Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D và E lần lượt là trung điểm của AB và BC.
a) Chứng minh tứ giác ACED là hình thang vuông.
b) Gọi F là điểm đối xứng của E qua D. Chứng minh ACEF là hình bình hành.
c) Chứng minh AEBF là hình thoi.
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Xét tam giác ABC có D, E lần lượt là trung điểm của AB và BC
Suy ra DE là đường trung bình
Do đó DE // AC và \(DE = \frac{1}{2}AC\)
Suy ra DECA là hình thang
Mà \(\widehat {DAC} = 90^\circ \) nên DECA là hình thang vuông
b) Vì F là điểm đối xứng của E qua D nên EF = 2DE
Mà AC = 2DE nên EF = AC
Lại có FE // AC (chứng minh câu a)
Suy ra ACEF là hình bình hành.
c) Xét tứ giác AEBF có D là trung điểm của hai đường chéo AB và EF
Suy ra AEBF là hình bình hành (1)
Xét tam giác ABC vuông tại A có AE là trung tuyến ứng với cạnh huyền
Do đó \[A{\rm{E}} = \frac{1}{2}BC\]
Mà \[{\rm{BE}} = \frac{1}{2}BC\], suy ra AE = BE (2)
Từ (1) và (2) suy ra AEBF là hình thoi
Vậy AEBF là hình thoi.
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 8 cm, AC = 6 cm, trung tuyến AM. Kẻ MD vuông góc với AB và Me vuông góc với AC.
a) Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao?
b) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ADME là hình vuông.
c) Tính độ dài AM?
d) Tính diện tích tam giác ABM?
Cho tam giác ABC cân tại A, O là trung điểm của BC. Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC tại H và K. Lấy E bất kỳ thuộc cung nhỏ HK. Vẽ tiếp tuyến tại E cắt AB, AC ở M, N.
a) Giả sử \(\widehat B = \widehat C = \alpha \). Tính \(\widehat {MON}\).
b) Chứng minh rằng OM, ON chia tứ giác BMNC thành ba tam giác đồng dạng.
c) Giả sử BC = 2a. Tính BM . CN.
d) MN ở vị trí nào thì tổng BM + CN nhỏ nhất?
Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi D là trung điểm của BC. Kẻ DE vuông góc với AB; DF vuông góc với AC. Chứng minh:
a) ∆DEB = ∆DFC;
b) ∆AED = ∆AFD;
c) AD là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\).
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm C thuộc đường tròn, với C không trùng A và B. Gọi I là trung điểm của AC. Vẽ tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại tiếp điểm C cắt tia OI tại điểm D.
a) Chứng minh OI // BC.
b) Chứng minh DA là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.
c) Vẽ CH ⊥ AB (H ∈ AB) và BK ⊥ CD (K ∈ CD). Chứng minh CK2 = HA . HB.
Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng OA vuông góc với BC.
b) Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD song song với AO.
c) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC, biết OB = 2cm và OA = 4cm.
Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với (O) (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC. Lấy D đối xứng với B qua O. Gọi E là giao điểm của đoạn thẳng AD với (O) (E không trùng với D). Chọn câu đúng nhất:
Cho tam giác ABC vuông tại B (AB < AC) có AM là tia phân giác (M ∈ BC), trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AB = AN.
a) Chứng minh ∆ABM = ∆ANM.
b) Chứng minh \(\widehat {BAC} = \widehat {CMN}\).
Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Gọi I là trung điểm AB, K là điểm đối xứng với H qua điểm I.
a) Tứ giác ACHI là hình gì ? Vì sao?
b) Tứ giác AHBK là hình gì ? Vì sao?
c) Nếu tam giác ABC đều thì ACHI là hình gì?
d) Tam giác ABC có điều kiện gì thì AHBK là hình vuông.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AB và D là điểm đối xứng của M qua I
a) Chứng minh AD song song BM và tứ giác ADBM là hình thoi.
b) Gọi E là giao điểm của AB và DC. Chứng minh AE = EM.
