50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bộ 20 đề thi giữa kì 2 Toán 12 có đáp án năm 2022-2023 (Đề 12)

. Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn

y = |x^{2} + 2 x + a - 4|

[- 2; 1]

đạt giá trị nhỏ nhất ?

A. Một giá trị khác.

B. a=2.

C. a=3.

D. a=1.

Xem đáp án

Chọn C
+ Xét hàm số

f (x) = x^{2} + 2 x + a - 4

, ta có

f^{'} (x) = 2 x + 2, f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = - 1

.

f (- 2) = a - 4

,

f (- 1) = a - 5

,

f (1) = a - 1

.
+ Do

a - 5 < a - 4 < a - 1

nên giá trị lớn nhất của hàm số

y = |x^{2} + 2 x + a - 4|

bằng

\max \{|a - 1|; |a - 5|\}

nên có 3 trường hợp xảy .
TH1: Nếu

|a - 1| > |a - 5| \Leftrightarrow {(a - 1)}^{2} > {(a - 5)}^{2} \Leftrightarrow 8 a > 24 \Leftrightarrow a > 3

thì

\max_{[- 2; 1]} y = y (1) = |a - 1| > 2

TH2: Nếu

|a - 1| < |a - 5| \Leftrightarrow {(a - 1)}^{2} < {(a - 5)}^{2} \Leftrightarrow 8 a < 24 \Leftrightarrow a < 3

thì

\max_{[- 2; 1]} y = y (- 1) = |a - 5| > 2

TH3: Nếu

|a - 1| = |a - 5| \Leftrightarrow {(a - 1)}^{2} = {(a - 5)}^{2} \Leftrightarrow 8 a = 24 \Leftrightarrow a = 3

thì

\max_{[- 2; 1]} y = y (- 1) = y (1) = 2

Để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn

[- 2; 1]

đạt giá trị nhỏ nhất khi

a = 3

.

Câu 7:

Cho hình lăng trụ đứng có diện tích đáy là

\sqrt{3} a^{2}

. Độ dài cạnh bên là

a \sqrt{2}

. Khi đó thể tích của khối lăng trụ là:

A. $\frac{\sqrt{6} a^{3}}{3}$

B. $\sqrt{3} a^{3}$

C. $\sqrt{6} a^{3}$

D. $\sqrt{2} a^{3}$

Xem đáp án

Chọn C
Thể tích khối lăng trụ là:

V = \sqrt{3} a^{2} . a \sqrt{2} = \sqrt{6} a^{3}

Câu 8:

Số giao điểm của đường cong

y = x^{3} - 2 x^{2} + x - 1

và đường thẳng

y = 1 - 2 x

bằng

A. 2

B. 3

C. 0

D. 1

Xem đáp án

Chọn D
Phương trình hoành độ giao điểm:

x^{3} - 2 x^{2} + x - 1 = 1 - 2 x \Leftrightarrow x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1

Phương trình có nghiệm nên số giao điểm của đường cong và đường thẳng là 1.

Câu 9:

đồng biến trên khoảng nào sau đây ?

y = \sqrt{8 + 2 x - x^{2}}

A. $(1; + \infty)$

B. $(- 2; 1)$

C. $(- \infty; 1)$

D. $(1; 4)$

Xem đáp án

Chọn B
Tập xác định

D = [- 2; 4]

.
Ta có

y^{'} = \frac{- x + 1}{\sqrt{8 + 2 x - x^{2}}}

.
Cho

y^{'} = 0 \Leftrightarrow \frac{- x + 1}{\sqrt{8 + 2 x - x^{2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 1

(y = 3)

.
Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số trên đồng biến trên khoảng

(- 2; 1)

.

Câu 10:

Các đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số

y = \frac{2 x + 1}{x - 1}

là:

A. $x = 1, y = 2$

B. $x = 2, y = 1$

C. $x = 1, y = - 2$

D. $x = - 1, y = - 2$

Xem đáp án

Chọn A
Tập xác định

D = ℝ \ \{1\}

\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 x + 1}{x - 1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x (2 + \frac{1}{x})}{x (1 - \frac{1}{x})} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = 2

Suy ra

y = 2

là tiệm cận ngang.

