Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng OA vuông góc với BC.
b) Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD song song với AO.
c) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC, biết OB = 2cm và OA = 4cm.
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Xét (O) có AB, AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A nên AB = AC
Suy ra ΔABC cân tại A
Lại có AO là tia phân giác của góc A nên AO ⊥ BC (trong tam giác cân, đường phân giác cũng là đường cao)
b) Gọi I là giao điểm của AO và BC
Suy ra BI = IC (đường kính vuông góc với một dây)
Xét ΔCBD có: CI = IB và CO = OD (bán kính)
Suy ra OI là đường trung bình
Do đó BD // AO.
c) Theo định lí Pitago trong tam giác vuông OAB:
AB2 = AO2 – BO2 = 42 – 22 = 12
Suy ra \[AB = 2\sqrt 3 \] (cm)
Do đó \[AC = AB = 2\sqrt 3 \]
Xét tam giác OAC có \[\sin \widehat {OAC} = \frac{{OC}}{{OA}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\]
Suy ra \(\widehat {OAC} = 30^\circ \)
Do đó \(\widehat {BAC} = 2\widehat {OAC} = 2.30^\circ = 60^\circ \)
Suy ra tam giác ABC đều nên \(AB = AC = BC = 2\sqrt 3 \) (cm).
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 8 cm, AC = 6 cm, trung tuyến AM. Kẻ MD vuông góc với AB và Me vuông góc với AC.
a) Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao?
b) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ADME là hình vuông.
c) Tính độ dài AM?
d) Tính diện tích tam giác ABM?
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm C thuộc đường tròn, với C không trùng A và B. Gọi I là trung điểm của AC. Vẽ tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại tiếp điểm C cắt tia OI tại điểm D.
a) Chứng minh OI // BC.
b) Chứng minh DA là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.
c) Vẽ CH ⊥ AB (H ∈ AB) và BK ⊥ CD (K ∈ CD). Chứng minh CK2 = HA . HB.
Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi D là trung điểm của BC. Kẻ DE vuông góc với AB; DF vuông góc với AC. Chứng minh:
a) ∆DEB = ∆DFC;
b) ∆AED = ∆AFD;
c) AD là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\).
Cho tam giác ABC cân tại A, O là trung điểm của BC. Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC tại H và K. Lấy E bất kỳ thuộc cung nhỏ HK. Vẽ tiếp tuyến tại E cắt AB, AC ở M, N.
a) Giả sử \(\widehat B = \widehat C = \alpha \). Tính \(\widehat {MON}\).
b) Chứng minh rằng OM, ON chia tứ giác BMNC thành ba tam giác đồng dạng.
c) Giả sử BC = 2a. Tính BM . CN.
d) MN ở vị trí nào thì tổng BM + CN nhỏ nhất?
Cho tam giác ABC vuông tại B (AB < AC) có AM là tia phân giác (M ∈ BC), trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AB = AN.
a) Chứng minh ∆ABM = ∆ANM.
b) Chứng minh \(\widehat {BAC} = \widehat {CMN}\).
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D và E lần lượt là trung điểm của AB và BC.
a) Chứng minh tứ giác ACED là hình thang vuông.
b) Gọi F là điểm đối xứng của E qua D. Chứng minh ACEF là hình bình hành.
c) Chứng minh AEBF là hình thoi.
Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với (O) (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC. Lấy D đối xứng với B qua O. Gọi E là giao điểm của đoạn thẳng AD với (O) (E không trùng với D). Chọn câu đúng nhất:
Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Gọi I là trung điểm AB, K là điểm đối xứng với H qua điểm I.
a) Tứ giác ACHI là hình gì ? Vì sao?
b) Tứ giác AHBK là hình gì ? Vì sao?
c) Nếu tam giác ABC đều thì ACHI là hình gì?
d) Tam giác ABC có điều kiện gì thì AHBK là hình vuông.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AB và D là điểm đối xứng của M qua I
a) Chứng minh AD song song BM và tứ giác ADBM là hình thoi.
b) Gọi E là giao điểm của AB và DC. Chứng minh AE = EM.
