IMG-LOGO

Câu hỏi:

14/06/2024 45

Cho đường tròn (O) và điểm A bên ngoài đường tròn, từ A vẽ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Kẻ đường kính BC của đường tròn (O). AC cắt đường tròn (O) tại D (D khác C).

a) Chứng minh rằng BD vuông góc AC và AB2 = AD.AC.

b) Từ C vẽ dây CE // OA. BE cắt OA tại H. Chứng minh rằng H là trung điểm của BE và AE là tiếp tuyến.

c) Chứng minh rằng \(\widehat {OCH} = \widehat {OAC}\).

d) Tia OA cắt đường tròn tại F. Chứng minh rằng FA.CH = HF.CA.

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Cho đường tròn (O) và điểm A bên ngoài đường tròn, từ A vẽ tiếp tuyến AB với (ảnh 1)

a) Vì D thuộc đường tròn (O) và BC là đường kính nên \(\widehat {BDC} = 90^\circ \).

Suy ra BD AC.

Ta có AB là tiếp tuyến của (O), với B là tiếp điểm.

Suy ra \(\widehat {ABC} = 90^\circ \).

Tam giác ABC vuông tại B có BD là đường cao: AB2 = AD.AC (Hệ thức lượng trong tam giác vuông).

Vậy BD vuông góc AC và AB2 = AD.AC.

b) Xét tam giác BEC có O là trung điểm BC (do BC là đường kính của (O)) và OH // CE (giả thiết).

Suy ra OH là đường trung bình của tam giác BEC.

Vậy H là trung điểm của BE.

Vì E thuộc đường tròn (O) và BC là đường kính nên \(\widehat {BEC} = 90^\circ \).

Suy ra BE CE.

Mà CE // OH (giả thiết).

Do đó OH BE hay AH BE.

Tam giác ABE có AH vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao.

Suy ra tam giác ABE cân tại A.

Do đó AB = AE.

Xét ∆ABO và ∆AEO, có:

AO chung;

AB = AE (chứng minh trên);

OB = OE (= R).

Do đó ∆ABO = ∆AEO (c.c.c).

Suy ra \(\widehat {AEO} = \widehat {ABO} = 90^\circ \) (cặp góc tương ứng).

Vậy AE là tiếp tuyến của (O).

c) Tam giác OBA vuông tại B có BH là đường cao: OB2 = OH.OA (Hệ thức lượng trong tam giác vuông).

Suy ra OC2 = OH.OA.

Xét ∆OHC và ∆OCA, có:

\(\frac{{OH}}{{OC}} = \frac{{OC}}{{OA}}\) (OC2 = OH.OA);

\(\widehat {COH}\) chung.

Do đó  (c.g.c).

Vậy \(\widehat {OCH} = \widehat {OAC}\) (cặp góc tương ứng).

d) Ta có \(\widehat {OCF} = \widehat {FCE}\,\,\left( { = \widehat {OFC}} \right)\).

Lại có \(\widehat {OCH} = \widehat {ACE}\,\,\left( { = \widehat {OAC}} \right)\).

Suy ra \(\widehat {HCF} = \widehat {FCA}\).

Khi đó CF là tia phân giác của \(\widehat {HCA}\).

Áp dụng tính chất đường phân giác cho tam giác HCA, ta được: \(\frac{{HF}}{{FA}} = \frac{{HC}}{{CA}}\).

Vậy FA.CH = HF.CA (điều phải chứng minh).

Câu trả lời này có hữu ích không?

0

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c thỏa mãn \[\frac{{a + b}}{6} = \frac{{b + c}}{5} = \frac{{c + a}}{7}\]. Tính giá trị của biểu thức T = cosA + 2cosB + 3cosC.

Xem đáp án » 30/07/2023 335

Câu 2:

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn (O) tại A và B (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt tia Ax và By theo thứ tự tại C và D.

a) Chứng minh tam giác COD vuông tại O.

b) Chứng minh AC.BD = R2.

c) Kẻ MH vuông góc với AB (H AB). Chứng minh rằng BC đi qua trung điểm của đoạn MH.

Xem đáp án » 30/07/2023 234

Câu 3:

Lấy điểm A trên (O; R), vẽ tiếp tuyến Ax. Trên Ax lấy điểm B. Trên (O; R) lấy điểm C sao cho BC = AB.

a) Chứng minh CB là tiếp tuyến của (O).

b) Vẽ đường kính AD của (O), kẻ CK vuông góc với AD. Chứng minh rằng CD // OB và BC.CD = CK.OB.

c) Lấy điểm M trên cung nhỏ AC của (O). Vẽ tiếp tuyến tại M cắt AB, BC lần lượt tại E, F. Vẽ đường tròn tâm I nội tiếp ∆BEF. Chứng minh .