\lim_{x \to 1^{+}} \frac{2 x + 1}{x - 1} = + \infty

vì

\lim_{x \to 1^{+}} (2 x + 1) = 3 > 0

;

\lim_{x \to 1^{+}} (x - 1) = 0

và

x - 1 > 0

khi

x \to 1^{+}

.

\lim_{x \to 1^{-}} \frac{2 x + 1}{x - 1} = - \infty

vì

\lim_{x \to 1^{-}} (2 x + 1) = 3 > 0

;

\lim_{x \to 1^{-}} (x - 1) = 0

và

x - 1 < 0

khi

x \to 1^{-}

.
Suy ra

x = 1

là tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là

x = 1

và tiệm cận ngang là

y = 2

.

Câu 11:

Cho hình chóp

S . A B C

có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên SB vuông góc với mặt phẳng

(A B C)

. Tính thể tích khối chóp

S B = 2 a

S . A B C

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

C. $\frac{a^{2}}{4}$

D. $\frac{3 a^{3}}{4}$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có

Δ A B C

đều cạnh a, nên

S_{A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}

Đường cao

h = S B = 2 a

.
Vậy

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} . S B . S_{A B C} = \frac{1}{3} .2 a . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}

.

Câu 12:

có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.

y = - x^{3} + 3 x - 2

A. $y = 2 x + 1.$

B. $y = - 2 x + 1.$

C. $y = - 3 x - 2.$

D. $y = 3 x - 2.$

Xem đáp án

Chọn D
Giao điểm của (C) với trục tung là

(0; - 2)

.
Ta có

y^{'} = - 3 x^{2} + 3, y^{'} (0) = 3.

Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung là

y = 3 x - 2.

Câu 13:

Cho khối chóp

S . A B C,

gọi là trọng tâm tam giác ABC. Tỉ số thể tích

\frac{V_{S . A B C}}{V_{S . A G C}}

bằng

A. $\frac{1}{3} .$

B. $\frac{2}{3} .$

C. 3

D. $\frac{3}{2} .$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có:

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} . S_{A B C} . d (S, (A B C))

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên

d (G, A C) = \frac{1}{3} d (B, A C)

.

\Rightarrow S_{A G C} = \frac{1}{2} A C . d (G, A C) = \frac{1}{3} . \frac{1}{2} A C . d (B, A C) = \frac{1}{3} S_{A B C} .

Do đó

V_{S . A G C} = \frac{1}{3} S_{A G C} . d (S, (A B C)) = \frac{1}{3} . [\frac{1}{3} S_{A B C} . d (S, (A B C))] = \frac{1}{3} V_{S . A B C} .

Vậy:

\frac{V_{S . A B C}}{V_{S . A G C}} = 3

.

Câu 14:

Cho hình lăng trụ đứng có diện tích đáy là

3 a^{2},

độ dài cạnh bên bằng 2a. Thể tích khối lăng trụ này bằng

A. $2 a^{3} .$

B. $3 a^{3} .$

C. $6 a^{3} .$

D. $a^{3} .$

Xem đáp án

Chọn C
Theo giả thiết ta có diện tích đáy của lăng trụ là

B = 3 a^{2}

, chiều cao của lăng trụ (bằng độ dài cạnh bên) là

h = 2 a

nên thể tích khối lăng trụ là:

V = B . h = 3 a^{2} .2 a = 6 a^{3}

Câu 15:

xác định, liên tục, có bảng biến thiên sau. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

y = f (x)

A. Hàm số có đúng một điểm cực trị.

B. Hàm số đạt cực đại tại x=0 và đạt cực tiểu tại x=-1.

C. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng và giá trị lớn nhất bằng 1.

D. Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1).

Xem đáp án

Chọn D
Quan sát bảng biến thiên của hàm số

y = f (x)

ta thấy hàm số

y = f (x)

đồng biến trên khoảng

(0; 1)

.

