Giải bởi Vietjack
Lời giải
Gọi M là trung điểm của AC, G là trọng tâm của tam giác ABC
Nối E với G; O với D
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(MG = \frac{1}{3}MB\)
Vì E là trọng tâm của tam giác ACD nên \(ME = \frac{1}{3}MD\)
Xét tam giác DMB có \(\frac{{MG}}{{MB}} = \frac{{ME}}{{M{\rm{D}}}}\left( { = \frac{1}{3}} \right)\)
Suy ra EG // AB (Định lí Ta lét)
Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên O là giao của 3 đường trung trực
Suy ra OD là đường trung trực của AB
Do đó OD ⊥ AB
Mà EG // AB, suy ra EG ⊥ OD (1)
Xét tam giác ABC cân tại A có AO là đường trung trực nên đồng thời là đường trung tuyến
Mà AG cũng là đường trung tuyến (Vì G là trọng tâm tam giác)
Suy ra AO trùng với AG
Hay A; O; G thẳng hàng.
Mặt khác AO ⊥ BC (vì AO là đường trung trực của đoạn BC)
DM // BC (vì DM là đường trung bình của tam giác ABC)
Suy ra AO ⊥ BC hay OG ⊥BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra OD và OG là hai đường cao của tam giác DEG
Mà OD cắt OG tại O, suy ra O là trực tâm của tam giác DEG
Do đó OE ⊥ DG hay OE ⊥ DC
Vậy OE ⊥ DC.
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 8 cm, AC = 6 cm, trung tuyến AM. Kẻ MD vuông góc với AB và Me vuông góc với AC.
a) Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao?
b) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ADME là hình vuông.
c) Tính độ dài AM?
d) Tính diện tích tam giác ABM?
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm C thuộc đường tròn, với C không trùng A và B. Gọi I là trung điểm của AC. Vẽ tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại tiếp điểm C cắt tia OI tại điểm D.
a) Chứng minh OI // BC.
b) Chứng minh DA là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.
c) Vẽ CH ⊥ AB (H ∈ AB) và BK ⊥ CD (K ∈ CD). Chứng minh CK2 = HA . HB.
Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi D là trung điểm của BC. Kẻ DE vuông góc với AB; DF vuông góc với AC. Chứng minh:
a) ∆DEB = ∆DFC;
b) ∆AED = ∆AFD;
c) AD là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\).
Cho tam giác ABC cân tại A, O là trung điểm của BC. Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC tại H và K. Lấy E bất kỳ thuộc cung nhỏ HK. Vẽ tiếp tuyến tại E cắt AB, AC ở M, N.
a) Giả sử \(\widehat B = \widehat C = \alpha \). Tính \(\widehat {MON}\).
b) Chứng minh rằng OM, ON chia tứ giác BMNC thành ba tam giác đồng dạng.
c) Giả sử BC = 2a. Tính BM . CN.
d) MN ở vị trí nào thì tổng BM + CN nhỏ nhất?
Cho tam giác ABC vuông tại B (AB < AC) có AM là tia phân giác (M ∈ BC), trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AB = AN.
a) Chứng minh ∆ABM = ∆ANM.
b) Chứng minh \(\widehat {BAC} = \widehat {CMN}\).
Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng OA vuông góc với BC.
b) Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD song song với AO.
c) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC, biết OB = 2cm và OA = 4cm.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D và E lần lượt là trung điểm của AB và BC.
a) Chứng minh tứ giác ACED là hình thang vuông.
b) Gọi F là điểm đối xứng của E qua D. Chứng minh ACEF là hình bình hành.
c) Chứng minh AEBF là hình thoi.
Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với (O) (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC. Lấy D đối xứng với B qua O. Gọi E là giao điểm của đoạn thẳng AD với (O) (E không trùng với D). Chọn câu đúng nhất:
Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Gọi I là trung điểm AB, K là điểm đối xứng với H qua điểm I.
a) Tứ giác ACHI là hình gì ? Vì sao?
b) Tứ giác AHBK là hình gì ? Vì sao?
c) Nếu tam giác ABC đều thì ACHI là hình gì?
d) Tam giác ABC có điều kiện gì thì AHBK là hình vuông.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AB và D là điểm đối xứng của M qua I
a) Chứng minh AD song song BM và tứ giác ADBM là hình thoi.
b) Gọi E là giao điểm của AB và DC. Chứng minh AE = EM.
