Cho a, b > 0 và a + b = 4. Tìm GTLN của \(P = \left( {1 - \frac{1}{a}} \right)\left( {1 - \frac{1}{b}} \right)\).
Giải bởi Vietjack
Do a, b > 0 nên \(1 - \frac{1}{a} > 0\); \(1 - \frac{1}{b} > 0\)
Áp dụng BĐT:
\(xy \le \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy \Leftrightarrow {(x - y)^2} \ge 0\) (luôn đúng)
\(P = \left( {1 - \frac{1}{a}} \right)\left( {1 - \frac{1}{b}} \right)\) \( \le \frac{1}{4}{\left( {1 - \frac{1}{a} + 1 - \frac{1}{b}} \right)^2} = \frac{1}{4}{\left[ {2 - \left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right)} \right]^2}\)
Chứng minh BĐT \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}\) (1)
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}\)
\( \Leftrightarrow \left( {\frac{{x + y}}{{xy}}} \right)\left( {x + y} \right) \ge 4\)
⇔ (x + y)2 ≥ 4xy
⇔ (x – y)2 ≥ 0 (luôn đúng)
Khi đó: \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}} = \frac{4}{4} = 1\)
⇒ \(2 - \left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right) \le 2 - 1 = 1\)
\( \Rightarrow \frac{1}{4}{\left[ {2 - \left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right)} \right]^2} \le \frac{1}{4}.1 = \frac{1}{4}\)
Vậy \({P_{\max }} = \frac{1}{4}\) khi a = b = 2.
Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox lấy hai điểm A, C, trên tia Oy lấy hai điểm B, D sao cho OA = OB; OC = OD (A nằm giữa O và C; B nằm giữa O và D). So sánh \(\widehat {CAD}\) và \(\widehat {CBD}\).
Cho đường tròn (O; R) và điểm A sao cho OA = 2R. Vẽ tiếp tuyến AB; AC với (O) (B, C là tiếp điểm).
a) Chứng minh tam giác ABC đều.
b) Đường vuông góc với OB tại O cắt AC tại D. Đường vuông góc với OC tại O cắt AB tại E. Chứng minh tứ giác ADOE là hình thoi.
Cho tam giác ABC, I là một điểm trong tam giác, IA, IB, IC theo thứ tự cắt BC, CA, AB ở M, N, P. Chứng minh rằng: \(\frac{{NA}}{{NC}} + \frac{{PA}}{{PB}} = \frac{{IA}}{{IM}}\).
Trong hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B(9; 7), C(11; −1). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Tìm tọa độ vectơ MN.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm O . Gọi M là trung điểm của BC; N, P lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C. Đường tròn đi qua 3 điểm M,N,P có phương trình: (T) \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{25}}{4}\). Tìm phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với H qua AB, E là điểm đối xứng với H qua AC.
a) Chứng minh D đối xứng với E qua A.
b) Tam giác DHE là tam giác gì? Vì sao?
c) Tứgiác BDEC là hình gì? Vì sao?
Cho tam giác ABC có \(\widehat A = 90^\circ \), AB = AC, điểm D thuộc cạnh AB. Đường thẳng qua B và vuông góc với CD cắt đường thẳng CA ở K.
Chứng minh rằng: AK = AD.
Cho hình bình hành ABCD, có AC là đường chéo lớn. Kẻ CE vuông góc với AB tại E, BI vuông góc với AC tại I.
Chứng minh rằng:
Cho hình bình hành ABCD, AB = 2AD. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Tứ giác APQD là hình gì? Vì sao?
b) Gọi I là giao điểm AQ và PD, gọi K là giao điểm của BQ và CP. Chứng minh tứ giác IPKQ là hình chữ nhật.
Cho ∆ABC có 3 góc nhọn, AH là đường cao. Vẽ HE vuông góc với AB tại E, HF vuông góc AC tại F .
a) Chứng minh: AE.AB = AF.AC.
b) Cho BH = 3cm, AH = 4cm. Tính AE, BE.
Khi nhân một số với 205, do vô ý Tâm đã quên viết chữ số 0 của số 205 nên tích giảm đi 42 120 đơn vị. Tìm tích đúng của phép nhân đó.
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Vẽ HE vuông góc với AB tại E, vẽ HF vuông góc với AC tại F.
Chứng minh rằng: , AH² = AE.AB.
Một nhóm học sinh có 6 bạn nam và 5 bạn nữ có bao nhiêu cách chọn ra 5 bạn trong đó có cả nam và nữ?
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{6xy}} = \frac{1}{6}\).