Câu 16:

Cho tứ diện MNPQ. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của

M N; M P; M Q

. Tỉ số thể tích

\frac{V_{M I J K}}{V_{M N P Q}}

bằng:

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{1}{4}$

C. $\frac{1}{6}$

D. $\frac{1}{8}$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có

\frac{V_{M I J K}}{V_{M N P Q}} = \frac{M I}{M N} . \frac{M J}{M P} . \frac{M K}{M Q} = \frac{1}{2} . \frac{1}{2} . \frac{1}{2} = \frac{1}{8}

.

Câu 17:

Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}

Số tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

[3; 5]

. Khi đó M-m bằng

A. $\frac{7}{2}$

B. $\frac{3}{8}$

C. $\frac{1}{2}$

D. 2

Xem đáp án

Chọn C
Xét trên

[3; 5]

hàm số liên tục.
Ta có

y^{'} = \frac{- 2}{{(x - 1)}^{2}} < 0, \forall x \in [3; 5]

nên hàm số luôn nghịch biến trên

[3; 5]

.
Khi đó

f (3) = 2

và

f (5) = \frac{3}{2}

suy ra

M = 2

và

m = \frac{3}{2}

.
Vậy

M - m = \frac{1}{2}

.

Câu 18:

y = 2 x - 1 + \sqrt{4 x^{2} - 4}

A. 0

B. 3

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Chọn D
Tập xác định

D = (- \infty; - 1] \cup [1; + \infty)

Ta có

\lim_{x \to - \infty} y = \lim_{x \to - \infty} (2 x - 1 + \sqrt{4 x^{2} - 4}) = \lim_{x \to - \infty} \frac{{(2 x - 1)}^{2} - (4 x^{2} - 4)}{2 x - 1 - \sqrt{4 x^{2} - 4}}

= \lim_{x \to - \infty} \frac{- 4 x + 3}{2 x - 1 - \sqrt{4 x^{2} - 4}} = \lim_{x \to - \infty} \frac{- 4 + \frac{3}{x}}{2 - \frac{1}{x} + \sqrt{4 - \frac{4}{x^{2}}}} = - 1

và

\lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} (2 x - 1 + \sqrt{4 x^{2} - 4}) = \lim_{x \to + \infty} x (2 - \frac{1}{x} + \sqrt{4 - \frac{4}{x^{2}}}) = + \infty

Vậy

y = - 1

là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Câu 19:

có đạo hàm liên tục trên K và có đồ thị là đường cong

y = f (x)

(C)

. Viết phương trình tiếp tuyến của

(C)

tại điểm

M (a; f (a))

a \in K

Cho khối chóp S.ABC có thể tích V. Các điểm A', B', C' tương ứng là trung điểm các cạnh SA, SB, SC. Thể tích khối chóp S.A'B'C' bằng

A. $y = f^{'} (a) (x + a) + f (a)$

B. $y = f (a) (x - a) + f^{'} (a)$

C. $y = f^{'} (a) (x - a) - f (a)$

D. $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$

Xem đáp án

Chọn D
Ta có:

M (a; f (a)) \in (C)

Vậy phương trình tiếp tuyến của đường cong

(C)

tại điểm

M (a; f (a))

có dạng:

y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)

Câu 20:

A. $\frac{V}{8}$

B. $\frac{V}{2}$

C. $\frac{V}{4}$

D. $\frac{V}{16}$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có:

\frac{V_{S . A' B' C'}}{V_{S . A B C}} = \frac{S A'}{S A} . \frac{S B'}{S B} . \frac{S C'}{S C}

.
Mà các điểm A', B', C' tương ứng là trung điểm các cạnh SA, SB, SC.
Nên

\frac{S A'}{S A} = \frac{1}{2}

,

\frac{S B'}{S B} = \frac{1}{2}

,

\frac{S C'}{S C} = \frac{1}{2}

.
Suy ra:

\frac{V_{S . A' B' C'}}{V_{S . A B C}} = \frac{1}{2} . \frac{1}{2} . \frac{1}{2} = \frac{1}{8}

.
Hay

V_{S . A' B' C'} = \frac{V}{8}

.
Vậy: thể tích khối chóp

S . A' B' C'

bằng

\frac{V}{8}

Nhận xét: nếu hai khối chóp

S . A' B' C'

và

S . A B C

theo thứ tự đồng dạng với tỉ số bằng k, với k>0 thì

\frac{V_{S . A' B' C'}}{V_{S . A B C}} = k^{3}

.

