50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bộ 20 đề thi giữa kì 2 Toán 12 có đáp án năm 2022-2023 (Đề 10)

Câu 1:

y = f (x)

có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho có điểm cực đại là

A. 2

B. -2

C. 3

D. 1

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 2:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm trên R. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Nếu

f^{'} (x) \geq 0, \forall x \in (a; b)

thì

f (x)

đồng biến trên

(a; b) .

B. Nếu $f^{'} (x) \leq 0, \forall x \in (a; b)$ thì $f (x)$ nghịch biến trên $(a; b) .$

C. Nếu $f^{'} (x) > 0, \forall x \in (a; b)$ thì $f (x)$ nghịch biến trên $(a; b) .$

D. Nếu

f^{'} (x) < 0, \forall x \in (a; b)

thì

f (x)

nghịch biến trên

(a; b) .

Xem đáp án

Chọn D

Câu 3:

Cho hàm số

y = f (x)

có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(0; 1)$

B. $(- \infty; 0)$

C. $(- 1; 1)$

D. $(- 1; 0)$

Xem đáp án

Chọn A

Câu 4:

Giá trị lớn nhất của hàm số

f (x) = x^{3} - 3 x + 2

trên đoạn

[- 3; 3]

bằng

A. -16

B. 20

C. 0

D. 4

Xem đáp án

Ta có:

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3

;

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1 \in [- 3; 3]

.

f (- 3) = - 16; f (3) = 20; f (- 1) = 4; f (1) = 0

. Vậy

\max_{[- 3; 3]} f (x) = 20

Chọn đáp án B.

Câu 5:

Cho khối lập phương có cạnh bằng 2. Thể tích khối lập phương đã cho bằng

A. 8

B. 4

C. 6

D. 32

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 6:

Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

A. $y = \frac{2 x - 1}{x - 1}$

B. $y = \frac{x + 1}{x - 1}$

C. $y = x^{4} + x^{2} + 1$

D. $y = \frac{x - 1}{x + 1}$

Xem đáp án

Hàm số có tập xác định

D = ℝ \ \{1\}

, nghịch biến trên các khoảng

(- \infty; 1)

và

(1; + \infty)

, đồ thị có tiệm cận ngang là đường thẳng y=1, có tiệm cận đứng là đường thẳng x=1.
Vậy đường cong đã cho là đồ thị của hàm số

y = \frac{x + 1}{x - 1}

Chọn đáp án B.

Câu 7:

Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

A. 6

B. 2

C. 4

D. 3

Xem đáp án

Hình chóp tứ giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng .

Chọn đáp án C.

Câu 8:

Gọi

\min_{x \in [1; 2]} y

là giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = \frac{x + m^{2} - 2 m + 3}{x + 1}

trên

[1; 2] .

Tìm giá trị nhỏ nhất của

\min_{x \in [1; 2]} y .

A. $\frac{3}{2} .$

B. $\frac{4}{3} .$

C. $\frac{5}{2} .$

D. 2

Xem đáp án

Xét hàm số

y = \frac{x + m^{2} - 2 m + 3}{x + 1}

trên

[1; 2] .

Ta có:

y^{'} = \frac{- m^{2} + 2 m - 2}{{(x + 1)}^{2}} < 0, \forall x \in [1; 2] .

Vậy hàm số y nghịch biến trên

[1; 2] .

Suy ra

M = \max_{x \in [1; 2]} f (x) = f (1) = \frac{m^{2} - 2 m + 4}{2}

và

m = \min_{x \in [1; 2]} f (x) = f (2) = \frac{m^{2} - 2 m + 5}{3} .

Theo giả thiết

\min_{x \in [1; 2]} f (x) = \frac{m^{2} - 2 m + 5}{3} = \frac{{(m - 1)}^{2} + 4}{3} \geq \frac{4}{3} .

Vậy GTNN của

\min_{x \in [1; 2]} f (x)

bằng

\frac{4}{3}

đạt được khi

m = 1.

Chọn đáp án B.

Câu 9:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có

A^{'} C = a \sqrt{3} .

