = - \frac{1}{3}$

B. $M = \frac{1}{3}$

C. $M = 5$

D. $M = - 5$

Xem đáp án

Chọn B
Trên đoạn

[0; 2]

, ta có

y^{'} = - \frac{8}{{(x - 3)}^{2}} < 0 \forall x

Do vậy

M = \max_{[0; 2]} y = y (0) = \frac{1}{3}

Câu 33:

Cho hàm số

y = f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)

có bảng biến thiên như sau

Hàm số

y = f (3 x - 4)

nghịch biến trong khoảng nào?

A. $(0; 2)$

B. $(\frac{4}{3}; 2)$

C. $(- 4; 2)$

D. $(- \infty; 0)$

Xem đáp án

Chọn B

\begin{array}{l} y = f (3 x - 4) \Rightarrow y' = 3 f' (3 x - 4) \\ y' < 0 \Leftrightarrow f' (3 x - 4) < 0 \\ \Leftrightarrow 0 < 3 x - 4 < 2 \\ \Leftrightarrow \frac{4}{3} < x < 2 \end{array}

Vậy hàm số

y = f (3 x - 4)

nghịch biến trong khoảng

(\frac{4}{3}; 2)

.

Câu 34:

Cho hàm số

f (x)

, bảng biến thiên của hàm số

f^{'} (x)

như sau

Số điểm cực trị của hàm số

y = f (x^{2} + 2 x)

là

A. 9

B. 2

C. 3

D. 5

Xem đáp án

Chọn C
Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có phương trình

f' (x) = 0

có các nghiệm là

[\begin{array}{l} x = a, a \in (- \infty, - 1) \\ x = b, b \in (- 1; 0) \end{array}

Xét hàm số

y = f (x^{2} + 2 x) \Rightarrow y^{'} = 2 (x + 1) f^{'} (x^{2} + 2 x)

,

y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x^{2} + 2 x = a (1) \\ x^{2} + 2 x = b (2) \end{array}

Xét đồ thị hàm số

y = x {}^{2}+ 2 x

Từ đồ thị ta thấy phương trình (1) vô nghiệm, phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác -1. Vậy hàm số có 3 điểm cực trị.

Câu 35:

Cho khối lăng trụ

A B C . A' B' C'

có thể tích V. Tính thể tích khối đa diện

A B C B' C'

A. $\frac{V}{2}$

B. $\frac{V}{4}$

C. $\frac{3 V}{4}$

D. $\frac{2 V}{3}$

Xem đáp án

Chọn D

\frac{V_{A . A' B' C'}}{V_{A B C . A' B' C'}} = \frac{\frac{1}{3} d (A, (A' B' C')) . S_{Δ A' B' C'}}{d (A, (A' B' C')) . S_{Δ A' B' C'}} = \frac{1}{3}

\Rightarrow V_{A . A' B' C'} = \frac{1}{3} V

V_{A . B C C' B'} = V_{A B C . A' B' C'} - V_{A . A' B' C'} = V - \frac{1}{3} V = \frac{2}{3} V

Câu 36:

Cho hàm số

f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}

có đồ thị như hình bên dưới.

Xét các mệnh đề sau:
(I) Hàm số đồng biến trên các khoảng

(- \infty; 1)

và

(1; + \infty)

.
(II) Hàm số nghịch biến trên các khoảng

(- \infty; - 1)

và

(1; + \infty)

.
(III) Hàm số đồng biến trên tập xác định.
Số các mệnh đề đúng là:

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

Xem đáp án

Chọn C
Dựa vào đồ thị ta có hàm số đồng biến trên

(- \infty; 1)

và

(1; + \infty)

Câu 37:

Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên R?