Câu 21:

có bảng biến thiên như sau:

y = f (x)

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

f (x) = m

có ba nghiệm phân biệt.

A. $- 2 \leq m \leq 4$

B. $- 2 < m < 4$

C. $m < - 2$

D. $m > 4$

Xem đáp án

Chọn B
Số nghiệm của phương trình

f (x) = m

là số giao điểm của đồ thị hàm số

y = f (x)

và đường thẳng

y = m

.
Dựa vào bảng biến thiên ta có: Phương trình

f (x) = m

có ba nghiệm phân biệt

\Leftrightarrow - 2 < m < 4

Câu 22:

có bảng biến thiên như sau:

y = f (x)

Số nghiệm của phương trình

f (2 - x) - 1 = 0

là:

A. 2

B. 3

C. 1

D. 0

Xem đáp án

Chọn B
Ứng với một giá trị của

2 - x

sẽ có một giá trị nên số nghiệm của phương trình

f (2 - x) - 1 = 0

cũng là số nghiệm của phương trình

f (x) - 1 = 0

.
Số nghiệm của phương trình

f (x) - 1 = 0

là số giao điểm của đồ thị hàm số

y = f (x)

và đường thẳng

y = 1

.
Dựa vào bảng biến thiên ta có: Phương trình

f (x) - 1 = 0

có ba nghiệm phân biệt, vậy phương trình

f (2 - x) - 1 = 0

có ba nghiệm phân biệt.

Câu 23:

có bảng biến thiên như sau:

y = f (x)

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(- 1; 1)

.

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- 1; + \infty)$ .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng

(- \infty; 1)

.

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(- 1; 3)

.

Xem đáp án

Chọn A
Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số

y = f (x)

đồng biến trên từng khoảng

(- \infty; - 1)

,

(1; + \infty)

và nghịch biến trên khoảng

(- 1; 1)

.

Câu 24:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

y = x^{4} - 2 x^{2} - 15

[- 3; 2]

trên SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A' ,B' ,C' sao cho

A. $\max_{[- 3; 2]} y = 54$

B. $\max_{[- 3; 2]} y = 48$

C. $\max_{[- 3; 2]} y = 16$

D. $\max_{[- 3; 2]} y = 7$

Xem đáp án

Chọn B
Hàm số đã cho đã xác định và liên tục trên đoạn

[- 3; 2]

.
Ta có

y' = 4 x^{3} - 4 x

;

\{\begin{cases} x \in (- 3; 2) \\ y^{'} = 0 \end{cases}

\Leftrightarrow \{\begin{cases} x \in (- 3; 2) \\ 4 x^{3} - 4 x = 0 \end{cases}

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 1 \end{array}

Tính

y (- 3) = 48

,

y (2) = - 7

,

y (0) = - 15

,

y (1) = - 16

,

y (- 1) = - 16

.
Vậy

\max_{[- 3; 2]} y = 48

.

Câu 25:

Cho khối chóp

S . A B C

S A^{'} = \frac{1}{3} S A

S B^{'} = \frac{1}{3} S B

. Gọi V và V' lần lượt là thể tích khối chóp

S C^{'} = \frac{1}{3} S C

S . A B C

và

S . A^{'} B^{'} C^{'}

. Khi đó tỷ số

\frac{V^{'}}{V}

A. $\frac{1}{27}$

B. $\frac{1}{9}$

C. $\frac{1}{6}$

D. $\frac{1}{3}$

Xem đáp án

Chọn A
Ta có

\frac{V_{S . A^{'} B^{'} C^{'}}}{V_{S . A B C}} = \frac{S A^{'}}{S A} \cdot \frac{S B^{'}}{S B} \cdot \frac{S C^{'}}{S C} = \frac{1}{3} . \frac{1}{3} . \frac{1}{3} = \frac{1}{27} \Rightarrow \frac{V^{'}}{V} = \frac{1}{27}

.

