Cho tổng gồm 2014 số hạng: \[S = \frac{1}{4} + \frac{2}{{{4^2}}} + \frac{3}{{{4^3}}} + \frac{4}{{{4^4}}} + ... + \frac{{2014}}{{{4^{2014}}}}\]. Chứng minh rằng S < 1.
Giải bởi Vietjack
\[ \Rightarrow 4.S = 1 + \frac{2}{4} + \frac{3}{{{4^2}}} + \frac{4}{{{4^3}}} + ... + \frac{{2014}}{{{4^{2013}}}}\]
\[ \Rightarrow 4.S - S = \left( {1 + \frac{2}{4} + \frac{3}{{{4^2}}} + \frac{4}{{{4^3}}} + ... + \frac{{2014}}{{{4^{2013}}}}} \right) - \left( {\frac{1}{4} + \frac{2}{{{4^2}}} + \frac{3}{{{4^2}}} + ... + \frac{{2014}}{{{4^{2014}}}}} \right)\]
\[ \Rightarrow 3.S = 1 + \left( {\frac{2}{4} - \frac{1}{4}} \right) + \left( {\frac{3}{{{4^2}}} - \frac{2}{{{4^2}}}} \right) + \left( {\frac{4}{{{4^3}}} - \frac{3}{{{4^3}}}} \right) + ... + \left( {\frac{{2014}}{{{4^{2013}}}} - \frac{{2013}}{{{4^{2013}}}}} \right) - \frac{{2014}}{{{4^{2014}}}}\]
\[ \Rightarrow 3.S = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{4^{2013}}}} - \frac{{2014}}{{{4^{2014}}}}\]
Tính \[A = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{4^{2013}}}}\]
\[ \Rightarrow 4.A = 4 + 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{4^{2012}}}}\]
\[ \Rightarrow 4.A - A = 4 - \frac{1}{{{4^{2013}}}} \Rightarrow A = \frac{4}{3} - \frac{1}{{{{3.4}^{2013}}}}\]
\[ \Rightarrow 3.S = \frac{4}{3} - \frac{1}{{{{3.4}^{2013}}}} - \frac{{2014}}{{{4^{2014}}}} \Rightarrow S = \frac{4}{9} - \frac{1}{{{{9.4}^{2013}}}} - \frac{{2014}}{{{4^{2014}}}}\].
Vậy S < 1.
Có một miếng đất hình bình hành, cạnh đáy bằng 25 m. Nếu người ta mở rộng cạnh đáy của miếng đất thêm 3 m thì diện tích miếng đất tăng thêm 57 m2. Tính diện tích miếng đất.
Hai lớp 5A và 5B tham gia trồng cây. Tuy số học sinh hai lớp bằng nhau nhưng lớp 5B trồng nhiều hơn lớp 5A là 5 cây. Tìm số cây mỗi lớp trồng được, biết nếu mỗi bạn lớp 5A trồng 3 cây thì lớp đó thừa 2 cây, nếu mỗi bạn lớp 5B trồng 4 cây thì lớp đó thiếu 38 cây.
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C là 1 điểm nằm trên nửa đường tròn (O) (C khác A và B). Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB, D là điểm đối xứng của A qua C, I là trung điểm của CH, J là trung điểm của DH.
a) Chứng minh \[\widehat {CIJ} = \widehat {CBH}\].
b) Chứng minh DCJH ᔕ DHIB.
c) Gọi E là giao điểm của HD và BI. Chứng minh HE.HD = HC2.Một số chia hết cho 6 và 8. Tìm số đó biết thương khi chia cho 6 lớn hơn thương khi chia cho 8 là 4 đơn vị.
Tìm số tự nhiên x biết 144 chia hết cho x, 192 chia hết cho x, 240 chia hết cho x và x là số tự nhiên có hai chữ số.
Hai công nhân được giao dệt một số khăn mặt bằng nhau. Trong 1 ngày chị thứ nhất dệt được 48 cái; chị thứ hai dệt được 56 cái. Sau khi dệt một số ngày như nhau tính ra chị thứ nhất còn phải dệt thêm 62 cái; chị thứ hai phải dệt thêm 14 cái mới đủ số lượng quy định. Tính xem mỗi chị được giao dệt bao nhiêu khăn mặt?
Tìm hai số biết rằng tổng của chúng gấp 3 lần hiệu của chúng và tích của chúng gấp 124 lần hiệu của chúng.
Có một mảnh đất hình bình hành, cạnh đáy bằng 25 m. Nếu người ta mở rộng cánh dày của miếng đất thêm 3 m thì diện tích của mảnh đất tăng thêm 51 m2. Tính diện tích mảnh đất ?
Biết rằng cứ 3 thùng mật ong đựng được 27 lít. Trong kho có 12 thùng, ngoài cửa hàng có 5 thùng. Hỏi tất cả có bao nhiêu lít mật ong?
Biết hình bình hành ABCD có AB = 35 cm và BC = 30 cm, đường cao AH = 42 cm. Tính độ dài đường cao AK ứng với cạnh đáy BC.
Khối 4 đồng biểu diễn thể dục. Nếu các em xếp hàng 12 thì thừa 5 học sinh. Nếu xếp hàng 15 thì cũng thừa 5 bạn, nhưng số hàng ít đi 4 hàng. Hỏi có bao nhiêu học sinh đồng diễn ?
Cho 1 số có 4 chữ số khác nhau biết tổng các chữ số là 9, tích của các chữ số đó là bao nhiêu?
Tìm hiệu của số lớn nhất có bốn chữ số khác nhau và số bé nhất có bốn chữ số khác nhau.
Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có ba chữ số khi chia cho 18; 30; 45 có số dư lần lượt là: 8; 20; 35
