Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. M là giao điểm của CE và DF.
a) Chứng minh tứ giác EFGH là hình vuông.
b) Chứng minh DF ^ CE và ∆MAD cân.
c) Tính diện tích tam giác MDC theo a.
Giải bởi Vietjack
a) Xét ∆AEH và ∆BEF, có:
AE = BE (E là trung điểm AB);
AH = BF (do \(AH = \frac{1}{2}AD,\;BF = \frac{1}{2}BC\) và AD = BC);
\(\widehat {HAE} = \widehat {EBF} = 90^\circ \)
Do đó ∆AEH = ∆BEF (c.g.c).
Suy ra HE = EF (cặp cạnh tương ứng).
Chứng minh tương tự, ta được EF = GF và GH = GF.
Do đó tứ giác EFGH là hình thoi (1)
Ta có BE = BF (do \(BE = \frac{1}{2}AB,\;BF = \frac{1}{2}BC\) và AB = BC)
và \(\widehat {EBF} = 90^\circ \) (do ABCD là hình vuông).
Suy ra ∆BEF vuông cân tại B.
Do đó \(\widehat {BEF} = 45^\circ \)
Chứng minh tương tự, ta được \(\widehat {AEH} = 45^\circ \)
Ta có \(\widehat {AEH} + \widehat {HEF} + \widehat {FEB} = 180^\circ \) (kề bù).
\( \Leftrightarrow \widehat {HEF} = 180^\circ - \widehat {AEH} - \widehat {FEB} = 180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ \;\left( 2 \right)\)
Từ (1), (2), suy ra tứ giác EFGH là hình vuông.
b) Xét ∆CBE và ∆DCF, có:
CB = DC (ABCD là hình vuông);
\(\widehat {CBE} = \widehat {DCF} = 90^\circ \)
BE = CF (do \(BE = \frac{1}{2}AB,\;CF = \frac{1}{2}BC\) và AB = BC).
Do đó ∆CBE = ∆DCF (c.g.c).
Suy ra \(\widehat {ECB} = \widehat {FDC}\) (cặp góc tương ứng).
Mà \(\widehat {DFC} + \widehat {FDC} = 90^\circ \) (∆DFC vuông tại C).
Do đó \(\widehat {DFC} + \widehat {ECB} = 90^\circ \)
Tam giác CFM, có: \(\widehat {CMF} = 180^\circ - \left( {\widehat {DFC} + \widehat {ECB}} \right) = 90^\circ \)
Vậy DF ^ CE tại M.
Gọi P là giao điểm của AG và DF.
Chứng minh tương tự như trên, ta được AG ^ DF tại P.
Mà CE ^ DF (chứng minh trên).
Suy ra CE // AG.
∆DMC có: G là trung điểm của DC (giả thiết) và PG // MC (chứng minh trên).
Suy ra GP là đường trung bình của ∆DMC.
Do đó P là trung điểm DM.
∆AMD có: AP vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao.
Vậy ∆AMD cân tại A.
c) Xét ∆DMC và ∆DCF, có:
\(\widehat {MDC}\) chung;
\(\widehat {DMC} = \widehat {DCF} = 90^\circ \)
Do đó ∆DMC ᔕ ∆DCF (g.g).
Suy ra \(\frac{{DM}}{{DC}} = \frac{{MC}}{{CF}} = \frac{{DC}}{{DF}}\) (*)
Ta có \({S_{DMC}} = \frac{1}{2}MC\,.\,MD\) và \({S_{DCF}} = \frac{1}{2}DC\,.\,CF\)
Suy ra \(\frac{{{S_{DMC}}}}{{{S_{DCF}}}} = \frac{{MC\,.\,MD}}{{DC\,.\,CF}} = \frac{{D{M^2}}}{{D{C^2}}}\)
Do đó \({S_{DMC}} = \frac{{D{M^2}}}{{D{C^2}}}.\,{S_{DCF}} = \frac{{D{M^2}}}{{D{C^2}}}.\,\frac{1}{2}CD\,.\,CF = \frac{{D{M^2}}}{{{a^2}}}\,.\,\frac{1}{2}a\,.\,\frac{a}{2} = \frac{{D{M^2}}}{4}\)
Tam giác CDF vuông tại C:
\(DF = \sqrt {D{C^2} + C{F^2}} = \sqrt {D{C^2} + {{\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)
Từ (*), ta có: DM.DF = DC2.