Câu 26:

và có đồ thị là đường cong như hình vẽ.

y = f (x)

liên tục trên đoạn

[- 2; 2]

đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây?

f (x)

A. $x = 2$

B. $x = 1$

C. $x = - 2$

D. $x = - 1$

Xem đáp án

Từ đồ thị ta thấy hàm số

f (x)

đạt cực tiểu tại điểm

x = - 1

.

Chọn D

Câu 27:

đồng biến trên khoảng nào trong những khoảng sau?

y = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 1

A. $(0; 4) .$

B. $(- 2; 2) .$

C. $(4; 5) .$

D. $(- 1; 3) .$

Xem đáp án

Chọn C
Ta có

y^{'} = 3 x^{2} - 6 x - 9

. Hàm số đồng biến

\Leftrightarrow y^{'} \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x \leq - 1 \\ x \geq 3 \end{array}

.

Câu 28:

Cho khối tứ diện ABCD có thể tích 2019. Gọi M, N,P ,Q lần lượt là trọng tâm của các tam giác

A B C, A B D, A C D, B C D

. Tính theo thể tích V của khối tứ diện MNPQ

A. $\frac{2019}{9} .$

B. $\frac{8068}{27} .$

C. $\frac{673}{9} .$

D. $\frac{4031}{81} .$

Xem đáp án

Chọn C

+ Gọi

M^{'} = D M \cap (N P Q)

,

h = d (D, (A B C)), h_{1} = d (M, (N P Q))

.
+

(N Q P) / / (A B C) \Rightarrow

\frac{h_{1}}{h} = \frac{M M^{'}}{M D} = \frac{F N}{F D} = \frac{1}{3} \Rightarrow h_{1} = \frac{1}{3} h

.
+

\frac{N Q}{E F} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{N Q}{A C} = \frac{1}{3}

, tương tự ta có

\frac{N P}{B C} = \frac{P Q}{A B} = \frac{1}{3}

nên

Δ N P Q

và

Δ A B C

đồng dạng theo tỉ số

k = \frac{1}{3}

\Rightarrow S_{Δ N P Q} = \frac{1}{9} S_{Δ A B C}

.
+ Vậy

V_{M N P Q} = \frac{1}{3} h_{1} . S_{Δ N P Q} = \frac{1}{3} . \frac{1}{3} . h . \frac{1}{9} S_{Δ A B C} = \frac{1}{27} V_{A B C D} = \frac{673}{9}

Câu 29:

có đạo hàm liên tục trên và hàm số có đồ thị như hình vẽ sau:

y = f (x)

Số điểm cực trị của hàm số

y = f (x - 2017) - 2018 x + 2019

là:.

A. 4

B. 2

C. 3

D. 1

Xem đáp án

Chọn D
Đặt

g (x) = f (x - 2017) - 2018 x + 2019

Ta có:

g' (x) = f' (x - 2017) - 2018

Đồ thị hàm số

y = f' (x - 2017)

là phép tịnh tiến đồ thị hàm số

y = f' (x)

theo phương trục hoành sang phải

2017

đơn vị.
Đồ thị hàm số

y = f' (x - 2017)

cắt đường thẳng

y = 2018

tại duy nhất một điểm có hoành độ

x_{0} > 1

và giá trị hàm số

g' (x)

đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm

x_{0}

nên hàm số đạt cực tiểu tại

x_{0}

Câu 30:

Số giao điểm của đồ thị hàm số

y = f (x)

và

y = g (x)

bằng số nghiệm của phương trình.

