Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (O) với A, B là các tiếp điểm.
a) Chứng minh bốn điểm A, B, M, O cùng thuộc một đường tròn.
b) Kẻ đường kính AC của đường tròn (O). Chứng minh OM // CB.
c) Vẽ BK vuông góc với AC tại K. Chứng minh: CK.OM = OB.CB.
d) Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt AB tại D. Chứng minh OD ^ CM.
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Xét tứ giác AOBM có: \(\widehat {MAO} + \widehat {MBO} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)
Þ AOBM là tứ giác nội tiếp đường tròn.
Vậy bốn điểm A, B, M, O cùng thuộc một đường tròn.
b) Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
MA và MB là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M Þ MA = MB.
Lại có OA = OB = R
Þ OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB
Þ OM ^ AB (1)
Mà \[\widehat {ABC} = 90^\circ \] (Do góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Þ AB ^ BC (2)
Từ (1) và (2) Þ OM // BC
c) Do OM // BC \( \Rightarrow \widehat {AOM} = \widehat {ACB}\) (Hai góc ở vị trí đồng vị)
Þ \(\widehat {AOM} = \widehat {KCB}\)
Lại có OM là đường trung trực trong tam giác cân OAB nên nó cũng là đường phân giác của tam giác OAB
\( \Rightarrow \widehat {AOM} = \widehat {BOM}\)
Nên suy ra \(\widehat {KCB} = \widehat {BOM}\)
Xét ∆BCK và ∆MOB có:
\(\widehat {KCB} = \widehat {BOM}\) (cmt)
\(\widehat {BKC} = \widehat {MBO}\;\left( { = 90^\circ } \right)\)
Þ ∆BCK ᔕ ∆MOB (g.g)
\( \Rightarrow \frac{{CK}}{{OB}} = \frac{{CB}}{{OM}} \Rightarrow CK.OM = OB.CB\) (đpcm)
d) Lấy E là giao điểm của CM và OD.
Ta có: \(\widehat {BCD} = \widehat {BAC}\) (Hai góc cùng phụ với \(\widehat {BCA}\))
Mà \(\widehat {BMO} = \widehat {BAO}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung BO)
\( \Rightarrow \widehat {BMO} = \widehat {BCD}\)
Xét ∆BMO và ∆BCD có:
\(\widehat {BMO} = \widehat {BCD}\) (cmt)
\(\widehat {MBO} = \widehat {CBD}\;\left( { = 90^\circ } \right)\)
Þ ∆BMO ᔕ ∆BCD (g.g)
\( \Rightarrow \frac{{BM}}{{BC}} = \frac{{BO}}{{BD}}\)
Mà \(\widehat {MBC} = \widehat {OBD}\)
Þ ∆MBC ᔕ ∆OBD (c.g.c)
\( \Rightarrow \widehat {BMC} = \widehat {BOD}\)
Þ Tứ giác BMOE nội tiếp đường tròn
\( \Rightarrow \widehat {MEO} = \widehat {MBO} = 90^\circ \) (Hai góc nôij tiếp cùng chắn cung MO)
Þ OD ^ CM (đpcm).
Cho đường tròn tâm O và điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Đường thẳng d thay đổi đi qua M cắt đường tròn tại 2 điểm phân biệt C và D (C nằm giữa M và D)
a) Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp
b) Chứng minh MA2 = MC.MD
c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác OCD luôn đi qua điểm cố định khác O
Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn (O), trên đường tròn (O) lấy một điểm E bất kì (E khác A, B). Tiếp tuyến tại E của đường tròn (O) cắt Ax, By lần lượt tại C, D.
a) CM: CD = AC + BD.
b) Vẽ EF vuông góc AB tại F, BE cắt AC tại K. CM: AF.BC = KE.EB.
c) EF cắt CB tại I. CM tam giác AFC đồng dạng với tam giác BFD, suy ra FE là tia phân giác của góc CFD.
d) EA cắt CF tại M. EB cắt DF tại N. CM: M, I, N thẳng hàng.
Cho phương tình 3x − 2y = 6. (1)
a) Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình (1);
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình (1).
Cho đường tròn tâm O và BC là dây cung không đi qua tâm. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho M không trùng với B. Đường thẳng đi qua M cắt đường tròn (O) đã cho tại N và P (N nằm giữa M và P) sao cho O nằm trong PMC. Gọi A là điểm chính giữa của cung nhỏ NP. Các dây AB và AC lần lượt cắt NP tại D và E.
a) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp.
b) Chứng minh MB.MC = MN.MP.
Cho tứ giác ABCD có \(\widehat B = \widehat D = 90^\circ \).
a) CMR: 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn, tìm tâm đường tròn đó.
b) So sánh độ dài AC và BD. Tứ giác ABCD cần thêm điều kiện gì thì AC = BD
Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB; Ax là tiếp tuyến của nửa đường tròn. Trên nửa đường tròn lấy điểm D (D khác A, B). Tiếp tuyến tại D của (O) cắt Ax ở S.
a) Chứng minh SO // BD.
b) BD cắt AS ở C. Chứng minh SA = SC.
c) Kẻ DH vuông góc với AB; DH cắt BS tại E. Chứng minh E là trung điểm của DH.
Cho đường tròn (O), đường kính AB, vẽ các tiếp tuyến Ax, By. Từ M trên đường tròn (M khác A,B) vẽ tiếp tuyến thứ ba nó cắt Ax ở C cắt By ở D. Gọi N là giao điểm của BC và AD.
a) CMR: \(\frac{{CN}}{{AC}} = \frac{{NB}}{{BD}}\).
b) CM: MN ^ AB.
c) CMR: \(\widehat {COD} = 90^\circ \).