Thể tích khối chóp bằng

A^{'} . A B C D

A. $2 \sqrt{2} a^{3}$

B. $\frac{a^{3}}{3}$

C. $a^{3}$

D. $\frac{2 \sqrt{2} a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Hình lập phương

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

có đường chéo bằng

a \sqrt{3}

nên có cạnh bằng a.
Khối chóp

A^{'} . A B C D

có chiều cao

A A^{'} = a

, diện tích đáy

a^{2}

có thể tích là

V = \frac{1}{3} a . a^{2} = \frac{1}{3} a^{3}

.
Chọn đáp án B.

Câu 10:

Cho hàm số

y = f (x)

liên tục trên

ℝ

và có đồ thị như hình bên. Tìm số điểm cực trị hàm số

y = f (|x| + 2) .

A. 2

B. 3

C. 1

D. 5

Xem đáp án

Lời giải:
Thực hiện theo hai bước biến đổi đồ thị:
Bước 1: Biến đổi đồ thị

y = f (x)

thành

y = f (x + 2)

bằng cách tịnh tiến sang trái 2 đơn vị.
Bước 2: Biến đổi đồ thị

y = f (x + 2)

thành

y = f (|x| + 2)

bằng cách bỏ phần bên trái và lấy đối xứng phần bên phải Oy qua Oy. Ta được đồ thị

y = f (|x| + 2)

là hình vẽ bên.
Dựa vào đồ thị, hàm số

y = f (|x| + 2)

có duy nhất một điểm cực trị.
Chọn đáp án C.

Câu 11:

Cho hàm số

y = f (x)

xác định, liên tục trên

ℝ

và có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(- 3; 1)

.

B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng và giá trị nhỏ nhất bằng -3.

C. Giá trị cực đại của hàm số bằng 0.

D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

Xem đáp án

Dựa vào BBT, các phương án A, B, C đều sai.
Chọn đáp án D.

Câu 12:

Cho khối chóp

S . A B C

có thể tích V. Gọi

B^{'}, C^{'}

lần lượt là trung điểm của

A B, A C

. Tính theo V thể tích khối chóp

S . A B^{'} C^{'}

.

A. $\frac{1}{3} V$

B. $\frac{1}{2} V$

C. $\frac{1}{12} V$

D. $\frac{1}{4} V$

Xem đáp án

Ta có tỷ số thể tích

\frac{V_{A . S B^{'} C^{'}}}{V_{A . S B C}} = \frac{A B^{'}}{A B} . \frac{A C^{'}}{A C} = \frac{1}{2} . \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

. Do đó

V_{A . S B^{'} C^{'}} = \frac{1}{4} V_{A . S B C}

hay

V_{S . A B^{'} C^{'}} = \frac{1}{4} V

.
Chọn đáp án D.

Câu 13:

Cho hàm số bậc bốn

y = f (x) .

Hàm số

y = f^{'} (2 x - 1)

có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Hàm số

g (x) = f (4 x + 3)

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(- \frac{3}{2}; - 1) .$

B. $(- 1; 1) .$

C. $(- 2; 0) .$

D. $(- \frac{1}{2}; \frac{3}{2}) .$

Xem đáp án

Bước 1: Chuyển điều kiện về

f^{'} (u) .

Ta có:

f^{'} (2 x - 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \Rightarrow 2 x - 1 = - 3 \\ x = 0 \Rightarrow 2 x - 1 = - 1 \\ x = 2 \Rightarrow 2 x - 1 = 3 \end{array} .

Vậy

f^{'} (u) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} u = - 3 \\ u = - 1 \\ u = 3 \end{array} .

+)

f^{'} (2 x - 1) > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x > 2 \Rightarrow 2 x - 1 > 3 \\ - 1 < x < 0 \Rightarrow - 3 < 2 x - 1 < - 1 \end{array} .

Vậy

f^{'} (u) > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} u > 3 \\ - 3 < u < - 1 \end{array} .

+)

f^{'} (2 x - 1) < 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x < - 1 \Rightarrow 2 x - 1 < - 3 \\ 0 < x < 2 \Rightarrow - 1 < 2 x - 1 < 3 \end{array} .

Vậy

f^{'} (u) < 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} u < - 3 \\ - 1 < u < 3 \end{array} .