A. $g (x) = 0.$

B. $f (x) = 0.$

C. $f (x) - g (x) = 0.$

D. $f (x) + g (x) = 0.$

Xem đáp án

Chọn C

Câu 31:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = 2 x^{3} - 3 x^{2} + m

[0; 5]

bằng 5 khi là:

A. 7

B. 10

C. 6

D. 5

Xem đáp án

Chọn C

y^{'} = 6 x^{2} - 6 x

;

y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \end{array}

.
Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có

\min_{[0; 5]} y = m - 1

.
Theo giả thiết,

m - 1 = 5 \Leftrightarrow m = 6

.

Câu 32:

nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

y = x^{3} - 3 x + 1

A. $(1; + \infty)$

B. $(- \infty; 1)$

C. $(- 1; 1)$

D. $(- 2; 2)$

Xem đáp án

Chọn C
Tập xác định

D = ℝ

y^{'} = 3 x^{2} - 3

,

y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 1 \end{array}

.
Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến

(- 1; 1)

.

Câu 33:

Cho x, y là các số thực dương. Xét các hình chóp

S A = x

, các cạnh còn lại đều bằng 1. Khi

B C = y

x, y

thay đổi, thể tích khối chóp

S . A B C

có giá trị lớn nhất là

A. $\frac{2 \sqrt{3}}{27}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{8}$

C. $\frac{\sqrt{2}}{12}$

D. $\frac{1}{8}$

Xem đáp án

Chọn A

Do

S B = S C = A B = A C = 1

nên các tam giác

S B C

và

A B C

là tam giác cân.
Gọi M là trung điểm BC, khi đó ta có

\{\begin{cases} B C ⊥ S M \\ B C ⊥ A M \end{cases}

\Rightarrow B C ⊥ (S A M)

.

\Rightarrow (A B C) ⊥ (S A M)

Kẻ

S H ⊥ A M

, khi đó

S H ⊥ (A B C)

.
Ta có

A M = \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{4}}

\Rightarrow S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} \cdot A M \cdot B C = \frac{1}{2} \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{4}} \cdot y

Gọi N là trung điểm SA. Tam giác SMA cân tại M nên MN là đường cao và

M N = \sqrt{A M^{2} - A N^{2}} = \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{4}}

.
Ta có

M N . S A = A H . A M

nên

A H = \frac{M N . S A}{A M}

= \frac{x \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}}}{\sqrt{4 - y^{2}}}

.
Vậy

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} \cdot S H \cdot S_{Δ A B C} = \frac{1}{3} \cdot \frac{x \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}}}{4 - y^{2}} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{4}} \cdot y

.
Dấu “=” xảy ra khi

x = y = \frac{2}{\sqrt{3}}

Câu 34:

Đồ thị của hàm số nào sau đây có tiệm cận ngang?

A. $y = x^{2} + x + 1$

B. $y = \frac{x^{2} - x + 1}{x}$

C. $y = x + \sqrt{1 - x^{2}}$

D. $y = x + \sqrt{x^{2} + 1}$

Xem đáp án

Chọn D
Hàm số

y = x^{2} + x + 1

có đồ thị dạng parabol nên không có đường tiệm cận ngang.

\lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2} - x + 1}{x} = \lim_{x \to + \infty} \frac{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x}} = + \infty

và

\lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} - x + 1}{x} = \lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x}} = - \infty

nên đồ thị hàm số

y = \frac{x^{2} - x + 1}{x}

không có đường tiệm cận ngang.
Hàm số .. có tập xác định

D = [- 1; 1]

nên đồ thị hàm số này cũng không có đường tiệm cận ngang.
Xét hàm số

y = x + \sqrt{x^{2} + 1}

, ta có

\lim_{x \to + \infty} (x + \sqrt{x^{2} + 1}) = + \infty

và

\lim_{x \to - \infty} (x + \sqrt{x^{2} + 1}) = \lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1} - x} = 0

nên suy ra đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là

y = 0

Câu 35:

, có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

y = f (x)

A. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 2.

B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng -2.

