Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI và J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC. Gọi G là trọng tâm tam giác.
a) Biểu diễn \[\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {AC} \]theo hai vectơ \[\overrightarrow {AI} ,\;\overrightarrow {AJ} \]và biểu diễn \[\overrightarrow {AJ} \]qua \[\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {AC} \].
b) Biểu diễn \[\overrightarrow {AG} \]theo hai vectơ\[\overrightarrow {AI} ,\;\overrightarrow {AJ} \].
Giải bởi Vietjack
a) I là điểm trên cạnh BC mà: \[2CI = 3BI \Rightarrow \frac{{BI}}{{CI}} = \frac{2}{3}\]
\( \Rightarrow \frac{{BI}}{{CI + BI}} = \frac{2}{{3 + 2}} \Rightarrow \frac{{BI}}{{BC}} = \frac{2}{5}\)
\( \Rightarrow BI = \frac{2}{5}BC\)
Tương tự ta có: \( \Rightarrow IC = \frac{3}{5}BC\)
J là điểm trên BC kéo dài: \[5JB = 2JC \Rightarrow \frac{{JB}}{{JC}} = \frac{2}{5}\]
\( \Rightarrow \frac{{JB}}{{JC - JB}} = \frac{2}{{5 - 2}} \Rightarrow \frac{{JB}}{{BC}} = \frac{2}{3}\)
\( \Rightarrow JB = \frac{2}{3}BC\)và\(BC = \frac{3}{5}JC\)
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow {AI} - \frac{2}{5}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AI} - \frac{2}{5}\,.\,\frac{3}{2}\overrightarrow {JB} \)
\( = \overrightarrow {AI} - \,\frac{3}{5}\overrightarrow {JB} = \overrightarrow {AI} - \,\frac{3}{5}\left( {\overrightarrow {JA} + \overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow {AI} + \,\frac{3}{5}\overrightarrow {AJ} - \,\frac{3}{5}\overrightarrow {AB} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} + \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AI} + \,\frac{3}{5}\overrightarrow {AJ} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \frac{5}{8}\overrightarrow {AI} + \,\frac{3}{8}\overrightarrow {AJ} \) (1)
Lại có: \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow {AI} + \frac{3}{5}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AI} + \frac{3}{5}\,.\,\frac{3}{2}\overrightarrow {JC} \)
\( = \overrightarrow {AI} + \,\frac{9}{{25}}\overrightarrow {JC} = \overrightarrow {AI} + \,\frac{9}{{25}}\left( {\overrightarrow {JA} + \overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow {AI} - \frac{9}{{25}}\overrightarrow {AJ} + \frac{9}{{25}}\overrightarrow {AB} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} - \frac{9}{{25}}\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AI} - \,\frac{9}{{25}}\overrightarrow {AJ} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} = \frac{{25}}{{16}}\overrightarrow {AI} - \,\frac{9}{{16}}\overrightarrow {AJ} \) (2)
Nhân 2 vế của (1) với \(\frac{5}{2}\) rồi trừ cho vế với vế của (2) ta được:
\(\frac{5}{2}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \frac{5}{2}\left( {\frac{5}{8}\overrightarrow {AI} + \,\frac{3}{8}\overrightarrow {AJ} } \right) - \left( {\frac{{25}}{{16}}\overrightarrow {AI} - \,\frac{9}{{16}}\overrightarrow {AJ} } \right)\)
\( = \frac{{25}}{{16}}\overrightarrow {AI} + \frac{{15}}{{16}}\overrightarrow {AJ} - \frac{{25}}{{16}}\overrightarrow {AI} + \frac{9}{{16}}\overrightarrow {AJ} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AJ} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AJ} = \frac{5}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \)
b) \[\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AH} = \frac{2}{3}\,.\,\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\]
\[ = \frac{1}{3}\left( {\frac{5}{8}\overrightarrow {AI} + \,\frac{3}{8}\overrightarrow {AJ} + \frac{{25}}{{16}}\overrightarrow {AI} - \,\frac{9}{{16}}\overrightarrow {AJ} } \right)\]
\[ = \frac{{35}}{{48}}\overrightarrow {AI} - \,\frac{1}{{16}}\overrightarrow {AJ} \]
Từ điểm I nằm ngoài đường tròn (O), vẽ cát tuyến cắt đường tròn tại A và B (IA < IB).Các tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại M. OM cắt AB tại K.
a) Chứng minh K là trung điểm của AB.
b) Vẽ MH ^ OI tại H. Chứng minh OB2 = OH.OI.
c) Gọi N là giao điểm của AB và MH. Chứng minh IA.IB = IK.IN.
Trong tam giác ABC vuông tại A có \(AC = 3a;\;AB = 3\sqrt 3 a,\;\cot B\) bằng?
Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB, lấy điểm M thuộc đường tròn (O) sao cho AM < MB. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt tia OM tại S. Đường cao AH của tam giác SAO (H thuộc SO) cắt đường tròn (O) tại D.
1) Chứng minh: SD là tiếp tuyến của đường tròn (O).
2) Kẻ đường kính DE của đường tròn (O). Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác SAD. Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác SAD và tính độ dài đoạn thẳng AE theo R và r.
3) Cho AM = r. Gọi K là giao điểm của BM và AD. Chứng minh: \(\frac{{M{D^2}}}{6} = KH\,.\,KD\).
Tìm m để mọi x Î [0; +∞) đều là nghiệm của bất phương trình:
(m2 − 1)x2 − 8mx + 9 − m2 ≥ 0
Tìm m để bất phương trình f(x) > 0 đúng với mọi x thuộc (0; 1)
Tam giác ABC vuông tại A, AB = a, AC = 3a.Trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho AD = DE = EC.
a) Chứng minh \(\frac{{DE}}{{DB}} = \frac{{DB}}{{DC}}\).
b) Chứng minh tam giác BDE đồng dạng với tam giác CDB.
c) Tính tổng \(\widehat {AEB} + \widehat {BCD}\) bằng hai cách.
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một mặt phẳng bờ AB). Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB.
Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, diện tích mặt bên ABB’A’ bằng 2a2. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’
Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC lần lượt lấy C1, A1, B1 sao cho các đường thẳng AA1, BB1, CC1, đồng quy tại O. Đường thẳng qua O // AC cắt A1B1, B1C1, tại K và M tương ứng. CMR: OK = OM
Tổng của số thứ nhất và số thứ hai là 18,36;tổng của số thứ hai và số thứ ba là 21,64; tổng của số thứ ba và số thứ nhất là 20. Tính tổng của ba số đó?
Cho tam giác ABC. Điểm M là điểm chính giữa cạnh AB. Trên cạnh AC lấy AN bằng \(\frac{1}{2}\) NC. Hai đoạn thẳng BN và CM cắt nhau tại K. Hãy tính diện tích tam giác AKC? Biết diện tích tam giác KAB bằng 42 dm2.
Cho hình nón đỉnh S có đường cao SO = a. Một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là tam giác vuông SAB. Biết rằng khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) bằng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\). Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng
Cho a ≥ 1; b ≥ 9; c ≥ 16 thỏa mãn a.b.c = 1 152. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P = bc\sqrt {a - 1} + ca\sqrt {b - 9} + ab\sqrt {c - 16} \).
