IMG-LOGO

Câu hỏi:

19/07/2024 51

Giải phương trình: sin3 x + cos3 x − sin x − cos x = cos 2x.

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Lời giải

Ta có sin3 x + cos3 x − sin x − cos x = cos 2x

Û (sin x + cos x)(sin2 x − sin x.cos x + cos2 x) − (sin x + cos x) − (cos2 x − sin2 x) = 0

Û (sin x + cos x)(1 − sin x.cos x) − (sin x + cos x) − (sin x + cos x)(cos x − sin x) = 0

Û (sin x + cos x)(1 − sin x.cos x − 1 − cos x + sin x) = 0

Û (sin x + cos x)(− sin x.cos x − cos x + sin x) = 0

TH1: sin x + cos x = 0

\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

TH2: − sin x.cos x − cos x + sin x = 0 (1)

Đặt t = sin x − cos x; t Î (−2; 2)

\( \Rightarrow \frac{{{t^2} - 1}}{2} = - \sin x.\cos x\)

Phương trình (1) Û \(t + \frac{{{t^2} - 1}}{2} = 0 \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 1 = 0\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1 + \sqrt 2 \;\left( {TM} \right)\\t = - 1 - \sqrt 2 \;\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \sin x - \cos x = - 1 + \sqrt 2 \)

\( \Rightarrow \sqrt 2 \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = - \sqrt 2 + 1\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{1 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }}\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} + {\mathop{\rm arc}\nolimits} \,cos\frac{{1 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{4} - {\mathop{\rm arc}\nolimits} \,cos\frac{{1 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} + k2\pi \end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Câu trả lời này có hữu ích không?

0

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm.

a) Tính số đo góc B, góc C (làm tròn đến độ) và đường cao AH.

b) Chứng minh rằng: \(AB.\cos B + AC.\cos C = BC.\)

c) Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho DC = 2DA. Vẽ DE vuông góc với BC tại E. Chứng minh rằng: \(\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{4}{{9D{E^2}}}\)

Xem đáp án » 03/07/2023 436

Câu 2:

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và M là điểm nằm trên (O). Tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B của (O) lần lượt ở C và D. Đường thẳng AM cắt OC tại E, đường thẳng BM cắt OD tại F.

a) Chứng minh: \(\widehat {COD} = 90^\circ \).

b) Tứ giác MEOF là hình gì?

c) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.

Xem đáp án » 03/07/2023 339

Câu 3:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

a) Biết AB = 4 cm, \(AC = 4\sqrt 3 \;cm\). Giải tam giác ABC.

b) Kẻ HD, HE lần lượt vuông góc với AB, AC (D AB, E AC). Chứng

minh BD.DA + CE.EA = AH2.

c) Lấy diểm M nằm giữa E và C, kẻ AI vuông góc với MB tại I. Chứng minh:

\[\sin \widehat {AMB}\,\,.\,\sin \widehat {ACB} = \frac{{HI}}{{CM}}\].

Xem đáp án » 03/07/2023 249

Câu 4:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

a) Biết AB = 4 cm, \(AC = 4\sqrt 3 \;cm\). Giải tam giác ABC.

b) Kẻ HD, HE lần lượt vuông góc với AB, AC (D thuộc AB, E thuộc AC). Chứng

minh BD.DA + CE.EA = AH2.

c) Lấy diểm M nằm giữa E và C, kẻ AI vuông góc với MB tại I. Chứng minh:

\[\sin \widehat {AMB}\,.\,\sin \widehat {ACB} = \frac{{HI}}{{CM}}\].

Xem đáp án » 03/07/2023 171

Câu 5:

Cho tam giác ABC. Chứng minh nếu b + c = 2a thì \[\frac{2}{{{h_a}}} = \frac{1}{{{h_b}}} + \frac{1}{{{h_c}}}\].

Xem đáp án » 03/07/2023 165

Câu 6:

Cho hình chữ nhật ABCD có (AD < AB). Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với đường chéo AC tại C, cắt đường thẳng AD, AB lần lượt tại M, N.

a) Chứng minh rằng AB.AN = AD.AM.

b) Cho AD = 3 cm, AB = 4 cm. Tính DM và SAMN.

c) Chứng minh CD.CB = AB.AD.

d) Gọi E là trung điểm của MC, kẻ CH vuông DB tại H. Cho EB cắt CH tại K. Chứng minh K là trung điểm của CH.

Xem đáp án » 03/07/2023 149

Câu 7:

Cho đường tròn tâm O đường kính BC, điểm A thuộc đường tròn. Vẽ bán kính OK song song với BA (K và A nằm cùng phía đối với BC) tiếp tuyến đường trong tâm O tại C cắt ở I , OI cắt tại H.

a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông tại A.

b) Chứng minh IA là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.

c) Cho BC = 30 cm; AB = 18 cm, tính các độ dài OI và CI.

Xem đáp án » 03/07/2023 130

Câu 8:

Cho hai tập hợp E = (2; 5] và F = [2m − 3; 2m + 2]. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để E hợp F là một đoạn có độ dài bằng 5.

Xem đáp án » 03/07/2023 106

Câu 9:

Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có các hệ thức:

a) sin A = sin B.cos C + sin C.cos B;

b) ha = 2R.sin B.sin C.

Xem đáp án » 03/07/2023 104

Câu 10:

Cho hình chữ nhật ABCD có AB > BC. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AC, đường thẳng này cắt AC tại H, cắt CD tại M.

a) Chứng minh ΔCMH ΔCAD.

b) Chứng minh BC2 = CM.CD. Tính độ dài đoạn MC, biết AB = 8 cm, BC = 6 cm.

c) Kẻ MK vuông góc với AB tại K, MK cắt AC tại điểm I. Chứng minh \(\widehat {BIM} = \widehat {AMC}.\)

Xem đáp án » 03/07/2023 99

Câu 11:

Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: 2x + 5y = 15.

Xem đáp án » 03/07/2023 98

Câu 12:

Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O và M là trung điểm AB. Tính độ dài của các vectơ \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \,.\]

Xem đáp án » 03/07/2023 97

Câu 13:

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB < AC, góc C = a < 45°, đường trung tuyến AM, đường cao AH, MA = MB = MC. Chứng minh: \(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha .\cos \alpha \)

Xem đáp án » 03/07/2023 97

Câu 14:

Cho tam giác ABC vuông tại A có \[\widehat {ABC} = 60^\circ \] và AB = 8 cm. Kẻ đường cao AH (H thuộc cạnh BC). Tính AH, AC, BC​​

Xem đáp án » 03/07/2023 94

Câu 15:

Lớp 5A có \[\frac{1}{4}\] số học sinh là học sinh trung bình, số học sinh giỏi bằng \(\frac{2}{3}\) số học sinh khá và không có học sinh yếu kém. Biết số học sinh giỏi hơn số học sinh trung bình 2 bạn. Tính số học sinh của lớp 5A.

Xem đáp án » 03/07/2023 92

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »
Xem thêm »