Giải bởi Vietjack
Lời giải
Vì p, q là các số nguyên tố nên p.q > 1
Lại có p2 − 2q2 = 17 Þ p2 > 17 Þ p ≥ 5
* Xét p = 5, thay vào ta có q = 2.
Khi đó, p + q = 7.
* Xét p > 5, vì p là số nguyên tố nên p có dạng 6k + 1 hoặc 6k + 5 (k Î ℤ+).
• Với p = 6k + 1, ta có:
(6k + 1)2 − 2q2 = 17
Û 36k2 + 12k + 1 − 2q2 = 17
Û 36k2 + 12k − 2q2 = 16
Û 18k2 + 6k − q2 = 8
Ta thấy VP ⋮ 2 nên VT ⋮ 2
Mà 18k2 + 6k ⋮ 2 Þ q2 ⋮ 2 Þ q = 2
Thay vào ta được p = 5
• Với p = 6k + 5, ta có:
(6k + 5)2 − 2q2 = 17
Û 36k2 + 60k + 25 − 2q2 = 17
Û 36k2 + 60k − 2q2 = −8
Û 18k2 + 30k − q2 = −4
Ta thấy VP ⋮ 2 Þ VT ⋮ 2
Mà 18k2 + 30k ⋮ 2 Þ q2 ⋮ 2 Þ q = 2.
Thay vào ta được p = 5.
Vậy p + q = 7.
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và M là điểm nằm trên (O). Tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B của (O) lần lượt ở C và D. Đường thẳng AM cắt OC tại E, đường thẳng BM cắt OD tại F.
a) Chứng minh: \(\widehat {COD} = 90^\circ \).
b) Tứ giác MEOF là hình gì?
c) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm.
a) Tính số đo góc B, góc C (làm tròn đến độ) và đường cao AH.
b) Chứng minh rằng: \(AB.\cos B + AC.\cos C = BC.\)
c) Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho DC = 2DA. Vẽ DE vuông góc với BC tại E. Chứng minh rằng: \(\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{4}{{9D{E^2}}}\)
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
a) Biết AB = 4 cm, \(AC = 4\sqrt 3 \;cm\). Giải tam giác ABC.
b) Kẻ HD, HE lần lượt vuông góc với AB, AC (D ∈ AB, E ∈ AC). Chứng
minh BD.DA + CE.EA = AH2.
c) Lấy diểm M nằm giữa E và C, kẻ AI vuông góc với MB tại I. Chứng minh:
\[\sin \widehat {AMB}\,\,.\,\sin \widehat {ACB} = \frac{{HI}}{{CM}}\].
Cho đường tròn tâm O đường kính BC, điểm A thuộc đường tròn. Vẽ bán kính OK song song với BA (K và A nằm cùng phía đối với BC) tiếp tuyến đường trong tâm O tại C cắt ở I , OI cắt tại H.
a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông tại A.
b) Chứng minh IA là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.
c) Cho BC = 30 cm; AB = 18 cm, tính các độ dài OI và CI.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
a) Biết AB = 4 cm, \(AC = 4\sqrt 3 \;cm\). Giải tam giác ABC.
b) Kẻ HD, HE lần lượt vuông góc với AB, AC (D thuộc AB, E thuộc AC). Chứng
minh BD.DA + CE.EA = AH2.
c) Lấy diểm M nằm giữa E và C, kẻ AI vuông góc với MB tại I. Chứng minh:
\[\sin \widehat {AMB}\,.\,\sin \widehat {ACB} = \frac{{HI}}{{CM}}\].
Cho hình chữ nhật ABCD có AB > BC. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AC, đường thẳng này cắt AC tại H, cắt CD tại M.
a) Chứng minh ΔCMH ᔕ ΔCAD.
b) Chứng minh BC2 = CM.CD. Tính độ dài đoạn MC, biết AB = 8 cm, BC = 6 cm.
c) Kẻ MK vuông góc với AB tại K, MK cắt AC tại điểm I. Chứng minh \(\widehat {BIM} = \widehat {AMC}.\)
Cho tam giác ABC có các đường phân giác cắt nhau tại N cho ha, hb, hc là đường cao gọi r là khoảng cách từ N đến cạnh tam giác. Chứng minh rằng:
\[\frac{1}{{{h_a}}} + \frac{1}{{{h_b}}} + \frac{1}{{{h_c}}} = \frac{1}{r}\]
Cho hình chữ nhật ABCD có (AD < AB). Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với đường chéo AC tại C, cắt đường thẳng AD, AB lần lượt tại M, N.
a) Chứng minh rằng AB.AN = AD.AM.
b) Cho AD = 3 cm, AB = 4 cm. Tính DM và SAMN.
c) Chứng minh CD.CB = AB.AD.
d) Gọi E là trung điểm của MC, kẻ CH vuông DB tại H. Cho EB cắt CH tại K. Chứng minh K là trung điểm của CH.
Cho tam giác ABC, đường cao AH.
Biết \(AB = 4\;cm,\;AC = 4\sqrt 2 \;cm,\;BC = 4\sqrt 3 \;cm.\) Chứng minh tam giác ABC vuông. Tính độ dài các đoạn thẳng AH, HB.
Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O và M là trung điểm AB. Tính độ dài của các vectơ \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \,.\]
Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 2AB. Vẽ tia phân giác Ax của A. Từ B vẽ đường thẳng vuông góc với Ax cắt AC tại F. Từ C vẽ đường thẳng vuông góc Ax cắt Ax tại E.
a) CMR: Tứ giác ABEF có bốn cạnh bằng nhau.
b) CMR: Tứ giác BECF là hình bình hành.
c) Vẽ trung tuyến AM và đường cao AH. BF cắt AH và AM tại P và Q. Hỏi APEQ là hình gì?
Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có các hệ thức:
a) sin A = sin B.cos C + sin C.cos B;
b) ha = 2R.sin B.sin C.