Bước 2: Áp dụng vào bài toán:
Ta có:

g^{'} (x) = {(4 x + 3)}^{'} f^{'} (\underset{u}{\underset{⏟}{4 x + 3}}) = 4. f^{'} (\underset{u}{\underset{⏟}{4 x + 3}})

Yêu cầu bài toán

\Leftrightarrow g^{'} (x) > 0 \Leftrightarrow f^{'} (\underset{u}{\underset{⏟}{4 x + 3}}) > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} u > 3 \\ - 3 < u < - 1 \end{array} \Rightarrow [\begin{array}{l} 4 x + 3 > 3 \\ - 3 < 4 x + 3 < - 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x > 0 \\ - \frac{3}{2} < x < - 1 \end{array} .

Chọn đáp án A.

Câu 14:

Cho hàm số

f (x)

có đạo hàm

f^{'} (x) = x (x - 3) {(x + 2)}^{2019}

,

\forall x \in ℝ

. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 3

B. 2

C. 5

D. 1

Xem đáp án

Ta có:

f^{'} (x) = x (x - 3) {(x + 2)}^{2019}

;

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 3 \\ x = - 2 \end{array}

.
Bảng xét dấu

Vì

f^{'} (x)

đổi dấu lần khi đi qua các điểm

- 2; 0; 3

nên hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.
Chọn đáp án A.

Câu 15:

Tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số

y = x^{4} - 2 (m - 1) x^{2} + m - 2

đồng biến trên khoảng (1;3) là

A. $m < - 5.$

B. $- 5 \leq m < 2.$

C. $m > 2.$

D. $m \leq 2.$

Xem đáp án

y' = 4 x^{3} - 4 (m - 1) x = 4 x^{3} + 4 x - 4 m x

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

(1; 3)

khi và chỉ khi

y' \geq 0

với mọi

x \in (1; 3)

\Leftrightarrow 4 x^{3} + 4 x - 4 m x \geq 0, \forall x \in (1; 3)

Với

x \in (1; 3)

thì

2 < x^{2} + 1 < 10

. Vậy

m \leq 2

.
Chọn đáp án D.

Câu 16:

Tìm giá trị cực đại

y_{C§}

của hàm số

y = x^{3} - 3 x + 2

A. $y_{C§} = 4.$

B. $y_{C§} = 1.$

C. $y_{C§} = 0.$

D. $y_{C§} = - 1.$

Xem đáp án

Ta có:

y^{'} = 3 x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 1 \end{array}; y^{''} = 6 x .

Ta có:

\{\begin{cases} y^{''} (1) = 6 > 0 \\ y^{''} (- 1) = - 6 < 0 \end{cases} \Rightarrow

Hàm số đạt cực đại tại

x = - 1,

vậy

y_{C§} = y (- 1) = 4.

Chọn đáp án A.

Câu 17:

Cho khối chóp

S . A B C D

có thể tích bằng 1 và đáy ABCD là hình bình hành. Trên cạnh SC lấy điểm E sao cho

S E = 2 E C

. Tính thể tích của khối tứ diện SEBD

A. $V = \frac{1}{3}$

B. $V = \frac{1}{6}$

C. $V = \frac{1}{12}$

D. $V = \frac{2}{3}$

Xem đáp án

Ta có:

\frac{V_{S . E B D}}{V_{S . B C D}} = \frac{S B . S D . S E}{S B . S D . S C} = \frac{S E}{S C} = \frac{2}{3}

\Rightarrow V_{S . E B D} = \frac{2}{3} V_{S . B C D} = \frac{2}{3} . \frac{1}{2} V_{S . A B C D} = \frac{1}{3}

Vậy thể tích V của khối tứ diện SEBD là

V = \frac{1}{3}

.
Chọn đáp án A.

Câu 18:

Cho hàm số

y = f (x)

liên tục trên đoạn

[- 1; 3]

và có đồ thị như hình bên. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

f (x)

trên đoạn

[- 1; 3]

. Giá trị của M+m bằng

A. 0

B. 1

C. 4

D. 5

Xem đáp án

Từ đồ thị hàm số

y = f (x)

trên đoạn

[- 1; 3]

ta có:

M = \max_{[- 1; 3]} y = f (3) = 3

và

m = \min_{[- 1; 3]} y = f (2) = - 2

. Khi đó

M + m = 1

Chọn đáp án B.