Xem đáp án » 30/07/2023 111

Câu 4:

Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AD, O là trung điểm của AC, điểm E đối xứng với điểm D qua điểm O.

a) Chứng minh tứ giác AECD là hình chữ nhật.

b) Gọi I là trung điểm của AD, chứng tỏ I là trung điểm của BE.

c) Cho AB = 10 cm, BC = 12 cm. Tính diện tích tam giác OAD.

d) Đường thẳng OI cắt AB tại K. Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AEDK là hình thang cân.

Xem đáp án » 30/07/2023 110

Câu 5:

Cho tứ giác ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Qua điểm I thuộc đoạn thẳng OB, vẽ đường thẳng song song với đường chéo AC, cắt các cạnh AB, BC và các tia DA, DC theo thứ tự tại các điểm M, N, P, Q.

a) Chứng minh \(\frac{{IM}}{{OA}} = \frac{{IB}}{{OB}}\)\(\frac{{IM}}{{IP}} = \frac{{IB}}{{ID}}.\frac{{OD}}{{OB}}\).

b) Chứng minh \(\frac{{IM}}{{IP}} = \frac{{IN}}{{IQ}}\).

Xem đáp án » 30/07/2023 101

Câu 6:

Cho tứ giác ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi G, G’ theo thứ tự là trọng tâm của tam giác OAB và OCD. Khi đó \(\overrightarrow {GG'} \) bằng:

Xem đáp án » 30/07/2023 97

Câu 7:

Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. Gọi E và F theo thứ tự là các điểm đối xứng với O qua AD và BC.

a) Chứng minh rằng các tứ giác AODE, BOCF là hình vuông.

b) Nối CE cắt DF tại I. Chứng minh rằng OI CD.

c) Biết diện tích của hình lục giác ABFCDE bằng 6. Tính độ dài cạnh của hình vuông ABCD.

d) Lấy K là một điểm bất kì trên cạnh BC. Gọi G là trọng tâm của ∆AIK. Chứng minh rằng điểm G thuộc một đường thẳng cố định khi K di chuyển trên cạnh BC.

Xem đáp án » 30/07/2023 86

Câu 8:

Cho hình thang ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA.

a) Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh rằng nếu ABCD là hình thang cân thì MP là tia phân giác của \[\widehat {QMN}\].

Xem đáp án » 30/07/2023 79

Câu 9:

Cho hình thoi ABCD, có O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Lấy điểm M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AD, CD.

a) Nêu nhận xét về quan hệ bằng nhau của \(\widehat {ABD}\)\(\widehat {ADB}\). Vì sao?

b) Tứ giác AMNC là hình gì? Vì sao?

c) Chứng minh tứ giác OMDN là hình thoi.

d) Gọi E là giao điểm của đường thẳng BM với đường thẳng CD. Tính số đo \(\widehat {AED}\), biết \(\widehat {BAD} = 130^\circ \).

Xem đáp án » 30/07/2023 75

Câu 10:

Cho đường tròn (O) và điểm A ngoài (O). Qua A kẻ các tiếp tuyến AB, AC với (O) trong đó B, C là các tiếp điểm. Lấy M là điểm thuộc cung nhỏ BC. Tiếp tuyến qua M với (O) cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Chứng minh:

a) Chu vi tam giác ADE bằng 2AB.

b) \(\widehat {DOE} = \frac{1}{2}\widehat {BOC}\).

Xem đáp án » 30/07/2023 70

Câu 11:

Cho tam giác ABC cân tại A có \(\widehat A = 120^\circ \) và AB = a. Tính \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CA} \).

Xem đáp án » 30/07/2023 68

Câu 12:

Trong các số thập phân 86,42; 86,422; 686,42; 86,642. Số thập phân lớn nhất là

Xem đáp án » 30/07/2023 67

Câu 13:

Có 8 cái bút khác nhau và 9 quyển vở khác nhau được gói trong 17 hộp. Một học sinh được chọn bất kì hai hộp. Xác suất để học sinh đó chọn được một cặp bút và vở là

Xem đáp án » 30/07/2023 64

Câu 14:

Cho \(\cot a = \frac{1}{2}\). Tính giá trị biểu thức sin2a.cosa + cosa.

Xem đáp án » 30/07/2023 64

Câu 15:

Một lớp học có 30 học sinh gồm cả nam và nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để tham gia hoạt động của Đoàn trường. Xác suất chọn được 2 nữ và 1 nam là \(\frac{{52}}{{145}}\). Tính số học sinh nữ của lớp.

Xem đáp án » 30/07/2023 60

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »
Xem thêm »