\( \Leftrightarrow DM\,.\,\frac{{a\sqrt 5 }}{2} = {a^2}\)
\( \Rightarrow DM\, = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\)
Vậy \({S_{DMC}} = \frac{{D{M^2}}}{4} = {\left( {\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}} \right)^2}\,.\,\frac{1}{4} = \frac{{{a^2}}}{5}\).
Rút gọn biểu thức: cos2 10° + cos2 20° + cos2 30° + ... + cos2 180°.
Cho tam giác ABC có \(\widehat {ABC} = 30^\circ \), AB = 5, BC = 8. Tính \[\overrightarrow {BA} \,.\,\overrightarrow {BC} \].
Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B, C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.
a) Chứng minh: ∆OEM vuông cân.
b) Chứng minh: ME // BN.
c) Từ C kẻ CH vuông góc BN (H thuộc BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng.
Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. Gọi E và F theo thứ tự là các điểm đối xứng với O qua AD và BC .
a) Chứng minh rằng các tứ giác AODE, BOCF là hình vuông
b) Nối EC cắt DF tại I. Chứng minh rằng OI ^ CD
c) Biết diện tích hình lục giác ABFCDE = 6. Tính độ dài các cạnh của hình vuông ABCD
d) Lấy K là 1 điểm bất kì trên BC. Gọi G là trọng tâm của tam giác AIK. Chứng minh G thuộc 1 đường thẳng cố định khi K di chuyển trên BC
Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC
a) Chứng minh AM.AB = AN.AC.
b) Chứng minh tam giác AMN đồng dạng tam giác ACB.
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, M là một điểm bất kỳ thuộc nửa đường tròn (M khác A, B). Tiếp tuyến tại M cắt các tiếp tuyến Ax và By của nửa đường tròn đó lần lượt tại C và D. Gọi K là giao điểm của BM với Ax. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACM và BDM.
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của cạnh huyền BC. Chứng minh tam giác MAB vuông cân.
Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của B và C.
a) Chứng minh tứ giác ACED là hình bình hành.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Tia AM cắt tia DC tại F. Chứng minh tứ giác BDEF là hình thoi.
c) Gọi I là giao điểm của AE và DC. Tia BI cắt tia DE tại . Chứng minh \(KI = \frac{1}{6}AE.\)
Cho hình chữ nhật ABCD. Vẽ điểm E đối xứng với B qua điểm C; vẽ F đối xứng với điểm D qua C.
a) Chứng minh tứ giác BDEF là hình thoi.
b) Chứng minh AC = DE.
c) Gọi H là trung điểm của CD, K là trung điểm của EF. Chứng minh HK // AC.
d) Biết diện tích tam giác AEF bằng 30 cm2. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.Cho tam giác nhọn ABC, \(\widehat B > \widehat C\). Gọi H là hình chiếu của A trên BC. Sắp xếp các đoạn thẳng AB, AH, AC theo thứ tự độ dài tăng dần.
Cho x + y + z = 0. Rút gọn: \(A = \frac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2} + {{\left( {z - x} \right)}^2}}}\).
Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để các chữ số của số đó đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số 0 và 1.
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. M là trung điểm OA. N là điểm bất kỳ thuộc nửa đường tròn. Qua N kẻ đường thẳng vuông góc với MN cắt các tiếp tuyến tại A và B tại C và D. Tìm vị trí của N để diện tích tam giác DMC min.
Giải phương trình:
a) sin 5x + sin 8x + sin 3x = 0;
b) \(4{\cos ^3}x + 3\sqrt 2 \sin 2x = 8\cos x\).