Câu 19:

Cho hàm số

y = f (x)

có bảng biến thiên:

Tất cả các giá trị của m để bất phương trình

f (\sqrt{x - 1} + 1) \leq m

có nghiệm là

A. $m \geq 1$

B. $m \geq - 2$

C. $m \geq 4$

D. $m \geq 0$

Xem đáp án

Xét hàm số

f (\sqrt{x - 1} + 1)

trên

[1; + \infty)

. Đặt

t = \sqrt{x - 1} + 1 \geq 1

, khi đó: bất phương trình

f (\sqrt{x - 1} + 1) \leq m

có nghiệm

x \in [1; + \infty)

khi và chỉ khi

f (t) \leq m

có nghiệm

t \in [1; + \infty)

.

Từ bảng biến thiên suy ra

m \geq - 2.

Chọn đáp án B.

Câu 20:

Khối đa diện đều loại {4;3} là

A. Khối hộp chữ nhật.

B. Khối tứ diện đều.

C. Khối lập phương.

D. Khối bát diện đều.

Xem đáp án

Khối đa diện đều loại

\{4; 3\}

là khối lập phương.
Chọn đáp án C.

Câu 21:

Một đoạn dây thép dài

200 (c m)

được uốn thành một chiếc khung có dạng như hình vẽ (hai đường cong là hai nữa đường tròn). Khi x thay đổi thì diện tích lớn nhất của hình phẳng thu được gần với giá trị nào sau đây?

A. $4 244 (c m^{2}) .$

B. $4 120 (c m^{2}) .$

C. $3 840 (c m^{2}) .$

D. $3 183 (c m^{2}) .$

Xem đáp án

Ta có: $200 = \frac{1}{2} . π .6 x + \frac{1}{2} . π .6 x + 2 y \Leftrightarrow 2 y = 200 - 6 x π \Leftrightarrow y = 100 - 3 π x$
Suy ra, diện tích hình phẳng thu được là $S = \frac{1}{2} π {(3 x)}^{2} + \frac{1}{2} π {(3 x)}^{2} + 6 x (100 - 3 x π) = - 9 π x^{2} + 600 x .$
Xét hàm số $S (x) = - 9 π x^{2} + 600 x, x > 0 \Rightarrow S^{'} (x) = - 18 π x + 600; S^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{100}{3 π} .$
Xét bảng biến thiên:

Vậy $S_{\min} = S (\frac{100}{3 π}) \approx 3 183 (c m^{2}) .$
Chọn đáp án D.

Câu 22:

Cho hàm số

y = a x^{3} + b x^{2} + c x + 2, (a; b; c \in ℝ)

có bảng xét dấu như sau:

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $a > 0; b < 0; c < 0$

B. $a > 0; b < 0; c > 0$

C. $a > 0; b > 0; c < 0$

D. $a > 0; b > 0; c > 0$

Xem đáp án

Ta có

y^{'} = 3 a x^{2} + 2 b x + c

Phương trình

y^{'} = 0

có hai nghiệm

x_{1} < x_{2} < 0

nên

\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = \frac{- 2 b}{3 a} < 0 (1) \\ x_{1} . x_{2} = \frac{c}{3 a} > 0 (2) \end{cases}

Từ

(1); (2)

suy ra

a; b; c

cùng dấu. Hơn nữa

y^{'} (0) = c > 0

nên

a > 0; b > 0; c > 0

Chọn đáp án D.

Câu 23:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại

B, A B = a, B C = 2 a, S A

vuông góc với đáy. Biết SC hợp với (SAB) một góc

30^{0},

thể tích của khối chóp

S . A B C

bằng

A. $\frac{\sqrt{15} a^{3}}{3} .$

B. $\frac{\sqrt{5} a^{3}}{2} .$

C. $\frac{\sqrt{11} a^{3}}{3} .$

D. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{3} .$

Xem đáp án

Ta có:

S_{A B C} = \frac{1}{2} A B . B C = a^{2} .

Do

B C ⊥ (S A B)

nên

((S B); (S A B)) = \hat{B S C} = 30^{o} .

Xét tam giác SBC vuông tại

B : \sin \hat{B S C} = \frac{B C}{S C} \Leftrightarrow S C = 4 a .

Suy ra:

S A = \sqrt{S C^{2} - A C^{2}} = \sqrt{{(4 a)}^{2} - {(a \sqrt{5})}^{2}} = a \sqrt{11} .

Vậy

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S A . S_{A B C} = \frac{\sqrt{11} a^{3}}{3} .

Chọn đáp án C.

