Cho tổng gồm 2014 số hạng \[S = \frac{1}{4} + \frac{2}{{{4^2}}} + \frac{3}{{{4^3}}} + ... + \frac{{2014}}{{{4^{2014}}}}\]. Chứng minh \[S < \frac{1}{2}\].
Giải bởi Vietjack
\[4S = 1 + \frac{2}{4} + \frac{3}{{{4^2}}} + ... + \frac{{2014}}{{{4^{2013}}}}\]
\[4S - S = \left( {1 + \frac{2}{4} + \frac{3}{{{4^2}}} + ... + \frac{{2014}}{{{4^{2013}}}}} \right) - \left( {\frac{1}{4} + \frac{2}{{{4^2}}} + \frac{3}{{{4^3}}} + ... + \frac{{2014}}{{{4^{2014}}}}} \right)\]
\[3S = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{4^{2013}}}} - \frac{{2014}}{{{4^{2014}}}}\]
Đặt \[A = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{4^{2013}}}}\]
\[ \Rightarrow 4A = 4 + 1 + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{{4^{2012}}}}\]
\[4A - A = 4 - \frac{1}{{{4^{2013}}}} \Rightarrow A = \frac{4}{3} - \frac{1}{{{{3.4}^{2013}}}}\]
\[ \Rightarrow 3S = \frac{4}{3} - \frac{1}{{{{3.4}^{2013}}}} - \frac{{2014}}{{{4^{2014}}}}\]\[ \Rightarrow \]\[S = \frac{4}{9} - \frac{1}{{{{9.4}^{2013}}}} - \frac{{2014}}{{{{3.4}^{2014}}}}\]
Vì \[\frac{4}{9} < \frac{1}{2}\] nên \[\frac{4}{9} - \frac{1}{{9 \times {4^{2013}}}} - \frac{{2014}}{{3 \times {4^{2014}}}} < \frac{1}{2}\]\[ \Rightarrow \]S < \[\frac{1}{2}\].
Vậy \[S < \frac{1}{2}\].
Có một miếng đất hình bình hành, cạnh đáy bằng 25 m. Nếu người ta mở rộng cạnh đáy của miếng đất thêm 3 m thì diện tích miếng đất tăng thêm 57 m2. Tính diện tích miếng đất.
Hai lớp 5A và 5B tham gia trồng cây. Tuy số học sinh hai lớp bằng nhau nhưng lớp 5B trồng nhiều hơn lớp 5A là 5 cây. Tìm số cây mỗi lớp trồng được, biết nếu mỗi bạn lớp 5A trồng 3 cây thì lớp đó thừa 2 cây, nếu mỗi bạn lớp 5B trồng 4 cây thì lớp đó thiếu 38 cây.
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C là 1 điểm nằm trên nửa đường tròn (O) (C khác A và B). Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB, D là điểm đối xứng của A qua C, I là trung điểm của CH, J là trung điểm của DH.
a) Chứng minh \[\widehat {CIJ} = \widehat {CBH}\].
b) Chứng minh DCJH ᔕ DHIB.
c) Gọi E là giao điểm của HD và BI. Chứng minh HE.HD = HC2.Một số chia hết cho 6 và 8. Tìm số đó biết thương khi chia cho 6 lớn hơn thương khi chia cho 8 là 4 đơn vị.
Hai công nhân được giao dệt một số khăn mặt bằng nhau. Trong 1 ngày chị thứ nhất dệt được 48 cái; chị thứ hai dệt được 56 cái. Sau khi dệt một số ngày như nhau tính ra chị thứ nhất còn phải dệt thêm 62 cái; chị thứ hai phải dệt thêm 14 cái mới đủ số lượng quy định. Tính xem mỗi chị được giao dệt bao nhiêu khăn mặt?
Tìm số tự nhiên x biết 144 chia hết cho x, 192 chia hết cho x, 240 chia hết cho x và x là số tự nhiên có hai chữ số.
Cho tổng gồm 2014 số hạng: \[S = \frac{1}{4} + \frac{2}{{{4^2}}} + \frac{3}{{{4^3}}} + \frac{4}{{{4^4}}} + ... + \frac{{2014}}{{{4^{2014}}}}\]. Chứng minh rằng S < 1.
Khối 4 đồng biểu diễn thể dục. Nếu các em xếp hàng 12 thì thừa 5 học sinh. Nếu xếp hàng 15 thì cũng thừa 5 bạn, nhưng số hàng ít đi 4 hàng. Hỏi có bao nhiêu học sinh đồng diễn ?
Biết rằng cứ 3 thùng mật ong đựng được 27 lít. Trong kho có 12 thùng, ngoài cửa hàng có 5 thùng. Hỏi tất cả có bao nhiêu lít mật ong?
Có một mảnh đất hình bình hành, cạnh đáy bằng 25 m. Nếu người ta mở rộng cánh dày của miếng đất thêm 3 m thì diện tích của mảnh đất tăng thêm 51 m2. Tính diện tích mảnh đất ?
Tìm hai số biết rằng tổng của chúng gấp 3 lần hiệu của chúng và tích của chúng gấp 124 lần hiệu của chúng.
Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có ba chữ số khi chia cho 18; 30; 45 có số dư lần lượt là: 8; 20; 35
Cho 1 số có 4 chữ số khác nhau biết tổng các chữ số là 9, tích của các chữ số đó là bao nhiêu?
Công vào cửa hàng mua 10 vở và 3 bút chì hết 51 000 đồng. Dung mua 5 vở và 6 bút chì cùng loại hết 57 000 đồng. Hỏi giá tiền của một quyển vở là bao nhiêu đồng ?