C. Hàm số có ba cực trị.

D. Hàm số đạt cực đại tại x= 0 và cực tiểu tại x=2.

Xem đáp án

Chọn D
Giá trị cực tiểu của hàm số bằng -2. Loại A.
Hàm số có hai cực trị. Loại C

\lim_{x \to + \infty} y = + \infty

,

\lim_{x \to - \infty} y = - \infty

nên GTLN và GTNN của hàm số khác 2 và -2 . Loại B

Câu 36:

Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình chữ nhật,

A B = a, B C = 2 a, S A = 2 a,

S A

vuông góc mặt phẳng

(A B C D)

. Tính thể tích khối chóp

S . A B C D

theo a.

A. $4 a^{3}$

B. $\frac{4 a^{3}}{3}$

C. $\frac{8 a^{3}}{3}$

D. $\frac{6 a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Chọn B
.

V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S A . S_{A B C D} = \frac{1}{3} .2 a . a .2 a = \frac{4 a^{3}}{3}

Câu 37:

Giá trị lớn nhất của hàm số

y = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 2

có giá trị là một số thuộc khoảng nào dưới đây?

[- 1; 2]

A. $(- 7; 8)$

B. $(3; 8)$

C. $(2; 14)$

D. $(12; 20)$

Xem đáp án

Chọn D

y^{'} = 6 x^{2} + 6 x - 12.

. Xét

y^{'} = 0

\Leftrightarrow 6 x^{2} + 6 x - 12 = 0

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \in [- 1; 2] \\ x = - 2 \notin [- 1; 2] \end{array} .

Ta có

y (- 1) = 15,

y (2) = 6,

y (1) = - 5.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng 15 khi x=-1

Câu 38:

Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ sau. Phát biểu nào đúng?

A. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 2.

B. Hàm số đạt cực tiểu tại x=1 và đạt cực đại tại x=5.

C. Hàm số đạt cực đại tại x=0 và đạt cực tiểu tại x=2.

D. Giá trị cực đại của hàm số là 0.

Xem đáp án

Chọn C
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có giá trị cực đại bằng 5 tại x=0 và có giá trị cực tiểu bằng 1 tại x=2 Từ các đáp án A, B, C, D ta chọn C.

Câu 39:

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

y = \frac{5}{x - 1}

là đường thẳng có phương trình ?

A. $x = 1$

B. $y = 0$

C. $x = 0$

D. $y = 5$

Xem đáp án

Chọn B
Ta có

\lim_{x \to \pm \infty} \frac{5}{x - 1} = 0

nên tiệm cận ngang là đường thẳng y = 0 .

Câu 40:

có đồ thị như hình vẽ . Hàm số

y = f (x)

y = f (x)

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(2; + \infty)$

B. $(0; 2)$

C. $(- 2; 2)$

D. $(- \infty; 0)$

Xem đáp án

Chọn B
Dựa vào đồ thị ta thấy trên khoảng

(0; 2)

đồ thị là một đường đi lên theo chiều từ trái sang phải nên hàm số đồng biến trên khoảng

(0; 2)

.

Câu 41:

Cho khối tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và

O A = a; O B = b; O C = c

. Thể tích khối tứ diện OABC được tính theo công thức nào dưới đây

A. $V = 3 a . b . c$

B. $V = \frac{1}{6} a . b . c$

C. $V = \frac{1}{3} a . b . c$

D. $V = \frac{1}{2} a . b . c$

Xem đáp án

Chọn B
Vì

O A, O B, O C

đôi một vuông góc với nhau nên:

O A ⊥ (O B C)

và

Δ O B C

vuông tại O.
Vậy thể tích khối tứ diện:

V = \frac{1}{3} . O A . \frac{1}{2} . O B . O C = \frac{1}{6} a . b . c

Câu 42:

Cho khối lập phương

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

có thể tích

V = 1

. Tính thể tích

V_{1}

của khối lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

Tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

A. $V_{1} = \frac{1}{6}$

B. $V_{1} = \frac{1}{2}$

C. $V_{1} = \frac{1}{3}$

D. $V_{1} = \frac{2}{3}$

Xem đáp án

Chọn B

Ta thấy

S_{A B C} = \frac{1}{2} S_{A B C D}

.
Nên thể tích khối lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

:

V_{1} = A A^{'} . S_{A B C} = A A^{'} . \frac{1}{2} S_{A B C D} = \frac{1}{2} V = \frac{1}{2}

.

