Cho ∆ABC vuông tại A có đường cao AH. Kẻ HE, HF vuông góc với AB, AC. Chứng minh rằng: \(\frac{{EB}}{{FC}} = \frac{{A{B^3}}}{{A{C^3}}}\).
Giải bởi Vietjack
HF // AB \( \Rightarrow \frac{{HF}}{{AB}} = \frac{{CF}}{{CA}} \Rightarrow \frac{{HF}}{{CF}} = \frac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow \frac{{HF}}{{CF}}.\frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{A{B^3}}}{{A{C^3}}} \Rightarrow \frac{{HF}}{{CF}}.\frac{{BH.BC}}{{CH.BC}} = \frac{{A{B^3}}}{{A{C^3}}}\)(1)
Ta có: HF // AB \( \Rightarrow \widehat {CHF} = \widehat {CBA}\)
Xét ∆BEH và ∆HFC: Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\widehat {BEH} = \widehat {HFC} = 90^\circ }\\{\widehat {CHF} = \widehat {CBA}}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow \Delta BEH \sim \Delta HFC(g.g) \Rightarrow \frac{{BE}}{{BH}} = \frac{{HF}}{{HC}} \Rightarrow BE.HC = HF.BH \Rightarrow BE = \frac{{HF.BH}}{{HC}}\) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \frac{{BE}}{{CF}} = \frac{{A{B^3}}}{{A{C^3}}}\).
Cho \(\cos x = \frac{2}{{\sqrt 5 }},0 < x < \frac{\pi }{2}\). Tính các giá trị lượng giác của góc x.
Một đoạn dây dẫn được uốn thành hình chữ nhật, có các cạnh a = 16 cm, b = 30 cm, trong đó có dòng điện cường độ I = 6A chạy qua. Xác định cảm ứng từ tại tâm hình chữ nhật ?
Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A, bán kính AH, kẻ các tiếp tuyến BD, CE với đường tròn tâm A (D, E là các tiếp điểm khác H). Chứng minh rằng:
a. 3 điểm D, A, E thẳng hàng.
b. DE tiếp xúc với đường tròn có đường kính BC.
Cho ∆ABC nhọn, đường cao AH. Kẻ HD ⊥ AB, HE ⊥ AC.
a.Chứng minh AD.AB = AE.AC.
b. Chứng minh \(\frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{A{H^2}}}{{B{H^2}}}\).Trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2};2\pi } \right)\), phương trình \(\cos \left( {\frac{\pi }{6} - 2\pi } \right) = \sin x\) có bao nhiêu nghiệm ?
Một đội công nhân có 25 người nhận sửa xong một quãng đường trong 9 ngày. Hỏi muốn làm xong quãng đường đó trong 5 ngày thì cần thêm bao nhiêu người ?(mức làm của mỗi người như nhau).
Cho ∆ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC, D, E lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC.
a) Tứ giác ADME là hình gì, tại sao?
b) Chứng minh DE = \(\frac{1}{2}\)BC.
c) Gọi P là trung điểm của BM, Q là trung điểm của MC, chứng minh tứ giác DPQE là hình bình hành. Từ đó chứng minh: tâm đối xứng của hình bình hành DPQE nằm trên đoạn AM.
d) Tam giác vuông ABC ban đầu cần thêm điều kiện gì để hình bình hành DPQE là hình chữ nhật?
Cho ∆ABC có \(\frac{5}{{\sin A}} = \frac{4}{{\sin B}} = \frac{3}{{\sin C}}\) và a = 10. Tính chu vi tam giác.
Cho ∆MNP. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của MN, NP, PM.
a. Chứng minh tứ giác MDEF là hình bình hành.
b. ∆MNP có điều kiện gì thì tứ giác MDEF là hình chữ nhật.
Cho một số có ba chữ số biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó thì số đó tăng thêm 2444 đơn vị. Tìm số đó.
Cho ∆ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, BC. Hỏi \(\overrightarrow {MP} + \overrightarrow {NP} \) bằng vectơ nào?
Cho ∆ABC có AB = 2, AC = 3, \(\widehat A = 60^\circ \). Tính độ dài phân giác \(\widehat A\).
Hai đường thẳng xy và zt cắt nhau tại O sao cho \(\widehat {xOz} = 70^\circ \).
a. Tính số đo các góc tạo thành.
b. Vẽ tia Om là tia phân giác của \(\widehat {zOy}\) và vẽ tia On là tia đối của tia Om.
Tính số đo \(\widehat {xOn}\), từ đó chỉ ra tia Ox không là tia phân giác của \(\widehat {zOn}\).
Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ đường tròn (O) có đường kính BC, nó cắt cạnh AB, AC theo thứ tự ở D và E.
a. Chứng minh rằng CD ⊥ AB, BE ⊥ AC.
b. Gọi K là giao điểm của BE, CD. Chứng minh AK ⊥ BC.