A. $y = \tan x$

B. $y = x^{3} + 1$

C. $y = x^{4} + x^{2} + 1$

D. $y = \frac{4 x + 1}{x + 2}$

Xem đáp án

Chọn B
Cách 1: Xét hàm số

y = x^{3} + 1

ta có:
TXĐ:

D = ℝ

y^{'} = 3 x^{2} \geq 0 \forall x \in R

Vậy hàm số đồng biến trên R.
Cách 2:
Do hàm số đồng biến trên R nên loại A; D vì hai hàm số này không có tập xác định là R.
Loại C vì đây là hàm trùng phương.
Vậy chọn B.

Câu 38:

Cho hàm số

y = f (x)

có bảng biến thiên như sau

Số nghiệm thực của phương trình

3 f (x) - 5 = 0

là:

A. 2

B. 0

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Chọn D
Ta có:

3 f (x) - 5 = 0

<=>

f (x) = \frac{5}{3}

. Số ngiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số

y = f (x)

và đường thẳng

y = \frac{5}{3}

.
Dựa vào bảng biền thiên của

y = f (x)

, ta có đồ thị

y = f (x)

cắt đường thẳng

y = \frac{5}{3}

tại 3 điểm phân biệt. Vậy số nghiệm thực của phương trình

3 f (x) - 5 = 0

là 3

Câu 39:

Gọi A và B là các điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

y = x^{4} - 2 x^{2} - 1

. Tính diện tích S của tam giác OAB (O là gốc tọa độ)

A. $S = 3$

B. $S = 1$

C. $S = 2$

D. $S = 4$

Xem đáp án

Chọn C
Ta có

y = x^{4} - 2 x^{2} - 1 \Rightarrow y^{'} = 4 x^{3} - 4 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 1 \end{array}

Lại có

{y^{'}}^{'} = 12 x^{2} - 4 \Rightarrow \{\begin{cases} {y^{'}}^{'} (0) < 0 \\ {y^{'}}^{'} (\pm 1) > 0 \end{cases}

Do đó

x = 0

là điểm cực đại và

x = \pm 1

là điểm cực tiểu.
Với

x = \pm 1 \Rightarrow y = - 2 \Rightarrow A (1; - 2), B (- 1; - 2) \Rightarrow \vec{A B} = (- 2; 0) \Rightarrow A B = |- 2| = 2.

Đường thẳng

A B : y = - 2 \Rightarrow d (O; A B) = 2 \Rightarrow S_{O A B} = \frac{1}{2} A B . d (O; A B) = 2.

Câu 40:

Tìm giá trị lớn nhất của tham số m để hàm số

y = \frac{1}{3} x^{3} - m x^{2} + (8 - 2 m) x + m + 3

đồng biến trên R.

A. $m = - 4.$

B. $m = - 2$

C. $m = 4$

D. $m = 2$

Xem đáp án

Chọn D
Tập xác định

D = ℝ

Ta có

y' = x^{2} - 2 m x + 8 - 2 m

Hàm số đồng biến trên R

\Leftrightarrow y' \geq 0, \forall x \in ℝ

\Leftrightarrow x^{2} - 2 m x + 8 - 2 m \geq 0, \forall x \in ℝ \Leftrightarrow \{\begin{cases} a > 0 \\ Δ' \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 1 > 0 \\ m^{2} + 2 m - 8 \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow - 4 \leq m \leq 2

Giá trị lớn nhất của tham số m để hàm số

y = \frac{1}{3} x^{3} - m x^{2} + (8 - 2 m) x + m + 3

đồng biến trên R thì

m = 2

Câu 41:

Cho hình lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh

A A', B B', C C'

sao cho

A M = 2 M A^{'}

,

N B^{'} = 2 N B

,

P C = P C^{'}

. Gọi

V_{1}, V_{2}

lần lượt là thể tích của hai khối đa diện

A B C M N P

và

A^{'} B^{'} C^{'} M N P

. Tính tỉ số

A. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = 1$

B. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = 2$

C. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{2}$

D. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{2}{3}$

Xem đáp án

Chọn A

\frac{V_{A B C . M N P}}{V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}}} = \frac{1}{3} (\frac{A M}{A A^{'}} + \frac{B N}{B B^{'}} + \frac{C P}{C C^{'}})