Câu 43:

y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 5

A. có hệ số góc dương.

B. song song với đường thẳng x=1.

C. có hệ số góc bằng -1.

D. song song với trục hoành.

Xem đáp án

Chọn D
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho là k=0.
Do đó, tiếp tuyến đó song song với trục hoành.

Câu 44:

Giá trị cực tiểu của hàm số

y = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 2

Đồ thị hàm số nào sau đây có 3 đường tiệm cận?

A. -25

B. 3

C. 7

D. -20

Xem đáp án

Chọn A
Ta có:

y^{'} = 3 x^{2} - 6 x - 9

y^{'} = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 6 x - 9 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 3 \end{array}

Vì hệ số

a = 1 > 0

nên hàm số đạt cực tiểu tại

x_{C T} = 3

và giá trị cực tiểu

y_{C T} = - 25

.

Câu 45:

A. $y = \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 4 x + 8}}$

B. $y = \frac{x + 2}{x - 1}$

C. $y = \frac{x + 1}{x^{2} - 9}$

D. $y = \frac{x + 2}{x^{2} + 3 x + 6}$

Xem đáp án

Chọn C
Xét đáp án A có

y = \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 4 x + 8}}

,

\forall x \in ℝ

, có tiệm cận ngang là đường thẳng

y = - 1

,

y = 1

không có tiệm cận đứng nên loại.
Xét đáp án B có

y = \frac{x + 2}{x - 1}

,

\forall x \in ℝ \ \{1\}

, có tiệm cận ngang là đường thẳng

y = 1

và có tiệm cận đứng là đường thẳng

x = 1

nên loại.

Xét đáp án C có

y = \frac{x + 1}{x^{2} - 9}

,

\forall x \in ℝ \ \{- 3; 3\}

có tiệm cận ngang là đường thẳng

y = 0

và có tiệm cận đứng là đường thẳng

x = - 3

,

x = 3

nên chọn.
Xét đáp án C có

y = \frac{x + 2}{x^{2} + 3 x + 6}

,

\forall x \in ℝ

, có tiệm cận ngang là đường thẳng

y = 0

và không có tiệm cận đứng nên loại.

Câu 46:

có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình

y = f (x)

f (x) + 1 = 0

là:

A. 1

B. 3

C. 2

D. 4

Xem đáp án

Chọn B
Số nghiệm của phương trình

f (x) + 1 = 0

bằng số giao điểm của đồ thị hàm số

y = f (x)

và đường thẳng

y = - 1

.
Dựa đồ thị ta có phương trình

f (x) + 1 = 0

có 3 nghiệm.

Câu 47:

Cho hình chóp tam giác

S . A B C

với

S A, S B, S C

đôi một vuông góc và

S A = S B = S C = a

. Tính thể tích khối chóp

S . A B C

A. $\frac{1}{3} a^{3}$

B. $\frac{1}{2} a^{3}$

C. $\frac{1}{6} a^{3}$

D. $\frac{2}{3} a^{3}$

Xem đáp án

Chọn C

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S A . S_{S B C} = \frac{1}{3} S A . \frac{1}{2} S B . S C = \frac{1}{6} S A . S B . S C = \frac{a^{3}}{6}

Câu 48:

Cho hàm số $f (x)$ xác định, liên tục trên $ℝ \ \{- 1\}$ và có bảng biến thiên như sau

Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

B. Hàm số không có đạo hàm tại x=-1.

C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

D. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x=1.

Xem đáp án

Chọn C

\underset{x \to \pm \infty}{limy} = \pm \infty \Rightarrow

Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số không có đạo hàm tại

x = - 1

.

\underset{x \to {(- 1)}^{+}}{limy} = + \infty \Rightarrow

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng

x = - 1

Dấu

f^{'} (x)

đổi từ

(-)

sang

(+)

khi qua 1 nên hàm số đạt cực tiểu tại

x = 1

.

Câu 49: