Cho tam giác ABC bất kì, gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. H, H' lần lượt là trực tâm của tam giá ABC, MNP. Điểm K đối xứng H qua H'. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HH'} \)
B. \(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HK} \)
C. \(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow 0 \)
D. \(\overrightarrow {HM} + \overrightarrow {HN} + \overrightarrow {HP} = \overrightarrow {H'K} \)
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là B
Xét tam giác ABC có M là trung điểm AB, N là trung điểm BC
Suy ra MN là đường trung bình
Do đó MN // AC, MN = \(\frac{1}{2}\)AC
Xét tam giác ABC có P là trung điểm AC, N là trung điểm BC
Suy ra PN là đường trung bình
Do đó PN // AB, PN = \(\frac{1}{2}\)AB
Xét tứ giác APNM có
AP // MN, AM // PN
Suy ra APNM là hình bình hành
Do đó \(\widehat {BAC} = \widehat {MNP}\)
Xét tam giác ABC và tam giác NPM có
\(\frac{{AB}}{{NP}} = \frac{{AC}}{{MN}} = 2\)
\(\widehat {BAC} = \widehat {MNP}\)
Suy ra (c.g.c) theo tỉ lệ là 2
Mà H, H’ là trực tâm tam giác ABC và tam giác NPM
Suy ra \(\frac{{CH}}{{MH'}} = 2\)
Hay CH = 2MH’ (1)
Mặt khác CH ⊥ AB, MH’⊥ PN, AB // PN
Suy ra MH’ // CH (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\overrightarrow {CH} = 2\overrightarrow {H'M} \)
Ta có \(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HH'} + \overrightarrow {H'A} + \overrightarrow {HH'} + \overrightarrow {H'B} + \overrightarrow {HC} \)
\( = 2\overrightarrow {HH'} + (\overrightarrow {H'A} + \overrightarrow {H'B} ) + \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {HH'} + (\overrightarrow {H'A} + \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {H'B} + \overrightarrow {BM} ) + \overrightarrow {HC} \)
\( = 2\overrightarrow {HH'} + (\overrightarrow {H'M} + \overrightarrow {H'M} ) + \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {HH'} + 2\overrightarrow {H'M} + \overrightarrow {HC} \)
\( = 2\overrightarrow {HH'} + \overrightarrow {CH} + \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {HH'} = \overrightarrow {HK} \)
Vậy ta chọn đáp án B.
a) Chứng minh DE = BF.
b) Tia DE cắt BF tại H. Chứng minh \(\widehat {DHF}\) = 90°
c) Gọi I là trung điểm của EF, K là giao điểm của FE và BD. Chứng minh tứ giác AOIK là hình bình hành.
d) Chứng minh A, H, K thẳng hàng.
Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4, CA = 3.
a) Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \), rồi suy ra cosA
b) Gọi G là trọng tâm của △ABC. Tính \(\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {BC} \)
c) Tính giá trị biểu thức S = \(\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GB} .\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GC} .\overrightarrow {GA} \)
d) Gọi AD là phân giác trong của góc BAC (D ∈ BC). Tính \(\overrightarrow {A{\rm{D}}} \) theo \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} \)suy ra AD.
Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I. M là điểm tùy ý không nằm trên đường thẳng AB. Trên MI kéo dài, lấy một điểm N sao cho IN = MI.
a) Chứng minh: \(\overrightarrow {BN} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {MB} \)
b) Tìm các điểm D, C sao cho \(\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NI} = \overrightarrow {N{\rm{D}}} ;\overrightarrow {NM} - \overrightarrow {BN} = \overrightarrow {NC} \).
Cho (O;R) đường kính AD, dây AB , qua B kẻ dây BC vuông góc AD tại H . Tính bán kính R của đường tròn biết AB = 10 cm, BC = 12 cm.
Một chiếc cổng hình parabol dạng y = \( - \frac{1}{2}{x^2}\) có chiều rộng d = 8m. Hãy tính chiều cao h của cổng (Xem hình minh họa bên cạnh)
Một số nếu giảm xuống 3 lần rồi bớt đi 14,6 thì được kết quả là 30,4. Tìm số đó.
Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Chứng minh rằng:
a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {E{\rm{A}}} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {E{\rm{D}}} \).
b) \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {EC} = \overrightarrow {A{\rm{E}}} - \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CB} \).
Cho tứ giác ABCD. Tìm điểm O sao cho \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {O{\rm{D}}} = \overrightarrow 0 \)
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AD. Trên nửa đường tròn lấy hai điểm B và C, biết AB = BC = \(2\sqrt 5 \) cm, CD = 6 cm. Tìm bán kính đường tròn.
Xác định đường thẳng đi qua A(4 ; 3), cắt trục tung tại điểm có tung độ là 1 số nguyên dương, cắt trục hoành tại 1 điểm có hoành độ là 1 số nguyên tố.
Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh rằng:
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EF} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {CF} \)
Cho 4 điểm A, B, C, D bất kì. Chứng minh \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {C{\rm{D}}} = \overrightarrow {A{\rm{D}}} + \overrightarrow {CB} \).
Tìm x, y, z biết \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{4} = \frac{{z - 5}}{6}\) và 5z – 3x – 4y = 50.
Cho tứ giác ABCD có AB = AD; CB = CD (ta gọi tứ ABCD trong trường hợp này là tứ giác có hình ảnh cánh diều)
a) Chứng minh AC là đường trung trực của BD
b) Tính góc B và góc D (biết \(\widehat A = 100^\circ ,\widehat C = 60^\circ \)).
