Cho đường tròn (O) đường kính BC và 1 điểm A nằm trên đường tròn (A ≠ B và C). Qua O, kẻ tia Ox // AC, tia Ox cắt AB tại D.
a. Chứng minh: OD ⊥ AB và từ đó suy ra D là trung điểm của AB.
b. Tiếp tuyến tại B của (O) cắt tia Ox tại E. Chứng minh: EA cũng là tiếp tuyến của (O).
c. Tia CA cắt tia BE tại F. Chứng minh: Tia CE đi qua trung điểm I của đường cao AH.
Giải bởi Vietjack
a. A ∈ (O) đường kính BC \( \Rightarrow \widehat {BAC} = 90^\circ \)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\( \Rightarrow AB \bot AC\)
Mà Ox // AC \( \Rightarrow Ox \bot AB\) hay OD \( \bot AB\)
Ta có: OA = OB
⇒ ∆OAB cân tại O có đường cao OD
⇒ OD là đường trung tuyến
⇒ D là trung điểm AB
b. Xét ∆OAB cân tại O, \(OD \bot AB \Rightarrow OD\) là phân giác \(\widehat {AOB}\)
Xét ∆OAE và ∆OBE có: OE chung; \(\widehat {AOE} = \widehat {BOE}\)(OE phân giác \(\widehat {AOB}\)); OA = OB
\( \Rightarrow \Delta OAE = \Delta OBE\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \widehat {OAE} = \widehat {OBE} = 90^\circ \)(BE là tiếp tuyến tại A của (O).
c. Xét ∆BCF có: O là trung điểm BC; OE // FC (vì Ox // AC)
⇒ OE là đường trung bình ∆BCF ⇒ E là trung điểm BF ⇒ BE = EF
Ta có: AH ⊥ BC; BF ⊥ BC ⇒ AH // BF
⇒ \(\frac{{AI}}{{EF}} = \frac{{CI}}{{CE}} = \frac{{IH}}{{BE}}\)(Định lí Talet)
Mà EF = BE ⇒ AI = IH ⇒ I là trung điểm AH (Gọi I = CE ∩ AH).
Cho đường tròn (O; R) và dây AB = 1,6R. Vẽ 1 tiếp tuyến song song AB cắt các tia OA, OB theo thứ tự tại M và N. Tính \({S_{_{\Delta OMN}}}\) theo R.
Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB. Từ C kẻ CE ⊥ AB, nối E với trung điểm M của AD, từ M kẻ MF ⊥ CE, MF ∩ BC = N.
a. Hỏi MNCD là hình gì?
b. ∆EMC là tam giác gì?
c. Chứng minh \(\widehat {BAD} = 2\widehat {AEM}\)
Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ < AB. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình vuông.
Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và đáy bằng 30°. Thể tích khối chóp S.ABC bằng ?
Cho hình bình hành ABCD và điểm M tùy ý.
Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} \).
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 10 cm. Trên đường tròn tâm O lấy điểm C sao cho AC = 6 cm . Kẻ CH ⊥ AB tại H.
a. So sánh dây AB và dây BC.
b. ∆ABC là tam giác gì? Vì sao?
c. Từ O kẻ OI ⊥ BC tại I. Tính độ dài OI.
d. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt tia BC tại E.
Chứng minh CE × CB = AH × AB.
Cho hình chữ nhật ABCD, vẽ ∆AEC vuông tại E. Chứng minh năm điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn.
Cho ∆ABC. Chứng minh rằng: \(\cot A + \cot B + \cot C = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4S}}\).
Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), cho phép biến hình F có biểu thức tọa độ \(x' = \frac{{ - 3x + 4y}}{5};y' = \frac{{4x + 3y}}{5}\). Ảnh của \(\Delta :x + y = 0\) qua phép biến hình F là ?
Cho ∆ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Cho diện tích ∆ABC bằng 24 cm2. Tính diện tích ∆MNP.
Cho hình chóp S.ABCD có AD không song song với BC, lấy I ∈ SA so cho SA = 3IA, lấy J ∈ SC; M là trung điểm SB.
a. Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC).
b. Tìm giao điểm E của AB và (IJM).
c. Tìm giao điểm F của BC và (IJM).
d. Tìm giao điểm N của SD và (IJM).
e. Gọi H = MN ∩ BD. Chứng minh rằng: H, E, F thẳng hàng.
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a = 12 cm, BC = b = 9 cm. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BD.
a. Chứng minh ΔAHB ΔBCD.
b. Tính độ dài đoạn thẳng AH.
c. Tính diện tích ∆AHB.
Rút gọn biểu thức: \(E = \sqrt {9 - 4\sqrt 5 } + \sqrt {6 + 2\sqrt 5 } \).