Câu 24:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên sau:

Số nghiệm của phương trình $2 f (x) - 3 = 0$ là

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Ta có:

2 f (x) - 3 = 0 \Leftrightarrow f (x) = \frac{3}{2}

Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số

y = f (x)

và đường thẳng

y = \frac{3}{2}

. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

y_{C Đ} = 1 < \frac{3}{2}

, do đó đường thẳng

y = \frac{3}{2}

và đồ thị hàm số

y = f (x)

có 2 giao điểm.
Vậy phương trình

2 f (x) - 3 = 0

có 2 nghiệm phân biệt.
Chọn đáp án C.

Câu 25:

Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a bằng

A. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{12}$

B. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{6}$

C. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{2}$

D. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{4}$

Xem đáp án

Ta có

V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = S_{Δ A B C} . A A^{'} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} . a = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}

.
Chọn đáp án D.

Câu 26:

Cho hàm số

y = f (x)

có

\lim_{x \to + \infty} f (x) = 2

và

\lim_{x \to - \infty} f (x) = - 2

. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.

B. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang.

C. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường $y = 2$ và $y = - 2$ .

D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường

x = 2

và

x = - 2

.

Xem đáp án

Do

\lim_{x \to + \infty} f (x) = 2 \Rightarrow y = 2

là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Do

\lim_{x \to - \infty} f (x) = - 2 \Rightarrow y = - 2

là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị của hàm số đã cho có hai đường tiệm cận ngang là

y = 2

và

y = - 2

.
Chọn đáp án C.

Câu 27:

Cho hàm số

y = f (x)

xác định trên

ℝ \ \{0\}

, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình

f (x) = m

có ba nghiệm thực phân biệt.

A. $[- 1; 2]$

B. $(- 1; 2)$

C. $(- 1; 2]$

D. $[- 1; 2) .$

Xem đáp án

Dựa vào bảng biến thiên đã cho, phương trình

f (x) = m

có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

- 1 < m < 2

hay

m \in (- 1; 2)

vì lúc đó, đường thẳng

y = m

cắt đồ thị hàm số

y = f (x)

tại ba điểm phân biệt.
Chọn đáp án B.

Câu 28:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

y = (m - 1) x^{4} - 2 (m - 3) x^{2} + 1

không có cực đại.

A. $1 \leq m \leq 3$

B. $m \leq 1$

C. $m \geq 1$

D. $1 < m < 3$

Xem đáp án

Ta có

y^{'} = 4 (m - 1) x^{3} - 4 (m - 3) x = 4 x [(m - 1) x^{2} - (m - 3)]

Xét với

m = 1

: Khi đó

y = 4 x^{2} + 1

hàm số không có cực đại. Vậy

m = 1

thỏa mãn (1)
Xét với

m > 1

: Khi đó hàm số là hàm bậc 4 trùng phương với hệ số

a > 0

để hàm số không có cực đại thì chỉ có một nghiệm duy nhất

x = 0

.
Hay

(m - 1) x^{2} - (m - 3) = 0

vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

x = 0

.

\Leftrightarrow x^{2} = \frac{m - 3}{m - 1}

vô nghiệm hoặc có nghiệm x=0

\Leftrightarrow \frac{m - 3}{m - 1} \leq 0 \Leftrightarrow 1 < m \leq 3

(2)
Xét với

m < 1

: Hàm số bậc 4 trùng phương có hệ số

a < 0

luôn có cực đại (3)
Kết luận : Từ (1), (2), (3) ta có để hàm số không có cực đại thì

1 \leq m \leq 3

.
Chọn đáp án A.

Câu 29:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M,N là trung điểm của SA, SB. Mặt phẳng (MNCD) chia hình chóp đã cho thành hai phần. Tỉ số thể tích hai phần (số bé chia số lớn) là

A. $\frac{3}{5} .$

B. $\frac{3}{4} .$

C. $\frac{1}{3} .$

D. $\frac{4}{5} .$

Xem đáp án

Giả sử thể tích của khối chóp

S . A B C D

là V
Ta có

\frac{V_{S . M D C}}{V_{S . A D C}} = \frac{S M}{S A} . \frac{S D}{S D} . \frac{S C}{S C} = \frac{1}{2};

\frac{V_{S . M N C}}{V_{S . A B C}} = \frac{S M}{S A} . \frac{S N}{S B} . \frac{S C}{S C} = \frac{1}{4};

\frac{V_{S . M D C}}{V_{S . A D C}} + \frac{V_{S . M N C}}{V_{S . A B C}} = \frac{V_{S . M D C}}{\frac{1}{2} V} + \frac{V_{S . M N C}}{\frac{1}{2} V} = \frac{V_{S . M N C D}}{\frac{1}{2} V} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

\Rightarrow V_{S . M N C D} = \frac{3}{8} V \Rightarrow V_{M N A B C D} = V - \frac{3}{8} V = \frac{5}{8} V \Rightarrow \frac{V_{S . M N C D}}{V_{M N A B C D}} = \frac{3}{5} .

Chọn đáp án A.

Câu 30:

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên dưới?

A. $y = x^{3} - 3 x^{2} + 3$

B. $y = - x^{3} + 3 x^{2} + 3$

C. $y = x^{4} - 2 x^{2} + 3$

D. $y = - x^{4} + 2 x^{2} + 3$

Xem đáp án

Đồ thị trên là đồ thị của hàm số bậc 3, với hệ số a dương.
Chọn đáp án A.

Câu 31:

Cho khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 2a (tham khảo hình vẽ sau).

Thể tích của khối chóp đã cho bằng

A. $\frac{4 \sqrt{2} a^{3}}{3}$

B. $\frac{8 a^{3}}{3}$

C. $\frac{8 \sqrt{2} a^{3}}{3}$

D. $\frac{2 \sqrt{2} a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Gọi khối chóp tứ giác đều là S.ABCD, tâm O, khi đó

\{\begin{cases} S O ⊥ (A B C D) \\ A B = S A = 2 a \end{cases}

.
Ta có:

S_{A B C D} = A B^{2} = 4 a^{2}

,

O A = \frac{1}{2} .2 a \sqrt{2} = a \sqrt{2}

;

S O = \sqrt{S A^{2} - O A^{2}} = \sqrt{{(2 a)}^{2} - {(a \sqrt{2})}^{2}} = a \sqrt{2}

.
Vậy

V_{S A B C D} = \frac{1}{3} S O . S_{A B C D} = \frac{1}{3} a \sqrt{2} .4 a^{2} = \frac{4 \sqrt{2} a^{3}}{3}

.
Chọn đáp án A.

Câu 32:

Cho hàm số

y = a x^{4} + b x^{2} + c (a \neq 0)

có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. $a > 0, b > 0, c < 0.$

B. $a > 0, b < 0, c < 0.$

C. $a > 0, b < 0, c > 0.$

D. $a < 0, b > 0, c < 0.$

Xem đáp án

Dựa vào đồ thị suy ra hệ số a>0 => loại phương án D.
Hàm số có 3 điểm cực trị

\Rightarrow a b < 0

, do

a > 0 \Rightarrow b < 0

.
Mặt khác:

(C) \cap O y = D (0; c) \Rightarrow c < 0

Chọn đáp án B.

Câu 33:

Một vật chuyển động theo quy luật

s = - \frac{1}{2} t^{3} + 9 t^{2}

với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?

A. $216 (m / s)$

B. $30 (m / s)$

C. $400 (m / s) .$

D. $54 (m / s)$

Xem đáp án

Vận tốc tại thời điểm t là

v (t) = s^{'} (t) = - \frac{3}{2} t^{2} + 18 t .

Do đó vận tốc lớn nhất của vật đạt được khi

v^{'} (t) = - 3 t + 18 = 0 \Leftrightarrow t = 6

. Vậy

v_{\max} = v (6) = 54 (m / s)

Chọn đáp án D.

Câu 34:

Cho khối chóp có O.ABC ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Biết OA=1, OB=2 và thể tích của khối chóp O.ABC bằng 3. Độ dài OC bằng

A. $\frac{3}{2}$

B. $\frac{9}{2}$

C. 9

D. 3

Xem đáp án

Thể tích khối chóp O.ABC là

V_{O . A B C} = V_{C . O A B} = \frac{1}{3} O C . S_{Δ O A B} = \frac{1}{6} O A . O B . O C = \frac{1}{6} .1.2. O C = 3 \Rightarrow O C = 9

Chọn đáp án C.

Câu 35:

Cho hàm số bậc bốn

y = f (x)

có đồ thị trong hình bên. Số nghiệm thuộc

[0; \frac{3 π}{2}]

của phương trình

f (2 \sin 2 x) + 2 = 0

bằng

A. 6

B. 3

C. 4

D. 5

Xem đáp án

Ta có:

f (2 \sin 2 x) + 2 = 0 \Leftrightarrow f (2 \sin 2 x) = - 2

Dựa vào đồ thị ta thấy:
+)

f (\cos 2 x) = - 2 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 \sin 2 x = a \in (- 3; - 2) \\ 2 \sin 2 x = b \in (- 2; - 1) \\ 2 \sin 2 x = c \in (1; 2) \\ 2 \sin 2 x = d \in (2; 3) \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin 2 x = \frac{a}{2} \in (- \frac{3}{2}; - 1) (l o a i) \\ \sin 2 x = \frac{b}{2} \in (- 1; - \frac{1}{2}) \\ \sin 2 x = \frac{c}{2} \in (\frac{1}{2}; 1) \\ \sin 2 x = \frac{d}{2} \in (1; \frac{3}{2}) (l o a i) \end{array}

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin 2 x = \frac{b}{2} \in (- 1; - \frac{1}{2}) \\ \sin 2 x = \frac{c}{2} \in (\frac{1}{2}; 1) \end{array}

Phương trình

\sin 2 x = \frac{b}{2} \in (- 1; - \frac{1}{2})

có 2 nghiệm thuộc đoạn

[0; \frac{3 π}{2}]

.
Và phương trình

\sin 2 x = \frac{c}{2} \in (\frac{1}{2}; 1)

có 4 nghiệm thuộc đoạn

[0; \frac{3 π}{2}]

. (Bằng cách đặt

t = 2 x : x \in [0; \frac{3 π}{2}] \Rightarrow t = 2 x \in [0; 3 π]

)
Rõ ràng 6 nghiệm này phân biệt. Vậy phương trình đã cho có tất cả 6 nghiệm.
Chọn đáp án A.

Câu 36:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

A. 4

B. 1

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Vì

\lim_{x \to + \infty} f (x) = 5

,

\lim_{x \to - \infty} f (x) = 2

đồ thị có 2 tiệm cận ngang: y=5 và y=2.
Vì

\lim_{x \to 1^{-}} f (x) = + \infty

=> đường thẳng x=1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số có đúng 3 đường tiệm cận.
Chọn đáp án C.

Câu 37:

Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số

y = \frac{a x + b}{c x + d}

với a, b, c, d là các số thực.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $y^{'} > 0, \forall x \in ℝ .$

B. $y^{'} < 0, \forall x \in ℝ .$

C. $y^{'} > 0, \forall x \neq 1.$

D. $y^{'} < 0, \forall x \neq 1.$

Xem đáp án

Từ đồ thị ta có: hàm số

y = \frac{a x + b}{c x + d}

và đạo hàm

y^{'} = \frac{a d - b c}{{(c x + d)}^{2}}

đều không xác định tại

x = \frac{- d}{c} = 1

, nghịch biến trên các khoảng

(- \infty; 1)

và

(1; + \infty)

, suy ra khẳng định đúng là:

y^{'} < 0, \forall x \neq 1

.
Chọn đáp án D.

Câu 38:

Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số

y = \frac{m x - 2}{- 2 x + m}

nghịch biến trên khoảng

(\frac{1}{2}; + \infty)

là

A. 4

B. 5

C. 3

D. 2

Xem đáp án

TXĐ:

D = ℝ \ \{\frac{m}{2}\}

;

y^{'} = \frac{m^{2} - 4}{{(- 2 x + m)}^{2}}

Hàm số nghịch biến trên khoảng

(\frac{1}{2}; + \infty)

khi và chỉ khi

y^{'} < 0, \forall x \in (\frac{1}{2}; + \infty)

\Leftrightarrow \{\begin{cases} m^{2} - 4 < 0 \\ \frac{m}{2} \notin (\frac{1}{2}; + \infty) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m^{2} - 4 < 0 \\ \frac{m}{2} \leq \frac{1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 2 < m < 2 \\ m \leq 1 \end{cases} \Leftrightarrow - 2 < m \leq 1.

Vậy m có 3 giá trị nguyên:

- 1; 0; 1

Chọn đáp án C.

Câu 39:

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

y = |x^{3} - 3 x^{2} + m|

trên đoạn

[1; 3]

nhỏ hơn 4?

Xem đáp án

Đặt

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + m

liên tục trên

[1; 3] .

Ta có:

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \notin [1; 3] \\ x = 2 \in [1; 3] \end{array} .

f (1) = m - 2; f (2) = m - 4; f (3) = m .

Suy ra:

\{\begin{cases} \max_{[1; 3]} f (x) = f (3) = m \\ \min_{[1; 3]} f (x) = f (2) = m - 4 \end{cases} \Rightarrow \max_{[1; 3]} |f (x)| = \max_{[1; 3]} \{|m|; |m - 4|\} .

Cách 1:
-Trường hợp 1:

\{\begin{cases} |m| \leq |m - 4| \\ \max_{[1; 3]} \{|m|; |m - 4|\} = |m - 4| < 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m^{2} \leq m^{2} - 8 m + 16 \\ - 4 < m - 4 < 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \leq 2 \\ 0 < m < 8 \end{cases} \Leftrightarrow 0 < m \leq 2.

Vì

m \in ℤ

nên

m = 1; m = 2.

-Trường hợp 2:

\{\begin{cases} |m - 4| < |m| \\ \max_{[1; 3]} \{|m|; |m - 4|\} = |m| < 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m^{2} - 8 m + 16 < m^{2} \\ - 4 < m < 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m > 2 \\ - 4 < m < 4 \end{cases} \Leftrightarrow 2 < m < 4.

Vì

m \in ℤ

nên

m = 3.

Cách 2:

\max_{[1; 3]} |f (x)| < 4 \Leftrightarrow \{\begin{cases} |m| < 4 \\ |m - 4| < 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 4 < m < 4 \\ - 4 < m - 4 < 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 4 < m < 4 \\ 0 < m < 8 \end{cases} \Leftrightarrow 0 < m < 4.

Vì

m \in ℤ

nên

m = 1; m = 2; m = 3.

Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số m.
Chọn đáp án A.

Câu 40:

Cho hàm số

y = f (x)

. Hàm số

y = f^{'} (x)

có đồ thị được cho ở hình vẽ dưới đây.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số

y = f (x^{2} + m)

có 3 điểm cực trị?

A. 3

B. 4

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Ta có:

y^{'} = 2 x . f^{'} (x^{2} + m)

,

y^{'} = 0

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ f^{'} (x^{2} + m) = 0 \end{array}

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} + m = 0 \\ x^{2} + m = 1 (béi ch½n) \\ x^{2} + m = 3 \end{array}

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 (*) \\ x^{2} = - m (1) \\ x^{2} = 3 - m (2) \end{array}

.
Hàm số

y = f (x^{2} + m)

có 3 điểm cực trị

\Leftrightarrow y^{'} = 0

có 3 nghiệm bội lẻ phân biệt.
Vì

3 - m > - m

nên nếu (1) có 2 nghiệm phân biệt thì (2) cũng có 2 nghiệm phân biệt, khi đó

y^{'} = 0

có 5 nghiệm phân biệt: không thỏa mãn.
Vậy (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

x_{1} = x_{2} = 0

, đồng thời phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

\Leftrightarrow \{\begin{cases} - m \leq 0 \\ 3 - m > 0 \end{cases} \Leftrightarrow 0 \leq m < 3

.
Vậy m có 3 giá trị nguyên: 0;1;2.
Chọn đáp án A.

Câu 41:

Cho hàm số

y = x^{3} - 3 x^{2}

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(0; 2) .

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(2; + \infty) .$

C. Hàm số đồng biến trên khoảng

(0; 2) .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(- \infty; 0) .

Xem đáp án

Ta có

y^{'} = 3 x^{2} - 6 x

;

y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array}

. Lập bảng biến thiên rồi suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng

(0; 2) .

Chọn đáp án A.

Câu 42:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và

S C = a \sqrt{5}

. Thể tích của khối chóp S.ABCD theo a bằng

A. $a^{3} \sqrt{3}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{15}}{3}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

Xem đáp án

$V = \frac{1}{3} S A . S_{A B C D} = \frac{1}{3} \sqrt{S C^{2} - A C^{2}} . A B^{2} = \frac{1}{3} \sqrt{5 a^{2} - 2 a^{2}} . a^{2} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$