= \frac{1}{3} (\frac{2}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}

. Suy ra

\frac{V_{1}}{V_{2}} = 1

Câu 42:

Cho hàm số

f (x)

, hàm số

f^{'} (x)

liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Bất phương trình

f (x) < x + m

( m là một số thực) nghiệm đúng với mọi

x \in (- 1; 0)

khi và chỉ khi:

A. $m > f (0)$

B. $m \geq f (- 1) + 1$

C. $m > f (- 1) + 1$

D. $m \geq f (0)$

Xem đáp án

Chọn B
Ta có:

f (x) < x + m \Leftrightarrow f (x) - x < m

Xét

g (x) = f (x) - x

, ta có:

g^{'} (x) = f^{'} (x) - 1

. Với mọi

x \in (- 1; 0)

thì

- 1 < f^{'} (x) < 1

.
Từ đó

g^{'} (x) = f^{'} (x) - 1 < 0

nên hàm số nghịch biến trên

(- 1; 0)

Suy ra

g (x) = f (x) - x < f (- 1) + 1

. Yêu cầu bài toán tương đương với

m \geq f (- 1) + 1

Câu 43:

Cho khối chóp

S A B C D

có đáy là hình chữ nhật

A B = a

,

A D = a \sqrt{3}

. SA vuông góc với đáy và SC tạo với

m p (S A B)

một góc

30^{0}

. Tính thể tích khối chóp đã cho.

A. $\frac{2 a^{3} \sqrt{6}}{3}$

B. $2 \sqrt{6} a^{3}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{3}$

D. $\frac{4 a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Chọn A

S_{A B C D} = a . a \sqrt{3} = a^{2} \sqrt{3}

SC tạo với

m p (S A B)

một góc

30^{^{0}}

tức

\hat{C S B} = 30^{0}

Trong tam giác

C S B

vuông tại B có

S B = \frac{C B}{\tan 30^{0}} = \frac{a \sqrt{3}}{\sqrt{3} / 3} = 3 a

Trong tam giác SAB vuông tại A có

S A = \sqrt{S B^{2} - A B^{2}} = \sqrt{{(3 a)}^{2} - a^{2}} = 2 \sqrt{2} a

Thể tích khối chóp

S A B C

là

V = \frac{1}{3} . S_{A B C D} . S A = \frac{1}{3} a^{2} \sqrt{3} .2 \sqrt{2} a = \frac{2 a^{3} \sqrt{6}}{3}

Câu 44:

Cho hình chóp

S A B C

có

A C = a

,

B C = 2 a

,

\hat{A C B} = 120^{0}

. Cạnh bên SA vuông góc

(A B C)

, đường thẳng SC tạo với mặt phẳng

(S A B)

một góc bằng

30^{0}

. Tính thể tích khối chóp

S . A B C

A. $\frac{a^{3} \sqrt{105}}{7}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{105}}{28}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{105}}{42}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{105}}{21}$

Xem đáp án

Chọn C

Kẻ

C M

vuông góc với AB. Khi dó góc tạo bởi SC và

(S A B)

chính là góc

\hat{M S C} = 30 °

S_{A B C} = \frac{1}{2} C A . C B . \sin 120^{0} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}

A B^{2} = a^{2} + {(2 a)}^{2} - 2. a .2 a . c {os120}^{0} = 7 a^{2} \Rightarrow A B = a \sqrt{7}

S_{A B C} = \frac{1}{2} A B . C M \Rightarrow C M = \frac{2 S_{A B C}}{A B} = \frac{2. \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}}{a \sqrt{7}} = \frac{a \sqrt{3}}{\sqrt{7}}

Trong tam giác

S M C

vuông tại M có

S M = \frac{M C}{\tan 30^{0}} = \frac{a \sqrt{3} / \sqrt{7}}{\sqrt{3} / 3} = \frac{3 a}{\sqrt{7}}

Trong tam giác

A M C

vuông tại M có

A M = \sqrt{A C^{2} - C M^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{3 a^{2}}{7}} = \frac{2 a}{\sqrt{7}}

Trong tam giác SAM vuông tại A có

S A = \sqrt{S M^{2} - A M^{2}} = \sqrt{\frac{9 a^{2}}{7} - \frac{4 a^{2}}{7}} = \frac{a \sqrt{5}}{\sqrt{7}}

Vậy

V_{S A B C} = \frac{1}{3} . S_{A B C} . S A = \frac{1}{3} \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} . \frac{a \sqrt{5}}{\sqrt{7}} = \frac{a^{3} \sqrt{105}}{42}

Câu 45:

Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy là hình vuông cạnh bằng 2,

S A = 2

và SA vuông góc với mặt phẳng đáy

(A B C D)

. Gọi

M, N

là hai điểm thay đổi trên hai cạnh

A B, A D

sao cho mặt phẳng

(S M C)

vuông góc với mặt phẳng

(S N C)

. Tính tổng

T = \frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A N^{2}}

khi thể tích khối chóp

S . A M C N

đạt giá trị lớn nhất.

A. $T = 2$

B. $T = \frac{2 + \sqrt{3}}{4}$

C. $T = \frac{5}{4}$

D. $T = \frac{13}{9}$

Xem đáp án

Chọn C

Gọi

E, F

lần lượt là giao điểm của BD với CM và CN. Gọi O là tâm hình vuông

A B C D

.
Theo giả thiết, ta có

B D ⊥ (S A C)

Gọi H là hình chiếu của O lên BC

\Rightarrow S C ⊥ (H E F)

Vì

(S M C) ⊥ (S N C)

nên

H E ⊥ H F

\Rightarrow Δ H E F

vuông tại H có chiều cao OH.

\Rightarrow O E . O F = O H^{2}

Trong đó:

O H = O C . \sin \hat{S C A} = O C . \frac{S A}{S C} = \frac{2}{\sqrt{6}}

\Rightarrow O E . O F = \frac{2^{2}}{6} = \frac{2}{3}

(1).
Đặt

A M = x, (x > 0)

,

A N = y, (y > 0)

.
Xét

Δ A B C

, gọi K là trung điểm của AM.

Khi đó:

O K // C M

\Rightarrow \frac{B E}{O E} = \frac{B M}{M K}

\Rightarrow \frac{O B - O E}{O E} = \frac{2 - x}{\frac{x}{2}} = \frac{2 (2 - x)}{x}

\Rightarrow \frac{O B}{O E} = \frac{4 - x}{x} \Rightarrow O E = \frac{2 x \sqrt{2}}{2 (4 - x)}

Chứng minh tương tự, ta có:

O F = \frac{2 y \sqrt{2}}{2 (4 - y)}

Từ (1) suy ra

\frac{4 x y}{2 (4 - x) (4 - y)} = \frac{2}{3}

\Leftrightarrow 3 x y = (4 - x) (4 - y) \Leftrightarrow (x + 2) (y + 2) = 12

(2)
Ta lại có:

S_{A M C N} = S_{A M C} + S_{A N C} = \frac{1}{2} A C . A M . \sin 45^{o} + \frac{1}{2} A C . A M . \sin 45^{o} = (x + y)

\Rightarrow V_{S . A M C N} = \frac{1}{3} S A . (x + y) = \frac{2}{3} (x + y)

Từ (2) suy ra

V_{S . A M C N} = \frac{2}{3} (x - 2 + \frac{12}{x + 2})

Từ (2) suy ra

y = \frac{12}{x + 2} - 2

Vì N thuộc cạnh AD nên

y \leq 2 \Rightarrow \frac{12}{x + 2} - 2 \leq 2 \Leftrightarrow x \geq 1

\Rightarrow x, y \in [1; 2]

Xét hàm số:

f (x) = \frac{2}{3} (x - 2 + \frac{12}{x + 2})

, với

x \in [1; 2]

Ta có:

f^{'} (x) = \frac{2}{3} (1 - \frac{12}{{(x + 2)}^{2}}) = \frac{2}{3} . \frac{x^{2} + 4 x - 8}{{(x + 2)}^{2}}

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x^{2} + 4 x - 8 = 0 \Leftrightarrow x = 2 (\sqrt{3} - 1)

Ta lại có:

f (1) = f (2) = 2

,

f (2 (\sqrt{3} - 1)) = \frac{8 (\sqrt{3} - 1)}{3}

.
Giá trị lớn nhất của

V_{S . A M C N} = 2

khi

x = 1, y = 2

hoặc

x = 2, y = 1

.

\Rightarrow T = \frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A N^{2}} = \frac{4}{2^{2}} + \frac{1}{2^{2}} = \frac{5}{4}

Câu 46:

Cho hàm số

y = f (x)

liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ.

Xét hàm số

g (x) = f (2 x^{3} + x - 1) + m .

Tìm m để

\max_{[0; 1]} g (x) = - 10.

A. $m = 3$

B. $m = - 12$

C. $m = - 13$

D. $m = 6$

Xem đáp án

Chọn C
Đặt

t (x) = 2 x^{3} + x - 1

với

x \in [0; 1] .

Ta có

t^{'} (x) = 6 x^{2} + 1 > 0, \forall x \in [0; 1] .

Suy ra hàm số

t (x)

đồng biến nên

x \in [0; 1] \Rightarrow t \in [- 1; 2] .

Từ đồ thị hàm số ta có

\max_{[- 1; 2]} f (t) = 3 \Rightarrow \max_{[- 1; 2]} [f (t) + m] = 3 + m .

Theo yêu cầu bài toán ta cần có:

3 + m = - 10 \Leftrightarrow m = - 13.

Câu 47:

Cho hàm số trùng phương

y = a x^{4} + b x^{2} + c

có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số

y = \frac{x^{3} - 4 x}{{(f (x))}^{2} + 2 f (x) - 3}

có tổng cộng bao nhiêu tiệm cận đứng?

A. 3

B. 5

C. 2

D. 4

Xem đáp án

Chọn B
Xét phương trình

{(f (x))}^{2} + 2 f (x) - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (x) = 1 \\ f (x) = - 3 \end{array}

Quan sát đồ thị, ta có:
+)

f (x) = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm a, (- a < - 2 < 2 < a) \end{array}

(trong đó

x = 0

là nghiệm kép và

x = \pm a

là các nghiệm đơn).
+)

f (x) = - 3 \Leftrightarrow x = \pm 2

(đều là nghiệm kép).
Xét phương trình

x^{3} - 4 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 2 \end{array}

(đều là các nghiệm đơn)
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 5 đường tiệm cận đứng.

Câu 48:

Cho hàm số

y = f (x)

liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

f (\sqrt{2 f (\cos x)}) = m

có nghiệm

x \in [\frac{π}{2}; π)

?

A. 4

B. 3

C. 2

D. 5

Xem đáp án

Chọn A
Ta có

- 1 < \cos x \leq 0, \forall x \in [\frac{π}{2}; π)

Quan sát đồ thị, suy ra

0 \leq f (\cos x) < 2 \Rightarrow 0 \leq 2 f (\cos x) < 4 \Rightarrow 0 \leq \sqrt{2 f (\cos x)} < 2

\Rightarrow - 2 \leq f (\sqrt{2 f (\cos x)}) < 2

Phương trình

f (\sqrt{2 f (\cos x)}) = m

có nghiệm

x \in [\frac{π}{2}; π)

khi và chỉ khi

- 2 \leq m < 2

Vậy có giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn là

m \in \{- 2; - 1; 0; 1\}

Câu 49:

Cho tam giác ABC có

B C = a

,

\hat{B A C} = 135^{0}

. Trên đường thẳng vuông góc với

(A B C)

tai A lấy điểm S thỏa mãn

S A = a \sqrt{2}

. Hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC lần lượt là M,N. Góc giữa hai mặt phẳng

(A B C)

và

(A M N)

là?

A. $75^{0}$

B. $30^{0}$

C. $45^{0}$

D. $60^{0}$

Xem đáp án

Chọn C

Trong mặt phẳng

(A B C)

lấy điểm D sao cho

\hat{D B A} = \hat{D C A} = 90 °

Dễ thấy

D C ⊥ (S A C) \Rightarrow D C ⊥ A N

lại có

A N ⊥ S C \Rightarrow A N ⊥ (S C D) \Rightarrow A N ⊥ S D

Tương tự

A M ⊥ S D \Rightarrow S D ⊥ (A M N)

Ta có tứ giác

A B D C

nội tiếp đường tròn đường kính AD

\Rightarrow A D = 2. R = \frac{B C}{\sin \hat{B A C}} = a \sqrt{2}

\Rightarrow Δ S A D

vuông cân tại A

\Rightarrow \hat{D S A} = 45 °

Mà

S A ⊥ (A B C)

và

S D ⊥ (A M N) \Rightarrow

góc giữa hai mặt phẳng

(A B C)

và

(A M N)

là góc giữa SA và SD và bằng 45 độ.

Câu 50:

Cho hình chóp

S . A B C

có đáy là tam giác đều cạnh bằng 1, biết khoảng cách từ A đến

(S B C)

là

\frac{\sqrt{6}}{4}

, từ B đến

(S A C)

là

\frac{\sqrt{15}}{10}

, từ C đến

(S A B)

là

\frac{\sqrt{30}}{20}

và hình chiếu vuông góc của S trên

(A B C)

nằm trong tam giác ABC. Tính thể tích của khối chóp

S . A B C

?

A. $\frac{1}{48}$

B. $\frac{1}{24}$

C. $\frac{1}{36}$

D. $\frac{1}{12}$

Xem đáp án

Chọn A

Gọi H là hình chiếu của S lên

(A B C)

.Gọi

M; N; P

lần lượt là hình chiếu của H lên

A B; A C; B C

Ta có:

V_{S A B C} = \frac{1}{6} . S P . B C . d (A; (S B C)) = \frac{1}{6} . S M . A B . d (C; (S A B)) = \frac{1}{6} . S N . A C . d (B; (S A C))

\Rightarrow S P . \frac{\sqrt{6}}{4} = S M . \frac{\sqrt{30}}{20} = S N . \frac{\sqrt{15}}{10}

Đặt

x = \frac{S P}{\sqrt{2}} = \frac{S M}{\sqrt{10}} = \frac{S N}{\sqrt{5}}

y = S H

\Rightarrow M H = \sqrt{10 x^{2} - y^{2}}; N H = \sqrt{5 x^{2} - y^{2}}; P H = \sqrt{2 x^{2} - y^{2}}

\frac{d (H; (S B C))}{d (A; (S B C))} = \frac{P H}{d (A; B C)} = \frac{2 \sqrt{2 x^{2} - y^{2}}}{\sqrt{3}} \Rightarrow d (H; (S B C)) = \frac{\sqrt{2 x^{2} - y^{2}}}{\sqrt{2}}

Trong tam giác vuông ta SHP có: .

S H . P H = S P . d (H; (S B C)) \Rightarrow y . \sqrt{2 x^{2} - y^{2}} = x \sqrt{2} . \frac{\sqrt{2 x^{2} - y^{2}}}{\sqrt{2}} \Rightarrow x = y

\Rightarrow M H = 3 x; N H = 2 x; P H = x

.Trong tam giác đều ABC ta có

M H + N H + P H = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \frac{\sqrt{3}}{12} \Rightarrow A H = \frac{\sqrt{3}}{12} \Rightarrow V_{S A B C} = \frac{1}{3} . \frac{\sqrt{3}}{12} . \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{48}